导图社区 高数-积分,微分方程思维导图
这是一篇关于大学高等数学不定积分,定积分,微分方程的做题笔记以及具体例题的归纳总结,该思维导图比较系统全面地归纳总结了这一部分知识,可帮助高效备考。
编辑于2021-09-03 11:59:34不定积分,定积分,微分方程
不定积分
注意
拿到一道抽象函数积分题,不要着急着洛必达,而是先观察能否换元
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 9题
凑微分
BCD数学寒假集训 65 step1
换元积分法和分部积分法
不定积分,定积分选择题中最难也就是第一、第二换元和分部积分
换元积分法
第一换元积分法(凑微分法)
抽象函数的不定积分
切记不一定要算出来,可以通过凑微分,然后代前面的值
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 9题
模板
BCD数学寒假集训 65 step1
第二换元积分法
例题
BCD数学寒假集训 65 step2
整体换元解决分段函数
寒假作业 P74 [38]
三角代换
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 15题
平方也可以三角代换
武忠祥每日一题 122 法二
分部积分
适用于两种不同类型的函数【两类函数相乘】
例题
武忠祥每日一题 86
武忠祥每日一题 89
武忠祥每日一题 99
武忠祥每日一题 123
武忠祥每日一题 124
基本积分公式
例题
用到21的
BCD数学寒假集训 74
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 22
武忠祥每日一题 115
16
武忠祥每日一题 121
20
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 22
积分例题
三角/反三角
反三角函数换元成三角函数,再积分
例题
BCD数学寒假集训 54
武忠祥每日一题 89 法二
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 15
分子分母:三角函数的参数不同
先化成相同的三角函数参数
例题
武忠祥每日一题 88
看到分母有平方且不能拆:往反三角上面凑
例题
BCD数学寒假集训 46
BCD数学寒假集训 49 step2
分子和分母分别出现了sinx和cosx以及其平方等时
考虑将其转换成tanx或cotx类型
例题
武忠祥每日一题 121
BCD数学寒假集训 49
划到dx中去
武忠祥每日一题 118
例题
武忠祥每日一题 119
R(sinx,cosx)
R表示加减乘除
如
例题
3
武忠祥每日一题 120
换元
根号与另一个数的加减类型直接"整体换元",再积分
例题
BCD数学寒假集训 55
比较难算[除了e],先换元再计算
例题
BCD数学寒假集训 46
拆有理式
可以因式分解的
裂项时:要保证分子次数比分母次数小
如何保证
加一减一
详见
BCD数学寒假集训 47
拆成最简式来积分
分母n次,则分子对应为n-1次
例题
BCD数学寒假集训 55 step1
加一减一
使其能凑成一个1+(..【分子仅含一个元素】)类型
例题
武忠祥每日一题 87
化简为繁
分子分母同乘(同除)
例题
寒假作业 P71 [29] 法一
反常积分
武忠祥每日一题 107
微分方程
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 15
分子加一减一
使其能凑成一个1+(..【分子仅含一个元素】)类型
例题
寒假作业 P71 [29] 法二
BCD数学寒假集训 45
不可以因式分解的
1
2
让分子凑出分母的式子
例题
BCD数学寒假集训 49 step1
例题
武忠祥每日一题 98 step1
BCD数学寒假集训 44
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 19
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 15
n=1
例题
武忠祥每日一题 98 step2
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 17
n=2
例题
武忠祥每日一题 86
例题
降次
武忠祥每日一题 122 法一
三角代换
类型
例题
BCD数学寒假集训 57
BCD数学寒假集训 50 法一
武忠祥每日一题 125
换元
例题
BCD数学寒假集训 50 法二
BCD数学寒假集训 53
根号
分母n次,分子n-1次类型
如
直接凑微分凑出来
例题
寒假作业 P71 [28]
分母只有参数,没有常数
直接化为
例题
寒假作业 P71 [28]
方法
先配方
三角代换去掉根号
例题
武忠祥每日一题 128 法一
奇偶性平移+几何意义
例题
武忠祥每日一题 128 法二
背
方法
三角代换
背
例题
BCD数学寒假集训 48
例题
BCD数学寒假集训 48 step1
例题
寒假作业 P70 [26]
换元
令
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 22
分段函数求原函数
求出的原函数要证明其可导
例题
寒假作业 P70 [24]
定积分
定积分
积不出来的积分
解决办法
一般是用到可变积分或者积分不等式比较中
可变积分
求导
例题
BCD数学寒假集训 60
积分不等式
放缩
例题
BCD数学寒假集训 61
条件给的变限积分没办法求
积分中值定理
求导(积分中只有分部积分需要用到求导),把变限积分求出来
