《高等数学<第一章 函数与极限>》

这是一篇关于第一章 函数与极限的思维导图，主要内容包括：映射与函数，数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则 两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

第一章 函数与极限

• 映射与函数
  • 映射
    • 映射概念
      • 映射的定义
        • X、Y非空集合
        • 如果存在一个法则f
          • 使得对于X中每个元素x，通过法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应
        • 那么称f为从X到Y的映射，记作
          • 其中y称为元素x（在映射f下）的像，记作f(x)，即
          • 而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像
          • 集合X称为映射f的定义域，记作Df，即
          • X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f(X)，即
            • 要素2
      • 注意
        • 构成一个映射必须具备以下三个要素
          • 集合X，即定义域
          • 集合Y，即值域的范围：
          • 对应法则f，使对每个x∈X，有唯一确定的y=f(x)与之对应
        • 对于每个x∈X，元素x的像y是唯一的
          • 而对每个y∈Rf，元素y的原像不一定是唯一的
          • 映射f的值域Rf是Y的一个子集，即
            • 不一定
      • 满射
        • 集合Y中任一元素y都是集合X中某元素的像
          • 则称f为X到Y的映射或满射
      • 单射
        • 若对X中任意两个不同元素
          • 它们的像
          • 则称f为X到Y的单射
      • 双射
        • 映射f既是单射，又是满射
          • 则称f为一一映射（或双射）
      • 映射的不同名称
        • 算子
          • 映射又称算子
        • 泛函
          • 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函
        • 变换
          • 从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换
        • 函数
          • 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常成为定义在X上的函数
    • 逆映射与复合映射
      • 逆映射
        • 单射
          • x满足f(x)=y
          • 只有单射才有逆映射
        • 规定g（y）=x
        • 定义域
        • 值域
        • 记作
      • 复合映射
        • 记作
        • 条件
          • g的值域Rg必须包含在f的定义域内
        • 特点
          • 复合映射是有顺序的
            • f和g的顺序不同，则复合映射的意义不同
  • 函数
    • 函数的概念
      • 函数的定义
        • 设数集
          • 定义域是实数集
        • 则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x)，x∈D
          • 自变量
            • x
          • 因变量
            • y
          • 定义域
            • D
            • 记作
              • 即
      • 函数值
        • 对每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应
        • 这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即
      • 函数关系
        • 因变量y与自变量x之间的依赖关系
      • 值域
        • 函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域
          • 或f(D)，即
      • 区别
        • f
          • 自变量x与因变量y之间的对应法则
        • f(x)
          • 表示与自变量x对应的函数值
      • 表示函数的符号可以任意选取
      • 函数是从实数集到实数集的映射
        • 构成函数的要素
          • 定义域Df及对应法则
        • 定义域与对应法则相同则函数相同
      • 函数的定义域确定
        • 有实际背景的函数
          • 根据实际背景中变量的实际意义确定
        • 抽象地用算式表达的函数
          • 使得算式有意义的一切实数组成的集合
            • 自然定义域
      • 函数的表示方法
        • 表格法
        • 图形法
        • 解析法（公式法）
      • 取整函数
        • y=[x]
        • x的整数部分
          • 不超过x的最大整数称为x的整数部分
        • 图形
          • 阶梯曲线
      • 分段函数
        • 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数
    • 函数的几种特性
      • 函数的有界性
        • 设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D
        • 上界
          • 函数在定义域内对任一x∈X包含于D均小于等于某个值
          • 此值为函数在X上的一个上界
        • 下界
          • 函数在定义域内对任一x∈X包含于D均大于等于某个值
          • 此值为函数在X上的一个下界
        • 有界
          • 在自变量取值范围X内，上界和下界均存在
        • 无界
          • 在自变量取值范围X内，上界和下界至少有一个不存在
      • 函数的单调性
        • 设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D
        • 单调增加
          • 在定义域范围内某一区间的两点x1及x2
            • 当x1＜x2
              • f(x1)＜f(x2)
        • 单调减少
          • 在定义域范围内某一区间的两点x1及x2
            • 当x1＜x2
              • f(x1)＞f(x2)
        • 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数
      • 函数的奇偶性
        • 设函数f(x)的定义域D关于原点对称
        • 偶函数
