《高等数学<第二章 导数与微分>》

这是一篇关于导数与微分的思维导图，主要内容包括：导数的概念，函数的求导法则，高阶导数，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率，函数的微分。

导数与微分

• 导数的概念
  • 导数的定义
    • 函数在一点处的导数与导函数
      • 定义
        • 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义
        • 当自变量x在x0处取得增量Δx（点x+Δx仍在该邻域内）时，相应地
          • 因变量取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
        • 如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在
          • 那么称函数y=f(x)在点x0处可导
          • 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数
        • 记为
          • 即
          • 也可记作
      • 函数变化率的问题
        • 讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”的问题
      • 纯粹从数量方面来刻画变化率的本质
        • 因变量增量与自变量增量之比Δy/Δx是因变量y在以x0和x0+Δx为端点的区间上的平均变化率
        • 而导数f'(x0)则是因变量y在点x0处的变化率
          • 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度
      • 导函数
        • 如果函数y=f(x)在开区间I内每一点处都可导
          • 那么就称函数f(x)在开区间I内可导
        • 这时，对于任一x∈I，都对应着f(x)的一个确定的导数值
        • 由函数f(x)在区间I上的导数值构成的新函数
          • 叫做原来函数y=f(x)的导函数
        • 记作
          • y'
          • f'(x)
        • 导函数定义式
          • 注意
            • 在极限过程中，x是常量，Δx或h是变量
        • 简称
          • 导数
    • 求导数举例
      • 常数的导数
        • 常数的导数等于0
      • 幂函数的导数公式
      • 正弦函数的导数
      • 余弦函数的导数
      • 指数函数的导数
      • 对数函数的导数
        • 对数运算性质
          • a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R
      • 不可导函数
        • f(x)=|x|在x=0处不可导，左右极限不相等
    • 单侧导数
      • 极限存在的充分必要条件是左、右极限均存在且相等
      • f'(x0)存在即f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左右极限都存在且相等
      • 记作
        • 左导数
        • 右导数
      • 左导数和右导数统称为单侧导数
      • 如果函数f(x)在开区间（a,b）内可导，且f'+(a)及f'-(b)都存在
        • 那么就可以说f(x)在闭区间[a,b]上可导
  • 导数的几何意义
    • 切线方程
    • 法线方程
  • 函数可导与连续性的关系
    • 如果函数y=f(x)在点x处可导
      • 那么函数在该点必连续
    • 一个函数在某点连续，却不一定在该点可导
    • 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件
• 函数的求导法则
  • 函数的和、差、积、商的求导法则
    • 定理1
      • 如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数
    • 正切函数的导数
    • 正割函数的导数
    • 余切函数的导数
    • 余割函数的导数
  • 反函数的求导法则
    • 定理2
      • 如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导，且
        • 或
      • 反函数的导数等于直接（原）函数导数的倒数
    • 反正弦函数的导数
    • 反余弦函数的导数
    • 反正切函数的导数
    • 反余切函数的导数
  • 复合函数的求导法则
    • 定理3
      • 如果u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，那么复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为
        • 或
  • 基本求导法则与导数公式
    • 常数和基本初等函数的导数公式
    • 函数的和、差、积、商的求导法则
    • 反函数的求导法则
      • 如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间Ix=f(Iy)内也可导，且
        • 或
    • 复合函数的求导法则
      • 设y=f(u)，而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的导数为
        • 或
    • 双曲线函数及其函数的导数公式
• 高阶导数
  • 一阶导数
    • 把y=f(x)的二阶导数叫做函数y=f'(x)的一阶导数
  • 二阶导数
    • 一般地，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数。我们把y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y''或
      • 即
      • 或
  • 三阶导数
    • 二阶导数的导数，叫做三阶导数
  • n阶导数
    • n-1阶导数的导数叫做n阶导数
      • 函数y=f(x)具有n阶导数，也常说函数f(x)为n阶可导