例题
武忠祥每日一题 100
定积分例题
涉及物理
寒假作业 P75 [41]
根式
根式里面有二次函数不要强行算
看它有没有几何意义或者是否能通过三角代换来去掉更好
例题
武忠祥每日一题 129
几何意义类型
a>0
例题
武忠祥每日一题 95
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 18
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 13题
武忠祥每日一题 90
想办法替换到只剩下根号里面的平方式子
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 18
含有三角函数
例题
积分区间关于原点对称,立刻想到奇偶性
例题
武忠祥每日一题 97
三角函数
例题
武忠祥每日一题 97
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 24 step3
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 5
求定积分的式子中嵌套了定积分
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 21
平方
换元
比直接两个分别展开然后相乘来算定积分要快的多
例题
武忠祥每日一题 130
当判断原函数可能找不出来或者很难找时
无法用分部积分等的积分
方法
区间再现(区间不动)的变量代换(换元)
模板
例题
代换出来后,可使用
来解题
武忠祥每日一题 131
定积分的概念和性质
概念
求数列前n项和的极限
考点
主要考虑乘除拆开变加减的问题
例题
不同区间:x换元的元素不同
秋季基础阶段(1)期末测试 17题
武忠祥每日一题 90
武忠祥每日一题 91
夹逼准则和定积分定义的共同运用
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 24
另一种方法是夹逼
算的是面积(多个小梯形面积相加)
例题
BCD数学寒假集训 56
性质
积分区间可加性
证明题
BCD数学寒假集训 58
寒假作业 P59 [8]
寒假作业 P61 [10](2)
不等式
需了解
1、有几个不等式要证明 2、不一定要积出来,用放缩
例题
BCD数学寒假集训 61
寒假作业 P72 [31]
积分区间关于原点对称,立刻想到奇偶性,再想到根据奇偶性判断与零的大小关系
武忠祥每日一题 93
构造函数用单调性
积分中还嵌套积分(相当于是变限积分)
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 27
常用结论
例题
武忠祥每日一题 77 法三
比较的是函数的1,不是定积分的1
武忠祥每日一题 94
定积分估值定理
例题
寒假作业 P72 [30]
微积分基本公式
可变积分(变限积分)
证明
先用定义,再用积分区域可加性,最后使用积分中值定理
切记不能用洛必达,因为洛必达是柯西中值推倒出来的,里面导数不能用
可以用积分中值定理,因为其与导数没关系
寒假作业 P59 [8]
数学基础结课测试 (17)
例题
上下限是参数,又让积分的,不然是可变积分求导
BCD数学寒假集训 62
二重变限积分
将其转化成一重
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 12 step1
导数定义+变限积分
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 17
分区间拿掉绝对值
武忠祥每日一题 104
变限积分求偶函数
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 13
积分方程
通过求导化成微分方程
武忠祥每日一题 138
定积分的换元法和分部积分法
定积分其他常见性质
三角函数的定积分
证明
使用换元法
寒假作业 P60 [9](1)
例题
寒假作业 P60 [9](1)
积分相等则相加的思想
武忠祥每日一题 131 step1
证明
使用换元法
寒假作业 P60 [9](2)
例题
寒假作业 P60 [9](2)
跟上限没有多大关系
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 21 step1
武忠祥每日一题 126 step1
华莱士公式
例题
高基上 p78 5.22
武忠祥每日一题 96
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 21
武忠祥每日一题 110 step1
武忠祥每日一题 126 step2
武忠祥每日一题 129
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 21 step1
周期函数的定积分
证明
求导
寒假作业 P61 [10](1)
证明
利用上式和积分区域可加性
寒假作业 P61 [10](2)
例题
寒假作业 P61 [10](2)
例题
证明为周期函数,方法:求导
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 25 (ll)
反常积分(广义积分)
注意
背
推
推导
详见概基 2.10
例题
概基 2.10
求解步骤
先求不定积分,得出来的值再带上下限
例题
BCD数学寒假集训 59
敛散性判断
方法
定义
例题
武忠祥每日一题 105 D
不要把x=0忘掉
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 3