          • 对于任一x∈D
            • f(-x)=f(x)恒成立
        • 奇函数
          • 对于任一x∈D
            • f(-x)=-f(x)恒成立
      • 函数的周期性
        • 设函数f(x）的定义域为D
        • 周期函数
          • 存在一个正数l，使得对于任一x∈D有（x+l）∈D
            • f(x+l)=f(x)
        • 周期
          • l称为函数f(x)的周期
          • 通常我们说的周期函数的周期指的是最小正周期
    • 反函数与复合函数
      • 反函数
        • 逆映射的特例
        • 概念
          • 定义
            • 设函数f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射
            • 称此映射
              • 为函数f的反函数
        • 直接函数
          • 相对于反函数来说，原来的函数称为直接函数
        • 图形特征
          • 把直接函数和它的反函数的图形画在同一坐标平面上
            • 这两个图形关于直线y=x对称
      • 复合函数
        • 复合函数是复合映射的一种特例
        • 设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)的定义域为Dg，且其值域
        • 由下式确定的函数
          • y=f[g(x)]称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数
          • 定义域为
        • 中间变量
          • 变量u
        • 表示
          • 函数g与函数f构成的复合函数
            • 按“先g后f”的次序复合的函数
              • 通常记为
        • 条件
          • g与f构成的复合函数的条件是
            • 函数g的值域Rg必须包含于函数f的定义域Df
          • 只要两个以上的函数顺次满足构成复合函数的条件即可构成复合函数
    • 函数的运算
      • 设函数f(x)，g(x)的定义域依次为Df，Dg
      • 和（差）f±g
      • 积f·g
      • 商f/g
    • 初等函数
      • 基本初等函数
        • 幂函数
          • • μ∈R是常数
        • 指数函数
          • • a＞0，且a≠1
        • 对数函数
          • • a＞0，且a≠0，特别当a=e时，记为y=lnx
        • 三角函数
          • y=sin（x），y=cos（x），y=tan（x）
        • 反三角函数
          • y=arcsin（x），y=arccos（x），y=arctan（x）
      • 初等函数
        • 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成并可用一个式子表示的函数
      • 有理函数与无理函数
        • 无理函数
          • 在其表达式中包含根号（或其他形式的开方运算）、对数、三角函数等，无法表示为有限次加、减、乘、除及整数次幂运算的函数
        • 有理函数
          • 有理函数是指可以表示为两个多项式的商的函数
    • 双曲函数和反双曲函数
      • 双曲函数
        • 双曲正弦
          • 定义域
          • 特性
            • 奇函数
            • 单调增加
          • 图形
            • 通过原点
            • 关于原点对称
        • 双曲余弦
          • 定义域
          • 特性
            • 偶函数
            • • 单调减少
            • • 单调增加
          • 图形
            • 通过（0，1）点
            • 关于y轴对称
        • 双曲正切
          • 定义域
          • 特性
            • 奇函数
            • 单调增加
          • 图形
            • 通过原点
            • 关于原点对称
      • 导出公式
        • • 令x=y
        • • 令x=y
        • • 令x=y
      • 反双曲函数
        • 反双曲正弦
          • y=arsh x
        • 反双曲余弦
          • y=arch x
            • • x≥1
            • 单调增加
        • 反双曲正切
          • y=arth x
            • • (-1,1)
            • 单调增加
            • 奇函数
• 数列的极限
  • 数列极限的定义
    • 数列
      • 如果按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列
        • x1，x2，x3，……，xn
      • 就叫数列
        • 简记为{xn}
      • 项
        • 数列中每一个数
      • 一般项（通项）
        • xn
    • 数列极限的定义
      • 设{xn}为一数列
      • 如果存在常数a
        • 对于任意给定的正数ε（不论它多么小）
          • 任意给定
          • 总存在正整数N
            • 与任意给定的ε有关
              • 随着ε的给定而选定
          • 使得当n＞N时
        • 不等式|xn-a|＜ε都成立
          • 表达xn与a无限接近
        • 那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a
        • 记为
      • 如果不存在常数a
        • 就说数列{xn}没有极限
        • 或者说数列{xn}是发散的
        • 不存在
    • 利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{xn}的极限时
      • 对于任意给定的正数ε（不论它多么小）
        • 要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在
      • 如果知道|xn-a|小于某个量（这个量与n存在函数关系）
        • 那么当这个量小于ε时
          • |xn-a|＜ε当然也成立
        • 若令这个量小于ε能够推出符合定义要求的正整数N必定存在
          • 就可以采用这种方法
      • 如果能具体找出一个满足定义要求的正整数N
        • 那么也就证明了这种N的存在
      • 例2中
        • 若设ε＜1
          • 就可取
  • 收敛数列的性质
    • 定理1
      • 极限的唯一性
