导图社区 高数
考研数一高数部分的一些整理和感悟，从基本知识、函数、极限、连续、一元函数微分学等方面进行了概述和分析。
这是一篇关于操作系统进程同步章节的笔记和知识点的思维导图，进程同步是在多道程序环境下，进程是并发执行的，不同进程之间存在着不同的相互制约关系。
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高数
第一
基本知识
函数奇偶性
可导偶函数的导数是奇函数， 可导奇函数的导数是偶函数
连续的奇函数的一切原函数都是偶函数， 连续的偶函数的原函数就有一个是奇函数
常见不等式
术语
一拱
一周期
函数、极限、连续
数列
证明An收敛
证明数列单调，且有界
不等式
极限的定义
使用
求极限
海涅定理转化为求函数极限
先证明x趋于x0时，limxn存在
先斩后奏
夹逼
函数
极限存在的条件下
是常数，limf（x）=A，A是常数
唯一性，左极限=右极限
局部保号性，x-》x0，
局部有界
脱帽
注意，成立的范围
洛必达
等价无穷小
带根号
泰勒
中值定理
+夹逼
对和式求极限
放缩p38
函数和数列的转化
海涅定理
当x趋于x0时，limfx=A，当｛xn｝以x0为极限， 当n趋于无穷时，limf(xn)=A
一元函数微分学
可导定义
导数存在定义
可微的判别
求极值
注意，单点连续的点也可以是极值点
求导数
看本子
中值定理p90
零点定理
介值定理
罗尔定理
辅助函数
f'+kf
费马定理
f'（θ）=0
拉格朗日
凹凸性，f''
柯西中值定理
应用
总题型
存在θ使得xxx
全部的x
都可
等式，且存在高阶f′，有端点值， 端点处f=0，∫f′x（x-x0）dx=0
泰勒+介值 （f（θ）与x有关， 只能用介值定理
limθ，θ（0，1）
泰勒+导数
导数
f''
优先泰勒
积分不等式
泰勒做不了，辅助函数
端点处有值
fx=f（x0）+∫f′dx， f(b)-f(a)=∫f′dx，∫以a，b为上下限
左右阶数差1
经典不等式
平方的积≥积的平方
出现max，min之类， 若f连续
令f(c)=max｛xxx｝
两边，a≤fx≤b
用两种方法证两边
泰勒+辅助函数
积分
不定积分
∫max｛fx，gx｝dx
利用积分的连续性，C要用同一个C
x，sinx
多元函数微分学
多元函数求导
无条件极值
求f′᙮(x₀，y₀)=0， f′ᵧ(x₀，y₀)=0
求A=f′′᙮᙮(x₀，y₀),B=f′′᙮ᵧ(x₀，y₀)，C=f′′ᵧᵧ(x₀，y₀)
AC-B²＞0
f''᙮᙮＞0，极小值
f''᙮᙮＜0，极大值
AC-B²＜0
非极值点
AC-B²=0
用定义法
条件极值
微分方程
一阶微分方程p274
分离型
y′=f(x)×g(y)
齐次型
y'=f(y/x)
1/y'=f(x/y)
一阶线性
y'+p(x)y=q(x)
lnu，可以不加绝对值
伯努利
换元法p282
二阶可降阶型
y''=f(x,y)
y′′=f(y,y′)
高阶常系数微分方程
常微分方程
∂P/∂y = ∂Q/∂x，再对Q对y积分，则为u（x，y）
衍生问题
跟踪问题
先求出点方程， 由切线为pq方向得
冷却
无穷级数
判别敛散性
级数敛散性
收敛+收敛=收敛
发散+收敛=发散
正项级数
具体型
比较判别法
值的大小
利用不等式
广义比较判别法
无穷小
比值判别法
p=1失效
把p=1时的情况代入，在分析
根值判别法
积分判别法 p302
抽象型
利用Sn
定义法
交错级数
莱布尼茨
绝对收敛
条件收敛
收敛域
求收敛域
端点处单独讨论
运算法则
求Sn
利用已知展开式， 求导或积分
积分要加上S（0）
狄利克雷收敛定理
求和函数的S（x），x=a时的值
傅立叶级数
展开定理
奇函数展开为奇函数， 偶函数展开为偶函数
重积分
二重积分
三重积分
先一后二
无侧面，或侧面为柱面
先二后一
侧面会变化，或者旋转体
柱面坐标系
球面坐标系
联系
求最大最小值=》条件极值
多元空间
距离
点到直线距离
点到平面距离
异面直线距离
两平面之间距离
向量积
外积
aXb
内积
多元函数积分
第一型曲线积分
代入参数方程，dy变成dt或者dx，计算
满足对称性
第一型曲面积分
一投二代三计算
投影时就投哪个面，消哪个
代入时要dS=xxxdxdy，转化为二重积分
注意投影面重合的话，要乘二，只计算曲面面积时
第二性曲线积分
利用参数方程，或者曲线方程，代入计算
可以自己把曲线方程转化为参数方程
平面
格林公式
封闭曲线
正向
P，R有一阶连续偏导数
不满足格林公式
不是封闭曲线，补线
D中有奇点
代入曲线方程，消去奇点 再格林
积分与路径无关
条件
Pdx+Qdy为某二元函数u（x，y）的全微分
Pdx+Qdy=0为全微分方程
Pi+Qj是某二元函数的提度
沿D内任意分段光滑闭曲线Pdx+Qdy=0
应用 18讲p382
可变终点（x，y）求u（x，y）
与第一型曲线积分转化
空间
斯托克斯
曲线封闭且在同一平面
转化为第二型曲面积分
转化为第一型曲面积分
曲面法向量容易得到
rotF=0
可换路径
第二型曲面积分
投影点不能重合
注意曲线法向量与投影面轴交角，正负号
投影为线，则为0
高斯公式
封闭曲面且内部无奇点
高斯公式不适用
出现奇点
奇点可通过代入曲面方程消除
消除后用高斯
不可消除
分割曲面，用基本计算法
封闭曲面，但有奇点
除奇点外，divF=0
换面
非封闭曲面
divF=0
换面，边界要与原曲面重合
转换投影法 18讲p394
与第一型曲面积分的转化
∫∫Pdydx+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫（Pcosa+Qcosb+Rcosc）dS
（cosa，cosb，cosc）是与曲面同侧的单位法向量
都可以将曲线或者曲面方程代入计算
