导图社区 线性代数
这张思维导图全面且系统地梳理了线性代数的核心知识点，考研用，张宇和李永乐结合，非常全面，适合用于学习和复习。
将知识点进行了归纳和整理，直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，便于同学们理解和记忆。
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线性代数
线性方程组（向量的线性组合）
齐次线性方程组
有解的条件
解的性质
基础解系和解的结构
★★求解方法与步骤
非齐次线性方程组
求解方法与步骤
两个方程组的公共解
同解方程组
注意
特征值与特征向量
定义
求法
特征值的性质与重要结论
特征向量的性质与重要结论
常用矩阵的特征值与特征向量
+
相似★★★
矩阵的相似
性质
重要结论
两个矩阵是否相似的判别
反求参数
矩阵的相似对角化
可相似对角化的条件
两个充要①②
两个充分③④
基本步骤
反求A
求Ak与f(A)
实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵的性质
实对称矩阵相似对角化的基本步骤
Schmidt施密特正交化公式
再单位化
二次型
二次型的定义与矩阵表示
正定二次型
充要条件
必要条件
判定
矩阵的等价、相似、合同
化二次型为标准形与规范性★★★
线性变换的定义
合同的定义与性质
二次型的标准形与规范形
配方法
正交变换法
惯性定理
行列式（一个数）
点积运算
Gram矩阵
行列式的定义
本质定义--第一种定义
2阶行列式是由两个2个二维向量组成的，其（运算规则）的结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积
行列式的本质是测度
2阶行列式的特殊算法：
主对角线元素之积减去副对角线元素之积
3阶行列式是由三个3维向量组成的，其结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积
3阶行列式的算法
“叉子法”
n(n≥3)阶行列式是由n个n维向量组成的，其结果为以这n个向量为邻边的n维图形的体积
逆序数法定义--第二种定义
排列
n级排列共有n！个
逆序
在一个排列中，，若排前面的数大于排后面的数，则称这两个数构成一个逆序
逆序数
一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作τ（）
奇排列和偶排列
排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；为偶数时，为偶排列。
n阶行列式的定义
完全展开式
展开定理--第三种定义
余子式
在n阶行列式中，去掉元素aij所在的第i行、第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij
代数余子式
余子式Mij乘(-1)i+j后称为aij的代数余子式，记作Aij，即
行列式按某一行（列）展开的展开公式
行列式的性质
①行列互换，其值不变，即ℓAℓ=ℓATℓ
行列地位相等
②若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为0
③若行列式中某行（列）元素有公因子k（k≠0），则k可提到行列式外面
只能×一行（列）
“倍乘”
④行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和
⑤行列式中两行（列）互换，行列式变号
“互换”
⑥行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
⑦行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变
“倍加”
几个重要的行列式--“12+1”基本型
主对角线行列式
副对角线行列式
拉普拉斯展开式（分块矩阵求行列式）
范德蒙德行列式
行列式的计算
具体型
化为基本型“12+1”
爪形行列式
利用斜爪消竖爪或平爪
每行元素差别不大
“行和相等”行列式
每列（行）加至第一列（行）
“X”型行列式
“互换”，分块行列式
递推法
宽对角行列式
行列式表示的函数与方程
抽象型
用性质
用公式
ℓABℓ=ℓAℓℓBℓ
ℓkAℓ=knℓAℓ
余子式和代数余子式的线性组合的计算
大A配小a，逆用展开式
大A配小k，k把小a吃
A可逆⇔ℓAℓ≠0
充分必要
A不可逆⇔ℓAℓ=0
克拉默法则
D≠0，非齐次方程组有唯一解
秩r(A)=n
A不可逆
D≠0，齐次方程组只有零解
D=0，齐次方程组有非零解，系数行列式ℓAℓ=0
秩r(A)<n
A可逆
矩阵（一个表）
组合数/二项式定理
矩阵的本质
表达系统信息