      • 如果数列{xn}收敛
        • 那么它的极限唯一
    • 定理2
      • 收敛数列有界性
      • 如果数列{xn}收敛
        • 那么它一定有界
      • 如果数列{xn}无界
        • 那么数列{xn}一定发散
      • 如果数列{xn}有界
        • 那么数列{xn}不一定收敛
    • 定理3
      • 收敛数列的保号性
      • 如果
        • 且a＞0
        • 或a＜0
        • 那么存在正整数N
          • 当n＞N时
        • 都有
          • xn＞0
          • 或xn＜0
      • 推论
        • 如果数列{xn}从某项起有xn≥0（或xn≤0），且
          • 那么
            • a≥0
            • 或a≤0
    • 定理4
      • 收敛数列与其子数列间的关系
      • 子数列
        • 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序
        • 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）
      • 如过数列{xn}收敛于a
        • 那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a
      • 如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限
        • 那么数列{xn}是发散的
• 函数的极限
  • 函数极限的定义
    • 函数极限的一般概念
      • 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫作在这一变化过程中函数的极限
      • 与自变量的变化过程密切相关
        • 自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式
    • 函数自变量的变化过程的情形
      • 自变量x任意地接近于有限值x0或者说趋于有限值x0（记作x→x0）时，对应的函数值f（x）的变化情形
      • 自变量x的绝对值|x|无限增大即趋于无穷大（记作|x|→∞）时，对应的函数值f(x)的变化情形
    • 自变量趋于有限值时函数的极限
      • 邻域
        • 以x0为中心的任何开区间称为点x0的领域，记作
      • 去心邻域
        • 在U(x0)中去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作
      • 定义1
        • 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义
        • 如果存在常数A
          • 对于任意给定的正数ε（不论它多么小）
            • 总存在正数δ
              • 使得当x满足不等式0＜|x-x0|＜δ时
                • x≠x0
          • 对应的函数值f(x）都满足不等式
            • |f(x)-A|＜ε
          • 那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作
            • 或
    • 左极限和右极限
      • 从x0的左侧趋于x0
        • 记作
      • 左极限
      • 从x0的右侧趋于x0
        • 记作
      • 右极限
    • 极限存在的充分必要条件
      • 左右极限各自存在，并且相等
    • 自变量趋于无穷大时函数的极限
      • 定义2
        • 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义
        • 如过存在常数A
          • 对于任意给定的正数ε（不论它多么小）
            • 总存在着正数X
              • 使得当x满足不等式|x|＞X时
          • 对应的函数值f(x)都满足不等式
            • |f(x)-A|＜ε
          • 那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作
            • 或
  • 函数极限的性质
    • 定理1
      • 函数极限的唯一性
      • 如果存在
        • 那么这极限唯一
    • 定理2
      • 函数极限的局部有界性
      • 如果存在
        • 那么存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有|f(x)|≤M
    • 定理3
      • 函数极限的局部保号性
      • 如果
        • 且A＞0（或A＜0），那么存在常数δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有f(x)＞0（或f(x)＜0）
      • 如果
        • （A≠0），那么存在着x0的某一去心邻域
          • • 当
              • 就有
      • 推论
        • 如果在x0的某一去心邻域内f(x)≥0（或f(x)≤0），而且
          • 那么A≥0（或A≤0）
    • 定理4
      • 函数极限与数列极限的关系
      • 如果极限存在
        • {xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足:xn≠x0(n∈N+)
          • 那么函数值数列{f(xn)}必收敛
          • 且
• 无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 定义1
      • 如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小
    • 注意
      • 无穷小和很小的数（例如百万分之一）不能混为一谈
      • 无穷小是这样的函数
        • 在x→x0（或x→∞）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数ε（不论它多么小）
      • 而很小的数
        • 如百万分之一，就不能小于任意给定的正数ε（不论它多么小）
      • 但零可以作为无穷小的唯一常数
        • 因为如果f(x)恒等于0，那么对于任意给定的ε＞0（不论它多么小），总有|f(x)|＜ε
    • 定理1
      • 在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α是无穷小
  • 无穷大
    • 定义2
      • 设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（|x|大于某一正数时有定义）
      • 如果对于任意给定的正数M(不论它多么大)，总存在正数δ（或正数X）
        • 只要x适合不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞|X|）
      • 对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|＞M
