行列式和矩阵做题笔记

这是一篇关于行列式和矩形阵的做题笔记。行列式的本质是线性变换的放大率，而矩阵的本质就是这个数表。该思维导图比较详细地归纳总结了关于这一部分知识点。

行列式和矩阵

• 行列式
  • 行列式的定义
    • 克拉默法则
      • 适用于
        • 求单个x时，使用线性方程的方式非常繁琐的时候，使用克拉默法则
  • 行列式的性质及相关结论
    • 展开定理
      • 代数余子式
  • 行列式的计算方法
    • 逆序数
    • 展开式
      • 有规律的n阶行列式
        • 用递推
          • 用行列式展开才能递推
    • 行列式性质
      • |A|=0
      • 注意
      • 推论
        • • 原因
          • 例题
            • 其目的都是运算后的第一列只有一个向量
    • 范德蒙行列式
      • 代数练习课第一讲 5
• 矩阵及其运算
  • 矩阵的概念及运算
    • 补充
      • • 成立条件
          • AB=BA
            • 原因
            • 等于的情况
              • 纯量矩阵
    • 方阵的行列式
      • • 注意
        • 例题
          • 行列式内的矩阵加减法
            • 方法
              • 处理加减，用AA*=|A|E
    • 几类特殊矩阵
      • 对称矩阵
        • 概念
        • • 证明
            • • 用到的概念
        • • 证明
            • • 用到概念
    • 矩阵的运算
      • 伴随矩阵
        • 概念
          • • 推出
        • 伴随矩阵计算量应尽量避免，将其(A*)转换成矩阵(A)或逆矩阵来算，然后化成最简接着进行矩阵运算
      • 矩阵的乘法
        • 很多时候为构造一个常数等式
          • 类型
            • 同时乘条件给出的矩阵(A)
        • 给了个等式，然后求特征值或者行列式
        • AB=BA的情况
      • 矩阵的转置
      • 一个矩阵等式算出来的特征值，就是其全部的特征值，只是可以n重根
    • 矩阵与向量的联系
  • 逆矩阵(可逆矩阵)
    • 概念
      • AB=BA=E
    • 性质
    • 可逆的充要条件
      • • 再推
          • r(A)=n
    • 若是问是否可逆，就要想到构造两个矩阵或矩阵式子相乘等于E【(xxx)(xxx)=E】
    • 求逆矩阵的方法
      • 法一
        • 用公式
      • 法二
        • 初等变换
      • 法三
        • 用定义求B
      • 法四
        • 用分块矩阵
  • 分块矩阵
    • 拉普拉斯展开式
      • 如果A和B分别是m阶和n阶矩阵
    • 分块矩阵运算
      • 加法
      • 乘法
      • 转置
      • 幂
        • • 矩阵n次方的几种求法
            • 分拆法
              • 适用
                • 两个矩阵相加
              • 特例
                • • 拆成
            • 写成两向量相乘
              • 适用
                • 矩阵所有(行/列)成比例，写成两向量的乘积
              • 所有行成比例
      • 可逆矩阵
    • 行列式
      • 补充
      • 注意
        • 分块矩阵中行列式的AB可以乘进两条杠内
          • 如
  • 其他
    • 任意两行成比例