导图社区 多元函数微分与二重积分思维导图
这是一篇关于多元函数微分与二重积分的思维导图。该思维导图比较详细全面地总结归纳了多元函数微分与二重积分的知识点,有助于备考复习。
编辑于2021-09-03 11:34:37多元函数微分与二重积分
多元函数微分法及其应用
其他
轮换对称性
一般来说是对积分而言的,要想在函数求导的时候用,就不要写在答题纸上,直接用
多元函数的基本概念
二元函数的极限
二重极限计算法方法
极坐标
夹逼法则
极限定义
偏导数
偏导数
例题
一元函数的变化率
不等式
直接法
画图
利用单调性
排除法
构造一个函数
幂指函数
要么改写成e,要么取对数
改写成e
具体点
求z【不是最终结果】
三个参数给了两个参数的值
代入原方程求出另一个参数,然后先代后导
求z的偏导【不是最终结果】
高阶偏导数
求偏导对应的不定积分
二阶偏导
f(u,v)有二阶偏导
说明混合偏导与求导次序无关
具体点
求其特解的导数
先分别求关于x,y的偏导数,然后带入x,y值,再求二阶偏导,代入所求的一阶偏导和x,y值
先代后求
全微分
偏导数、可微、连续、极限之间的关系
另一种解释方法
一元函数
二元函数
可以顺推(->),不可逆推(<-)
验证二元函数是否可微
步骤
step1
先看函数是否连续,不连续不可微
其逆否命题
step2
若连续,看偏导是否存在,不存在不可微
分段点存在的判断方法
定义
其逆否命题
step3
若可微,看是否连续
连续的判断方法
用公式求导,然后与用定义求导的结果进行比较,相等即连续
step4
若偏导连续
直接可微
若偏导不连续
用全微分等价定义
例题
若为选择题,则忽略是否可微(step3),直接全微分
可微只能推出全微分存在,不能推出别的任何一个步骤存在
可微的等价定义
公式表达
全微分方程
仅为全微分方程才满足这个条件
多元函数求导法则
复合函数的中间变量均为多元函数的情形
例题
有点像参数方程
注意
复合函数求导(链式求导法)
前提
需要内外层均可导
例题
不涉及分段,不用用定义求导,直接求导
隐函数的求导公式
隐函数存在定理2
方法
公式法
全微分法
例题
具体点求微分
先代后求
求原函数
用偏积分法
隐函数存在定理3
不要去背公式,直接按隐函数的偏导数求导方法来算
多元函数的极值及其求法
无条件极值
解题步骤
step1
先算驻点
显函数极值
前提
f可导
直接算偏导
隐函数极值
利用隐函数存在定理(隐函数求导法)来算偏导
例题
全微分式子里得出
step2
二阶连续偏导
显函数极值
只能正推(充分条件,不是必要条件)
直接算二阶偏导
注意
A、B、C可直接将值代入方程就获得
隐函数极值
利用隐函数存在定理得出的公式再求偏导等于零,解方程
注意
A、B、C包含在等于0的方程中,需要代值去解
注意
在求step2步的时候,可以采用先代后算
例题
武忠祥每日一题 155
step3
算出来A、B、C
判断该点是否取得到极值
等于零情况,考研不考
函数类型
显函数极值
隐函数极值
例题
二元取得极小值,则其对应的一元也取极小值
可正推,不可反推【充分非必要】
武忠祥每日一题 151 CD
抽象函数求极值的充分条件
武忠祥每日一题 152
条件极值
例题
约束条件为等式
二元条件
约束条件为不等式
方法
法一
先内部取得极值点
求驻点
注意
若超过约束条件值的范围,则可直接不用在考虑将驻点代入f计算了
例题
高数下 练习课 12 法二
然后在边界上找可能极值点
利用公式
分别求出x,y以及通过边界函数分别对应的y,x
最后把得出来的所有极值点,代入f计算出值进行比较,得出最大最小值
法二
化条件为无条件
注意
适用于约束条件和f之间有紧密联系
如
约:y^2 f:y^2 则简单 约:y^2 f:y 则困难
先求驻点
再将约束条件化成y=或y^2=...,方便代入f的式子,变为一元函数求极值的方法了
最后把驻点的函数值和一元函数求出的极值进行比较,得出最大最小值
法三
约束条件为椭圆,圆用参数方程
先求驻点
再将约束条件化成参数方程,代入f中求极值
最后把驻点的函数值和一元函数求出的极值进行比较,得出最大最小值
高数下 练习课 12
法一
注意
超越方程
具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程
如
求解方法
没法解,只有代值去试
二重积分
二重积分的概念及计算
二重积分的性质
比较定理
例题
同积分区域就比较函数
高数下 练习课 14
如果有一个函数积分为零,则其余两个函数很有可能是跟零比较
高数下 练习课 15
不等式
一定要注意D区域对函数大小的影响
积分运算中还嵌套了一个一样的积分
将嵌套的积分和要积分都设为A
计算
两个函数相乘
交换积分次序
方法
step1
画域
step2
重新定线
二重积分的计算法
利用对称性计算二重积分
设D关于y轴对称
设D关于x轴对称
设D关于原点对称
设D关于y=x对称[轮换对称性]
二重积分计算
直角坐标
先x还是先y问题
有些积分中面积不好算,可以把其变为二重积分来算
画与积(x或y)对应的线,按另个一轴移动,观察两端交点是否变化
两端函数表达式不变化则尽量选用,变化则看另一轴,如果也变化,则分区域讨论
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 7
先x难算,就先y;先y难算,就先x
积分里面有未知函数
定限(上下限)的方法
(1)后积先定限(累次积分中后积变量的上下限均为常数可以先确定);
(2)限内化条线(该直线要平行于坐标轴且与坐标轴同方向);
(3)先交为下限(直线先穿过的曲线作为下限);
(4)后交为上限(直线后穿过的曲线作为上限).
积x:左边为下限,右边为上限 积y:下边为下限,上边为上限
参数方程
画大致图像步骤
背
直角坐标与极坐标的转化
极坐标转直角坐标
直角坐标转极坐标
极坐标
圆形或圆形区域一部分
利用极坐标系计算二重积分
例题
若不是以原点为中心的极坐标【慎用】
要先看能不能换元把其变成一个以原点为中心的
根据三角函数来获得r的范围
双钮线
使用条件