      • 那么称函数f(x)是当x→x0(或x→∞)时的无穷大
    • 说明
      • 按函数极限的定义来说
        • 当x→x0（x→∞）时的无穷大的函数f(x)的极限是不存在的
      • 但是为了方便叙述函数的这一性态
        • 我们也说“函数的极限是无穷大”
          • 或
    • 注意
      • 无穷大不是数，不可与很大的数混为一谈
    • 渐近线
      • 曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线
      • 铅直渐近线
        • 如果
          • 那么直线x=x0是函数f(x)的铅直渐近线
      • 水平渐近线
        • 若limf(x)=A，则y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线；
      • 斜渐近线
        • 若
          • 则y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线
    • 定理2
      • 无穷大与无穷小之间的关系
      • 在自变量的同一变化过程中
        • 如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小
        • 反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么1/f(x)为无穷大
• 极限运算法则
  • 建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限
  • 定理1
    • 两个无穷小的和是无穷小
    • 有限个无穷小之和也是无穷小
  • 定理2
    • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论1
      • 常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 推论2
      • 有限个无穷小的乘积是无穷小
  • 定理3
    • 如果lim f(x)=A，lim g(x)=B，那么
      • lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A±B
      • lim[f(x)·g(x)]=lim f(x)·lim g(x)=A·B
      • 若有B≠0，则
    • 推论1
      • 如果lim f(x)存在，而c为常数，那么
    • 推论2
      • 如果lim f(x)存在，而n是正整数，那么
  • 定理4
    • 设有数列{xn}和{yn}。如果
      • 那么
        • 当yn≠0（n=1，2，3，……）且B≠0时，
  • 定理5
    • 如果φ(x)≥ψ(x)，而lim φ(x)=A，lim ψ(x)=B，那么A≥B
    • 求有理整函数或求有理分式函数当x→x0时，只要把x0代替函数中的x就行了
      • 对于有理分式，需要假定这样代入后分母不等于零
    • 当a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数时，有
  • 定理6
    • 复合函数的极限运算法则
    • 设函数y=f[g(x)]是由u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义
    • 若
      • 且存在δ0＞0，当
      • 有g(x)≠u0
    • 则
• 极限存在准则 两个重要极限
  • 极限存在准则
    • 夹逼准则
      • 准则I和准则I'称为夹逼准则
      • 准则I
        • 如果数列{xn},{yn},{zn}满足下列条件
          • 从某项起，即∃n0∈N+，当n＞n0时，有yn≤xn≤zn
        • 那么数列{xn}的极限存在，且
      • 准则I'
        • 如果
          • g(x)≤f(x)≤h(x)
        • 那么存在
          • 且等于A
    • 准则II
      • 单调有界数列必有极限
    • 准则II'
      • 设函数f(x)在x0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x0的左极限f(x0-)必定存在
    • 柯西（Cauchy）极限存在准则
      • 单调有界是数列收敛的充分条件，不是必要条件
      • 数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m＞N，n＞N时，有
      • 也称柯西审敛原理
  • 两个重要极限
    • • 牛顿二项式定理
        • • 二项式系数
      • • 牛顿二项式定理
• 无穷小的比较
  • 两个无穷小之比的极限的各种不同情况
    • 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度
  • α和β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且α≠0，lim(α/β)也是这个变化过程中的极限
  • 定义
    • 如果
      • 那么就说β是比α高阶的无穷小，记作
      • β比α趋于零的速度块
    • 如果
      • 那么就说β是比α低阶的无穷小
      • β比α趋于零的速度慢
    • 如果
      • 那么就说β与α同阶无穷小
      • β与α趋于零的速度相差不大
    • 如果
      • 那么就说β是关于αk阶无穷小
      • β与αk趋于零的速度相差不大
    • 如果
      • 那么就说β与α是等价无穷小，记作
      • β与α趋于零的速度相同
    • 高阶、低阶、同阶、k阶、等价
      • 衡量两个无穷小趋于零的“快慢”程度
  • 定理1
    • β与α是等价无穷小的充分必要条件为
      • 设α及β都是在同一给自变量的变化过程中的无穷小，如果β=α+o(α)，则称α是β的主部
    • 当x→0时
      • sin x~x，tan x ~x，arcsin x~x，1-cos x~1/2x2
  • 定理2
    • 设
      • 且存在
        • 则
    • 求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替
  • 等价无穷小例子
• 函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • 概述
      • 一些现象的连续变化在函数上的反映
    • 增量
      • 变量终值与初值的差
    • 定义
      • 设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
        • 那么就称函数y=f(x)在点x0连续
      • 设函数y=f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果
        • 那么就称函数y=f(x)在点x0连续
    • 左连续
      • 如果存在
        • 且等于f(x0)，即
          • 那么就说函数f(x)在点x0左连续
    • 右连续
      • 如果存在
        • 且等于f(x0)，即
          • 那么就说函数f(x)在点x0右连续
