高数

考研数一高数部分的一些整理和感悟，从基本知识、函数、极限、连续、一元函数微分学等方面进行了概述和分析。

高数

第一

基本知识

函数奇偶性

可导偶函数的导数是奇函数， 可导奇函数的导数是偶函数

连续的奇函数的一切原函数都是偶函数， 连续的偶函数的原函数就有一个是奇函数

常见不等式

术语

一拱

一周期

函数、极限、连续

数列

证明An收敛

证明数列单调，且有界

不等式

极限的定义

使用

求极限

海涅定理转化为求函数极限

先证明x趋于x0时，limxn存在

先斩后奏

夹逼

函数

极限存在的条件下

是常数，limf（x）=A，A是常数

唯一性，左极限=右极限

局部保号性，x-》x0，

局部有界

脱帽

极限的定义

使用

注意，成立的范围

求极限

洛必达

夹逼

不等式

等价无穷小

带根号

泰勒

中值定理

+夹逼

对和式求极限

放缩p38

函数和数列的转化

海涅定理

当x趋于x0时，limfx=A，当｛xn｝以x0为极限， 当n趋于无穷时，limf(xn)=A

一元函数微分学

可导定义

导数存在定义

可微的判别

求极值

注意，单点连续的点也可以是极值点

求导数

看本子

中值定理

中值定理p90

零点定理

介值定理

罗尔定理

辅助函数

f'+kf

费马定理

f'（θ）=0

拉格朗日

泰勒

凹凸性，f''

柯西中值定理

应用

总题型

存在θ使得xxx

辅助函数

全部的x

都可

等式，且存在高阶f′，有端点值， 端点处f=0，∫f′x（x-x0）dx=0

泰勒+介值 （f（θ）与x有关， 只能用介值定理

limθ，θ（0，1）

泰勒+导数

导数

f''

优先泰勒

积分不等式

泰勒

泰勒做不了，辅助函数

端点处有值

fx=f（x0）+∫f′dx， f(b)-f(a)=∫f′dx，∫以a，b为上下限

泰勒

拉格朗日

左右阶数差1

fx=f（x0）+∫f′dx， f(b)-f(a)=∫f′dx，∫以a，b为上下限

经典不等式

平方的积≥积的平方

出现max，min之类， 若f连续

令f(c)=max｛xxx｝

两边，a≤fx≤b

用两种方法证两边

泰勒+辅助函数

积分

不定积分

∫max｛fx，gx｝dx

利用积分的连续性，C要用同一个C

x，sinx

多元函数微分学

多元函数求导

求极值

无条件极值

求f′᙮(x₀，y₀)=0， f′ᵧ(x₀，y₀)=0

求A=f′′᙮᙮(x₀，y₀),B=f′′᙮ᵧ(x₀，y₀)，C=f′′ᵧᵧ(x₀，y₀)

AC-B²＞0

f''᙮᙮＞0，极小值

f''᙮᙮＜0，极大值

AC-B²＜0

非极值点

AC-B²=0

用定义法

条件极值

微分方程

一阶微分方程p274

分离型

y′=f(x)×g(y)

齐次型

y'=f(y/x)

1/y'=f(x/y)

一阶线性

y'+p(x)y=q(x)

lnu，可以不加绝对值

伯努利

换元法p282

二阶可降阶型

y''=f(x,y)

y′′=f(y,y′)

高阶常系数微分方程

常微分方程

∂P/∂y = ∂Q/∂x，再对Q对y积分，则为u（x，y）

衍生问题

跟踪问题

先求出点方程， 由切线为pq方向得

冷却

无穷级数

判别敛散性

级数敛散性

收敛+收敛=收敛

发散+收敛=发散

正项级数

具体型

比较判别法

值的大小

利用不等式

广义比较判别法

无穷小

比值判别法

p=1失效

把p=1时的情况代入，在分析

根值判别法

p=1失效

积分判别法 p302

抽象型

利用Sn

定义法

交错级数

莱布尼茨

绝对收敛

条件收敛

收敛域

求收敛域

端点处单独讨论

运算法则

求Sn

利用已知展开式， 求导或积分

积分要加上S（0）

狄利克雷收敛定理

求和函数的S（x），x=a时的值

傅立叶级数

展开定理

奇函数展开为奇函数， 偶函数展开为偶函数

重积分

二重积分

三重积分

先一后二

无侧面，或侧面为柱面

先二后一

侧面会变化，或者旋转体

柱面坐标系

球面坐标系

联系

求最大最小值=》条件极值

多元空间

距离

点到直线距离

点到平面距离

异面直线距离

两平面之间距离

向量积

外积

aXb

内积

多元函数积分

第一

第一型曲线积分

代入参数方程，dy变成dt或者dx，计算

满足对称性

第一型曲面积分

一投二代三计算

投影时就投哪个面，消哪个

代入时要dS=xxxdxdy，转化为二重积分

满足对称性

注意投影面重合的话，要乘二，只计算曲面面积时

第二性曲线积分

利用参数方程，或者曲线方程，代入计算

可以自己把曲线方程转化为参数方程

平面

格林公式

封闭曲线

正向

P，R有一阶连续偏导数

不满足格林公式

不是封闭曲线，补线

D中有奇点

代入曲线方程，消去奇点 再格林

积分与路径无关

条件

Pdx+Qdy为某二元函数u（x，y）的全微分

Pdx+Qdy=0为全微分方程

Pi+Qj是某二元函数的提度

沿D内任意分段光滑闭曲线Pdx+Qdy=0

应用 18讲p382

可变终点（x，y）求u（x，y）

与第一型曲线积分转化

空间

斯托克斯

曲线封闭且在同一平面

转化为第二型曲面积分

转化为第一型曲面积分

曲面法向量容易得到

rotF=0

可换路径

第二型曲面积分

一投二代三计算

条件

投影点不能重合

注意曲线法向量与投影面轴交角，正负号

投影为线，则为0

高斯公式

条件

封闭曲面且内部无奇点

高斯公式不适用

出现奇点

奇点可通过代入曲面方程消除

消除后用高斯

不可消除

分割曲面，用基本计算法

封闭曲面，但有奇点

除奇点外，divF=0

换面

非封闭曲面

divF=0

换面，边界要与原曲面重合

转换投影法 18讲p394

与第一型曲面积分的转化

∫∫Pdydx+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫（Pcosa+Qcosb+Rcosc）dS

（cosa，cosb，cosc）是与曲面同侧的单位法向量

都可以将曲线或者曲面方程代入计算