有理数的基本概念

初中数学之有理数的基本概念的课堂笔记。包含了正负数、有理数的概念、数轴与相反数等内容，需要的可以收藏。

数域探索课 一一有理数的基本概念

• 正负数
  • 正负数的定义
    • 正数：像1，300.8，18%，+0.33，这样大于0的数叫做正数。
    • 负数：像-1，-3.12，-17/5，-2008这样在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫做负数。
    • “0”：0既不是正数，也不是负数。
  • 相反意义的量
    • 要点总结：
      • 1.二者具有相反意义
      • 2.相反意义的基础上要有量
      • 3.描述的是同一件事
      • 4.注意：相反意义不一定是反义词，如：男与女。
    • 必考题
      • 月考必考题
        • 盈利200元和支出100元，是一组相反意义的量（ ）[判断对错]
          • 经典错误答案：√
          • 正确答案：X
            • 解析：盈利对应的是亏损，而支出对应的是收入，但是盈利它并不对应支出，二者并无关联，所以该句并不成立，故为x。
      • 中考考题（非100%必考）
        • • （答案：c）
• 有理数的概念
  • 要点总结
    • 整数与分数统称为有理数。
    • 可以写成 整：整 的比的数就是有理数。如：100可以写成100:1，所以100是有理数。
    • 注意：无限循环小数与有限小数，也为有理数。因为这些小数也可以化成分数。
  • 数的分类
    • 有理数的两种分类
      • 按定义分类
        • 有理数
          • 整数
            • 正整数
            • 零
            • 自然数（非负整数）
            • 负整数
          • 分数
            • 正分数
            • 负分数
      • 按符号分类
        • 有理数
          • 正有理数
            • 正整数
            • 正分数
          • 零
          • 负有理数
            • 负整数
            • 负分数
    • 关于非负与非正的分类
      • 数
        • 正数和零统称为非负数；
        • 负数和零统称为非正数；
      • 整数
        • 正整数和零统称为非负整数；
        • 负整数和零统称为非正整数；
      • 有理数
        • 正有理数和零统称为非，负有理数；
        • 负有理数和零统称为非正有理数。
  • 口诀
    • 老仝自创口诀
      • 断句断在正负后，非正非负0别漏。
    • 课本标准口诀
      • 见“非”想0，“非”后想反。
  • 注意
    • 小数
      • 有限小数
      • 无限循环小数
      • 有理数
      • 无限不循环小数
        • 无理数
• 数轴与相反数
  • 数轴
    • 数轴三要素
      • 原点
      • 正方向
      • 单位长度（不能变）
      • • 三者缺一不可
    • 数轴画法
      • 1.画一条水平的直线
      • 2.用实心点画出原点
      • 3.用箭头表示正方向（右）
      • 4.确定单位长度，且保持一致，并用细短线标出，在短线下方写出对应的数字。
    • 利用数轴比较有理数的大小
      • 要点
        • 在同一条数轴上，右边的数大于左边的数，左边的数小于右边的数。（右大左小）
        • 负数小于0，0小于正数。
        • 因为右边的数大于左边的数，大数减小数等于正数，所以右边的数减左边的数等于正数
      • 注意
        • 记住答题前记得写解
        • 记住，距离x，y个单位长度的数可为x-y或y-x，若x=0，则此数可用±y表示。
    • 注意
      • 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来
      • 数轴上的点不都是有理数，如：π。
  • 相反数
    • 定义
      • 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例：-1和1 9.88和-9.88 - ¼和¼
    • 几何意义
      • 互为相反数的两个点位于原点的两侧
      • 与原点的距离相等
      • 关于原点对称
        • 原点对称：将a点绕原点旋转180度后，能与B点重合，就叫原点对称。
    • 关于0
      • 0的相反数是0
    • 相反数的性质
      • 互为相反数的两个数的和为0，例：1，-3+3=0 2，5+（-5）=0。
    • 奇负偶正
      • 一个正数
        • 有奇数个负号 为负
        • 有偶数个负号 为正
        • 奇负偶正
    • 要点总结
      • 若a与b互为相反数则a+b=0。
      • 反之，若a+b=0，则a与b互为相反数。
    • 易错难题
      • 若-8前面有2021个负号，那么化简之后的结果为（ ）
        • 经典错误答案：-8
          • 错因：该题中给出的数字是一个负数，而并不是一个正数，大部分人将负号理解成了2021个符号，实际未算入-8前面的那个负号。
        • 正确答案：8
          • 加上原-8中的负号，该数总共的负号，也就是2022个负号，由于2022是偶数，奇负偶正，所以答案故为8.
• 在初中阶段，a可以代表任何数，可以为正数，负数，分数……等，所以-a不一定是负数。