    • 在该区间上连续的函数
      • 在区间上每一点都连续的函数
    • 图形
      • 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线
  • 函数的间断点
    • 间断点
      • 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义
      • 如果函数f(x)有下列三种情形之一，那么函数在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点
        • 在x=x0没有定义
        • 虽在x=x0有定义，但不存在
        • 虽在x=x0有定义，且存在
          • 但
    • 无穷间断点
      • 因
        • 我们称x=π/2为函数tanx的无穷间断点
    • 振荡间断点
      • y=sin1/x在点x=0出没有定义
        • 当x→0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次
        • 所以点x=0称为函数sin(1/x)的振荡间断点
    • 可去间断点
      • 如果补充定义点，可令函数连续
        • 那么此点称为该函数的可去间断点
    • 跳跃间断点
      • 函数在x→x0时的左极限和右极限均存在，但不相等，故函数的极限不存在，所以点x0是函数的间断点，由于函数的图形在点x0处产生了跳跃现象，我们称点x0为该函数的跳跃间断点
    • 间断点分类
      • 第一类间断点
        • 如果x0是函数f(x)的间断点，但函数在点x0处的左极限及右极限都存在
          • 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点
        • 左右极限相等者称为可去间断点
          • 不相等者称为跳跃间断点
      • 第二类间断点
        • 不是第一类间断点的任何间断点
          • 称为第二类间断点
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
• 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的和、差、积、商的连续性
    • 定理1
      • 由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则可得出
      • 设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和（差）f±g、积f·g、商f/g(当g(x0)≠0时)都在点x0连续
  • 反函数与复合函数的连续性
    • 定理2
      • 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数
        • 也在对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续
    • 定理3
      • 设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f（u）复合而成，
        • 若
        • 而函数y=f(u)在u=u0连续
        • 则
          • 式子表示，在定理3的条件下，如果作代换u=g(x)，那么求
            • 就化为求
            • 这里
        • 则
          • 式子表示，在定理3的条件下，求复合函数f[g(x)]的极限时，函数符号与极限符号
            • 可以交换次序
    • 定理4
      • 设函数f=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，
        • 若函数u=g(x)在x=x0连续，且g(x0)=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续
        • 则复合函数y=f[g(x)]在x=x0也连续
  • 初等函数的连续性
    • 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
    • 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
    • 如果f(x)是初等函数，且x0是f(x)的定义区间内的点，那么
  • 幂指数函数
    • 在同一自变量变化过程中
    • 如果lim u(x)=a＞0,lim v(x)=b
      • 那么
• 闭区间上连续函数的性质
  • 概述
    • 如果函数f(x)在开区间（a,b）内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续
      • 那么函数f(x)就是在闭区间[a,b]上连续的
  • 有界性与最大值最小值定理
    • 最大值（最小值）
      • 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0∈I，使得对于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))
      • 那么称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）
    • 定理1
      • 有界性与最大值最小值定理
      • 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
  • 零点定理与介值定理
    • 定理2
      • 零点定理
      • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(x)·f(b)＜0），则在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=0
    • 定理3
      • 介值定理
      • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B
        • 则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C（a＜ξ＜b）
    • 推论
      • 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x）的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值
  • 一致连续性
    • 定义
      • 设函数f(x)在区间I上有定义。
      • 如果对于任意给定的正数ε
        • 总存在正数δ
        • 使得对于区间上的任意两点x1、x2，当|x1-x2|＜δ时
        • 有
          • 那么称函数f(x)在区间I上一致连续
      • 由定义可知
        • 如果函数f(x)在区间I上一致连续
          • 那么f(x)在区间I上也是连续的
        • 反过来不一定成立
          • f(x)=1/x在区间（0，1）上是连续的
            • 但不是一致连续的
    • 定理4
      • 一致连续定理
      • 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续
        • 那么它在该区间上一致连续