有理数知识点

这是一篇关于有理数知识点思维导图的思维导图，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

有理数

• 正数和负数
  • 基本概念
    • 正数：比0大的数叫正数。如13、3.5、500、π
    • 负数：比0小的数叫负数。如-2、-2.5、-237、-π
    • “+7”读作“正7”，可省写为7；-7读作“负7”
    • 正数和0统称为非负数，0非正非负，负数和0统称为非正数
  • 生成知识
    • 正数和负数表示一对相反意义的量
  • 易错整理
    • －m不一定是负数
    • 正数、负数不一定都是有理数。如±π
    • 一个正数前添一个“—”号，就是一个负数
    • 上升－4℃表示下降4℃；下降－4℃表示上升4℃
• 有理数
  • 基本概念
    • 有理数分类一
      • 整数
        • 正整数、0、负整数
      • 分数
        • 正分数、负分数
    • 有理数分类二
      • 正有理数
        • 正整数、正分数
      • 0
      • 负有理数
        • 负整数、负分数
    • 数的集合
      • 正数集、负数集、非正数集、非负数集
      • 正有理数集、负有理数集
      • 整数集、分数集
      • 正整数集、负整数集、正分数集、负分数集
      • 自然数集、非整数集（分数集）…
  • 生成知识
    • 分数可化为有限小数和无限循环小数，0.5，-0.333…可化为分数
    • 小数分有限小数、无限循环小数、无限不循环小数（无理数）
  • 易错整理
    • 有理数包括整数、分数、有限小数、无限循环小数
    • 无限不循环小数是无理数，如“π，0.101001…”
    • 最大的负整数是-1，最小的正整数是1
    • 16/2是整数，不是分数
    • 非负整数是指0和正整数
• 数轴
  • 基本概念
    • 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线
    • 画法
      • 一画：画一条直线，通常是水平直线
      • 二定：定原点，用0表示原点对应的数
      • 三选：选正方向，通常选向右为正
      • 四统一：统一单位长度，原点向右依次标1、2、3…，向左标－1、－2、－3…
    • 数轴上比较大小：数轴上两个数，右边的数大于左边的数，正数大于0，负数小于0
  • 生成知识
    • 数轴上的点与有理数的关系
      • 有理数都能在数轴上找到对应的点
      • 数轴上的点表示有理数或无理数
    • 数轴上两点之间的距离：右边的数-左边的数
    • 数轴上点A表示数m,先向右平移n个单位，再向左平移p个单位，终点对应的数为m-n+p
  • 易错
    • 画数轴时，画成射线或线段
    • 将一些数在数轴上表示出来时：对应点标数时，没化简的数按原形式标上
    • 若0<a<1,比较-a、-1/a、1/a、0、-1、1的大小：用特殊值代入法，如可设a=1/2
    • 数轴上离原点越远：在原点右边的数越大，在原点左边的数越小
• 有理数大小比较
  • 基本概念
    • 数轴比较法：右边的数>左边的数，正数大>0>负数
    • 绝对值法比较法：两个负数，绝对值大的反而小
  • 生成知识
    • 综合比较法：先化简，看负号，比负数，后排序
    • 特殊值法：将对应字母在其所在的范围内取一个特殊值代入
  • 易错整理
    • 若m>0，n<0，且|m|>|n|，比较m，－m，n，－n的大小
    • 根据已知可令m=2，n=－1，求出m，－m，n，－n的值比较
• 绝对值
  • 基本概念
    • 绝对值：数轴上表示数a到原点的距离叫数a的绝对值
    • 数a的绝对值记为|a|，表示数轴上数a对应点到原点的距离
    • 绝对值性质
      • 正数的绝对值是它本身，即a>0，|a|=a
      • 0的绝对值是0
      • 负数的绝对值是它的相反数，即a>0，|a|=－a
      • 绝对值非负性，即｜a｜≥0
    • 计算
      • |+3|=3，|－3|=3，|0|=0
  • 生成知识
    • 绝对值是一种运算，需要化简计算
    • 数轴上，到原点距离越远的点对应的数的绝对值越大
    • 数轴上两点之间的距离为对应数之差的绝对值，即｜m－n｜
    • |x|=2
      • x＝±2
      • 数轴上到原点的距离为2的点所对应的数
    • |x－2|=0
      • x－2=0，即x=2
    • |x－1|=2
      • x－1=2或x－1=－2
      • 数轴上到1对应点的距离为2的点所对应的数
    • |x－2|+|y－3|=0
      • x－2=0，y－3=0，即x=2，y=3
    • |x－1|＋｜x＋3｜=4
      • －3≤x≤1
      • 数轴上到1和－3对应点的距离之和为4的点对应数
  • 易错整理
    • |3.14－π|=－（3.14－π）=π－3.14，|π－3.14|=π－3.14
    • 若|a|=a，则a≥0，若|a|=－a，则a≤0，若|a|=0，则a=0
    • 若|x-y|=x-y，则x-y≥0；若|x-y|=y-x，则x-y≤0
    • 绝对值不大于2的整数为0，±1，±2
    • 绝对值不小于2且小于5的整数为±2，±3，±4
    • ｜x＋5｜＋｜x－1｜＋｜x－4｜的最小值是在x＝1时的值9
• 相反数
  • 基本概念
    • 相反数一：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0
    • 相反数二：数轴上原点两边到原点距离相等的两个点表示的数
    • 相反数的求法
      • 定义法：只有符号不同
      • 添号法：a的相反数是—a
      • 计算过程：—（+5）=—5，—（—5）=5
  • 生成知识
    • 相反数是一种运算，需要化简计算
    • 若a与b互为相反数，则a+b=0，a=-b，a/b=-1
    • 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0
  • 易错整理
    • －［+（+3）］=－3，－［－（+3）］=3，－［－（－3）］=－3
    • 若a=－a，则a=0，即相反数等于本身的数是0