导图社区 函数与极限做题笔记
这是一篇关于函数与极限的做题笔记。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
这是一篇关于高等数学的思维导图。该思维导图归纳整理了关于这一部分的知识点，包括 二重极限、重积分 、曲线积分、曲面积分等。
这是一篇关于多元积分学及其应用的做题笔记。该思维导图比较系统全面地归纳总结了关于多元积分的基础知识以及解题方法与技巧，有利于期末备考复习。
这是一篇关于大学高等数学知识点总结的思维导图。该思维导图归纳总结了极限,导数,微分,中值的知识点以及相应例题的分析，非常有料。
社区模板帮助中心，点此进入>>
英语词性
法理
刑法总则
【华政插班生】文学常识-先秦
【华政插班生】文学常识-秦汉
文学常识：魏晋南北朝
【华政插班生】文学常识-隋唐五代
民法分论
日语高考動詞の活用
第14章DNA的生物合成读书笔记
函数与极限
暂定
ln里面有分数
等价无穷小（得在分数情况且是无穷小）
化简成ln?-ln?
通解
含C的都叫通解
充分性和必要性
区别
充分性
前者为条件，后者为结果
必要性
前者为结果，后者为条件
三角函数代换公式
和差角公式
例题
和差化积公式
积化和差公式
二倍角公式
反三角函数图像
arctanx
arcsinx
正数的算数平均数大于等于几何平均数
函数
定义域
给了f(x+1)和x的定义域
注意
定义域是x的定义域，不是x+1的定义域
g[f(x)]
最后结果函数的定义域是f(x)中x的定义域
不是g(x)的定义域
幂指函数类型极限
第二重要极限
看到像是能用第二重要极限的，但实际不能用的，要想到抬起法
函数比较大小
两个要比大小的函数构造成一个新函数，然后再求导来得出答案【条件一定要有x的值，有可能直接给，有可能在区间里面】
连续一定极限存在，极限存在不一定连续
即：连续必存在，存在不一定连续
函数的几何性质
奇函数
特别的函数求极限
无界与发散
无界必发散，发散不一定无界
如
振荡函数
通常这类题举例用含
函数周期
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 15
分数拆分
数列的极限
定义
画图
数列必须是正整数，不能为零
区分数列的极限和函数的极限
数列极限
一般以n为变量，且n一定趋于正无穷
虽然是n为变量，但是约掉了
反向带值
数列极限，不好使用洛必达（洛的条件：需要连续，而数列是间断的） 无法使用等价无穷小，不知道变量与常数之间的关系 使用反向带值：把常数换成函数
函数极限
一般以x为变量，x趋于无穷
n项和求极限的方法
夹逼准则
能使用定积分就用定积分，不适用就用夹逼
拉格朗日中值中使用夹逼准则
定积分定义
夹逼准则和定积分定义的共同运用
证明数列极限存在
利用单调有界性和两边同时取极限证明
单调有界性
数学归纳法
为利用条件，构造条件中的式子
两边同时取极限
利用定理
函数的极限
求极限题目，先判别类型，再选择方法
洛必达
等价代换
泰勒公式
抓大头准则
凑e法
就是第二重要极限
最简单常用的方法
n项乘积或和
BCD数学基础专项 第一讲 12
不能用
常用方法
带根号的【所有型都能用】
分子分母有理化
一半的根号也可以用
等价无穷小
根式相当于一个函数两个x点相减
可用拉格朗日中值定理
极限提前算
条件
整个式子的因子（系数一样） 极限不能为0
不能先算里面再算外面
特殊的
证明
武忠祥每日一题 20-11-15
扩展
有分数又幂函数，换元
用导数的定义求极限
看到这种抽象函数的变量与分子相同的就该考虑用定义了
变为[举例]
不能直接把多出来的次方带到另一边
绝对值
利用定义
条件给了导数，把导数化成定义
再加减项
无穷小、无穷大
无穷小的比较
高阶无穷小
上比下大，且等于0
给了一个极限，让求f(x)是x的
低阶无穷小
上比下小，且等于无穷
同阶无穷小
上下（阶数相同）相比，等于常数
上下相比，等于常数1
联想
根据
类似
平方差
法1
法2
拉格朗日中值定理
加减项
分子带参数，也可以使用这个
若是用等价无穷小后分子分母阶数不同（也即拆分后，极限得存在）
考虑用泰勒公式来等价无穷小
加减其他项来凑【但也需注意等价后的分子分母阶数要相同才能使用】
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 22
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 11
补充
变形
整理
跟ln有关的
跟三角函数有关的
推出
1
2
指数函数
幂函数
反向等价无穷小
其他
两个函数进行无穷小比较
阶数尽可能高的无穷小
也即让中间算出来的值，尽可能等于0，使其变为
分子或分母含未知数(a,b)的加减法
不能用等价无穷小，要用泰勒
极限运算法则
解答题
提取无穷因子
选择填空
极限存在法则、两个重要极限
有界
f(x)在(a,b)上连续推不出f(x)有界，需要添加条件f(a+0)、f(b-0)都存在=>f(x)有界
也即左端点的右极限和右端点的左极限存在
重要极限
不等于1！！！
因为四则运算是整体做的， 不能先做里面得到结果1后再n次方，需要意识到里面1/n趋近于零的过程和外面n次方是同时进行的。
实际上
无限趋近于e
幂指函数【幂和底都含有x】凑成这样
函数连续性、间断点
连续性
f(x)和|f(x)|连续性的关系
通常使用的反例
分段函数
用定义讨论
有变限积分
求原函数
一定不要忘记分段点左右相等
间断点
第一类：左右极限都存在，但不一定相等；第二类：不是第一类的都是第二类
第一类
可去间断点和跳跃间断点
带绝对值的间断点判定
主要是代值后为零的式子，需要分左右来讨论（并且不一定先分左右，可以等算到没法排除绝对值时再分）
武忠祥每日一题 20-12-18
武忠祥每日一题 20-12-20
日期
6-25做
对
数学强化攻略 第一章 25 step1
平方开方要带绝对值
分母为规律的有界，发散函数
需要分左右讨论的情况
这个代表的是分段函数在分界点
不然的话就一个x怎么可能那么简单嘛
求导函数，先判断分段函数在该点上是否连续
连续函数的运算、初等函数的连续性
反函数
解出来的反函数的正负需要参考原来函数的定义域
