矩阵初等变换、线性方程组和向量 做题笔记

这是一篇关于高等数学的思维导图。该思维导图包括矩阵初等变换、线性方程组和向量等知识点，归纳了其基本概念和解题方法。

矩阵初等变换、线性方程组和向量

• 矩阵的初等变换与线性方程组
  • 矩阵的初等变换
    • 初等矩阵
      • 初等矩阵的性质
        • 1
        • 初等矩阵的逆仍是初等矩阵 【两个相同初等矩阵相乘等于单位矩阵】
          • • 初等矩阵交换行或列后的逆，仍是初等矩阵交换行或列后
          • • 如
          • • 如
        • 初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵
        • 2
      • 初等矩阵与初等变换的关系
        • 对A做一次初等行变换，相当于A左乘一个相应的初等矩阵 对A做一次初等列变换，相当于A右乘一个相应的初等矩阵
    • 等价矩阵
    • 行阶梯矩阵，行最简矩阵
      • 化成最简行列式求其逆矩阵
  • 矩阵的秩
    • 定义
      • r(A)=r
        • A中有r阶子式不为0，而所有r+1阶子式（若有）全为0
          • 【两句话缺一不可】
          • 如
    • 矩阵秩的重要结论
      • 一个可逆矩阵乘以任意一个矩阵，不改变矩阵的秩
      • • 解释
• 向量组的线性相关性
  • 线性表示
    • • AB=C
        • 线性表示
          • C的列向量可由A的列向量线性表示
            • 若B可逆
              • A的列向量（B的逆右乘）可由C的列向量线性表示
            • 如
          • C的行向量可由B的行向量表示
            • 若A可逆
              • B的行向量（A的逆左乘）可由C的行向量线性表示
            • 如
        • 向量的线性表示
          • • 如
      • 向量组的等价问题与线性方程组有关
        • 线性方程组
  • 线性相关与线性无关
    • 线性相关与线性无关定义
      • 线性相关性的证明方法【矩阵元素均为已知】
        • • 如
            • 线性相关
            • 线性无关
      • 向量的问题
        • 就是对应着方程组解的问题
          • 矩阵存在元素未知的情况下
            • 齐次线性方程组
              • 先画阶梯形，在用齐次线性方程组的秩来判断
              • 判断n-1阶子式是否为零，再结合秩来求矩阵中未知元素
            • 非齐次线性方程组
      • 几何意义
    • 重要结论
      • 含零向量的向量组必定线性相关
      • 向量组线性无关，则其任一部分（加减一个）都线性无关
      • 多被少表，则多必然线性相关
        • 推论
          • 逆否
            • 多线性无关，则少被多表
          • 少被多表，则多可能相关，可能无关
        • 多被少表
  • 线性方程组
    • • 齐次方程组解集的极大无关组称为该齐次方程线性方程组的基础解系
      • n元齐次线性方程组Ax=0的任意n-R(A)个线性无关的解都可构成其基础解系
    • 线性方程组的解
      • 齐次线性方程组
        • Ax=0
          • 定理
            • • n是未知数的个数
            • 基础解系
              • 注意
                • 基础解系是线性无关的解向量构成
        • 齐次方程
          • 只有零解
            • r(A)=n[满秩矩阵]
              • |A|≠0
                • 线性无关
                  • 举例
          • 有非零解
            • r(A)<n[非满秩矩阵]
              • |A|=0
                • 线性相关
                  • 举例
      • 结论
        • 1
        • 2
        • 3
      • 非齐次线性方程组
        • 方法
          • 同解方程组（设参数）
            • 适用于
              • 判断未知参数的能不能线性表示
                • • 例题
                    • 李永乐复习全书基础版 180 例1（2）
                    • 李永乐复习全书基础版 180 例2
                • 若系数矩阵一样，两个方程组可放在一起求
                  • 求完之后，每个单独与系数矩阵看是否有解
                  • 例题
                    • 李永乐 基础 上课题 7
                    • 李永乐复习全书基础版 199 例13
              • 得到向量，构造向量
                • 例题
                  • 李永乐 基础 上课题 6 法一
                  • 李永乐复习全书基础版 191 例1
          • 利用自由变量和约束变量构成基础解系
            • 例题
              • 李永乐 基础 上课题 6 法二
        • 解的结构
        • 非齐次方程
          • 有解
            • 唯一解 （不是零解的意思）
              • r(A)=r(A|b)=n
                • • • 例题
                      • 基础 线性代数测试 5 D
                      • 基础 线性代数测试 6 B
                  • 例题
                    • 李永乐 基础 上课题 11 （1）
            • 无穷多解
              • r(A)=r(A|b)<n
                • |A|=0，但需要将A|b化为最简阶梯形，才能知道
          • 无解
            • r(A)≠r(A|b)
              • |A|=0，但需要将A|b化为最简阶梯形，才能知道
          • 例题
            • 含其他除x外的未知参数
              • 先变成阶梯形，再根据a的值来判断秩的特征
                • 爪型矩阵
                  • 特点
                    • 除了对角线，每列（行）元素都一样
                  • 消元方法
    • 方程组的应用
      • 可交换矩阵
      • 求非方阵的矩阵