  • 高阶导数
    • 二阶及以上的导数统称高阶导数
  • 初等函数的n阶导数
    • • 所以n=1时也成立
  • 莱布尼茨（Leibniz）公式
• 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
  • 隐函数的导数
    • 显函数
      • y=sin x等
    • 隐函数
      • x+y3-1=0
    • 隐函数的显化
      • 把一个隐函数化成显函数
    • 隐函数求导方法
      • 把方程两边分别对x求导
        • 注意y=y(x)
      • 等式两边相等
      • 所以通过变换后得到dy/dx
    • 对数求导法
      • 先在y=f(x)的两边取对数，然后再求出有的导数
      • 对于一般形式的幂函数
        • 如果u=u(x)、v=v(x)都可导，则可利用对数求导法求出幂指数函数的导数
  • 由参数方程所确定的函数的导数
    • 参数方程
      • 由参数方程确定的y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数
    • 定理
      • 设方程x=φ(t)，y=ψ(t)确定函数y=y(x)，则对应参数为t的x处导数
    • 二阶导数公式
      • 如果x=φ（t）、y=ψ(t)是二阶可导的，那么二阶导数公式为
  • 相关变化率
    • 设x=x(t)及y=y(t)都是可导的，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率dx/dt与dy/dt间也存在一定关系
      • 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率
    • 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率
• 函数的微分
  • 微分的定义
    • 定义
      • 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数的增量
        • 可表示为
        • 其中A是不依赖于Δx的常数
      • 那么称函数y=f(x)在点x0是可微的
        • 而AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即
    • 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是
      • 函数f(x)在点x0可导
      • 且当f(x)在x0可微时，其微分一定是
      • 当f'(x0)≠0时，有
      • 从而当Δx→0时，Δy与dy是等价无穷小，于是根据等价无穷小的充分必要条件可知，有
        • 即dy是Δy的主部（线性主部）
    • 结论
      • 在f'(x0)≠0的条件下，以微分dy=f'(x0)Δx近似代替增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)时，其误差为o(dy)
        • 因此，在|Δx|很小时，有近似等式Δy≈dy
    • 函数的微分
      • 函数f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分
        • 记作dy或df(x)
        • 即
      • 函数的微分与x和Δx有关
      • 自变量的微分
        • 通常把自变量的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即Δx=dx
      • 函数y=f(x)的微分又记作
        • 从而有
        • 函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数
          • 因此，导数也叫微商
  • 微分的几何意义
    • 微分学的基本思想方法
      • 在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数
      • 在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段
      • 非线性函数的局部线性化
  • 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
    • 要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分
    • 基本初等函数的微分公式
      • 导数公式
        • 微分公式
    • 函数和、差、积、商的微分法则
      • 函数和、差、积、商的求导法则
        • 函数和、差、积、商的微分法则
    • 复合函数的微分法则
      • 设复合函数y=f(u)及u=g(x)都可导，这复合函数y=f[g(x)]的微分为
      • 由于
        • 所以复合函数y=f[g(x)]的微分公式也可以写成
      • 微分形式不变性
        • 无论u是自变量还是中间变量，微分形式保持不变
  • 微分在近似计算中的应用
    • 函数的近似计算
      • • f（x0）与f'(x0)都容易计算，可以利用该式近似计算Δy
      • • f（x0）与f'(x0)都容易计算，可以利用该式近似计算f(x+x0)
      • 令x=x0+Δx
        • • f（x0）与f'(x0)都容易计算，可以利用该式近似计算f(x)
      • 取x0=0
    • 误差估计
      • 间接测量误差
        • 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差
      • 绝对误差
        • 如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|就叫做a的绝对误差
      • 相对误差
        • 绝对误差与|a|的比值|A-a|/|a|叫做a的相对误差
      • 绝对误差限δA
        • 误差不超过该限值
        • |A-a|≤δA
      • 相对误差限
        • δA/|a|叫做测量A的相对误差限
      • 常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差