n维向量空间中的一个基可表达所有信息
只需要两个向量线性无关（不平行），就可以作为2维平面的一个基。垂直只是一种特殊情况
矩阵信息表达中的关系
矩阵是由若干行列向量拼成的
矩阵不能运算，但是其若干行（列）向量之间可能存在着某种关系
这种关系反映了矩阵的本质
矩阵的秩
矩阵的定义及其基本运算
矩阵的定义
矩阵的基本运算
相等
A，B是同型矩阵，且对应元素相等
反映出两个矩阵包含的信息完全一致
加法
对应元素相加
数乘矩阵
A的每个元素都乘以k
线性运算
交换律
A+B=B+A
结合律
（A+B)+C=A+(B+C)
分配律
k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA
数和矩阵相乘的结合律
k(lA)=（kl)A=l(kA)
A,B,C是同型矩阵，k,l是任意常数
矩阵的乘法
数乘与矩阵乘积的结合律
不满足交换律
AB≠BA
AB=0 ≠＞ A=0或B=0
AB=AC ≠＞ A(B-C)=0
即使A≠0，也得不出B=C
几种重要矩阵
零矩阵
每个元素均为零的矩阵，记为O
单位矩阵
主对角线元素均为1，其余元素全为零的n阶方阵，记成 E（I）
数量矩阵
数k和单位矩阵的乘积称为数量矩阵
与任何矩阵相乘都可交换，kEA=AkE
对角矩阵★★★
非主对角线元素均为零的矩阵
上（下）三角矩阵
当i＞j(i<j)时，aij=0的矩阵
对称矩阵★★★
满足条件AT=A的矩阵
AT=A⇔aij=aji
反对称矩阵
满足条件AT=-A的矩阵
主对角线元素全是零，对称位置互为相反数
行距阵
只有一行的矩阵，也称行向量
列矩阵
只有一列的矩阵，也称列向量
分块矩阵
矩阵的分块
按行分块
按列分块
分块矩阵的基本运算
正交矩阵
AAT=ATA=E
⇔
A-1=AT
｜A｜2=1
几何意义
行（列）向量均是单位向量
转置矩阵
方阵的幂
6个“0”型，已知A，求A2，A3，P42页
方阵的行列式
当n阶方阵A计算行列式时，记成ℓAℓ
矩阵的逆
逆矩阵的定义
AB=BA=E
B=A-1
逆矩阵是唯一的
逆矩阵的性质与重要公式
用定义法求可逆矩阵的逆矩阵
定义法
求一个矩阵B，使AB=E，则A可逆，且A-1=B
将A分解成若干个可逆矩阵的乘积
使用穿脱原则
A=BC，其中，B，C均可逆，则A可逆，且A-1=(BC)-1=C-1B-1
伴随矩阵★★★
伴随矩阵的定义
伴随矩阵的性质与重要公式
二阶矩阵的伴随
主对调，副变号
(A*)*=A
用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵
步骤
①判断ℓAℓ是否为0
②写出A*
求伴随矩阵的方法
方法一
用定义
先求Aij，再拼成A*
方法二
若A可逆，则A*=ℓAℓA-1
初等变换与初等矩阵
初等变换
一个非零常数乘矩阵的某一行（列）
倍乘
互换矩阵中某两行（列）的位置
互换
将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）
倍加
初等矩阵的定义
初等矩阵的性质与重要公式
倍加， 互换， 倍乘
用初等变换求逆矩阵的方法
行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵
行阶梯形矩阵
①若有零行（即元素全为零的行），则零行全部位于非零行的下方
②各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的
行最简阶梯形矩阵
非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为0
简单分块矩阵的逆
矩阵方程
等价矩阵和矩阵的等价标准形
向量组（表中的一行（列））
一、向量与向量组的线性相关性
向量定义
n个数构成的一个有序数组[a1,a2,…,an]称为一个n维向量，记作α=[a1,a2,…,an]，并称α为n维行向量，αT=[a1,a2,…,an]T称为n维列向量，其中ai称为向量α（或αT）的第i个分量。
向量的运算
对应元素都相等
数乘
用常数乘向量中的每一个元素
向量的内积与正交
内积
正交
模
标准正交向量组
A是n阶方阵
满足 ：ATA=E
A是正交矩阵⇔ATA=E⇔AT=A-1⇔A的行（列）向量组是规范正交基
ℓAℓ2=1
ℓAℓ=-1或ℓAℓ=1
行（列）向量为长度为一的单位向量，且两两正交
作用
将数据进行旋转
线性组合
线性表示（线性表出）
能表示
不能表示
无
线性相关性
相关
无关
判别的七大定理
定理一
定理二
定理三
定理五
定理四
推论 3 有零向量必线性相关
定理六
反之均不成立
定理七
等价向量组
等价矩阵
极大线性无关组
只能作初等行变换
向量组的秩
重要定理和公式
矩阵越乘秩越小（单调性）
施密特正交化