伽玛函数
如
例题
武忠祥每日一题 105 A、B
如
p积分
例题
武忠祥每日一题 105 C、D
比较法和比较法的极限形式
计算例题
反常积分
武忠祥每日一题 107
定积分的应用
平面图形的面积
直角坐标系
例题
武忠祥每日一题 109
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 30 step1
例题
先补足再减
BCD数学寒假集训 71 (2)
BCD数学基础专项 第一讲 10
要想象函数的图形
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 14
含未知系数的,要分类讨论
注意两个函数的位置关系
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 28
一重积分要使用二重积分画线法(能减少背的公式)
其实就是二重积分求D的面积
例题
BCD数学寒假集训 66
极坐标
例题
武忠祥每日一题 132
切线,斜率
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 30
体积
旋转体体积
模板公式
平面域D绕直线L:ax+by+c=0(该直线不穿过区域D)旋转所得旋转体体积记为V
证明
武忠祥每日一题 133
特例
y=f(x)
公式
绕x轴旋转
记
y是关于x的函数,那就x为积分
例题
武忠祥每日一题 109
分类讨论
绕y轴旋转
记
y是关于x的函数,那就x为积分
例题
先补足再减
BCD数学寒假集训 69
BCD数学寒假集训 71 (3)
BCD数学寒假集训 70
BCD数学寒假集训 72
BCD数学寒假集训 68
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 22
x=f(y)
公式
绕y轴旋转
记
x是关于y的函数,那就y为积分
绕x轴旋转
记
x是关于y的函数,那就y为积分
例题
寒假作业 P73 [34]
例题
武忠祥每日一题 133
物理应用
压力问题
例题
武忠祥每日一题 111
做功问题
W=F·L
例题
BCD数学寒假集训 73
武忠祥每日一题 112
弧微分(弧长)
公式
例题
寒假作业 P75 [39]
参数方程
例题
BCD数学寒假集训 67
曲面
例题
寒假作业 P74 [36]
一些需要函数对应的图形
方法
背
图形
星形线
例题
BCD数学寒假集训 67
心形线
画图
例题
武忠祥每日一题 110
摆线
双纽线
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 24
样例
教材 高数上 p372 附录
描点作图
详见:闪电云->2022届BCD专项课程-数学(秋季)->BCD寒假数学专项第5节 2:11:0
微分方程
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 8题
BCD数学寒假集训 74
BCD数学基础专项 第一讲 9
齐次方程
例题
BCD数学寒假集训 75
武忠祥每日一题 115
微分方程在几何上的应用
武忠祥每日一题 139
一阶线性微分方程
牢记
例题
寒假作业 P79 [50]
需要把一个函数看成y
BCD数学寒假集训 76
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 15
一阶线性微分方程化简的原则:最高阶系数为1
寒假作业 P76 [42](3)
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 7
积分的结果是ln(),要变为绝对值,分类讨论
寒假作业 P76 [43]
不是常见的类型
考虑x与y对调
武忠祥每日一题 116
可降解的高阶微分方程
例题
BCD数学寒假集训 78
常系数非齐次方程和常系数齐次方程关系
非齐次方程的解
若做差后的解是两个线性无关的解,则是齐次方程的通解
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 16题
例题
寒假作业 P78 [48]
寒假作业 P76 [42](1)
非齐通=齐通+非齐特
齐通
非齐特
就是非齐次方程的解中任意一个
常系数齐次线性微分方程
高基上 95 1
例题
共轭复根
BCD数学寒假集训 80
只做了一半
n阶常系数
高基上 95 2
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 12
线性微分方程的解与特征根和特征方程之间的关系
例题
武忠祥每日一题 135
常系数非齐次线性微分方程
有积分上限的函数,必有初始条件
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 22题
6-10做
错
错在最后没代值算出特定的解
二阶常系数非齐次线性微分方程
例题
需要讨论k
BCD数学寒假集训 79
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 5
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 8
两种类型相加的方程
结果
证明
BCD数学寒假集训 81
黄色部分
例题
BCD数学寒假集训 80
只做了一半
BCD数学寒假集训 81
武忠祥每日一题 137
微分方程的几何应用
例题
互相垂直的两条线相乘为-1
寒假作业 P78 [47]
注意
两边积分后要记得加C 且有C在的可以去掉绝对值
例题
BCD数学寒假集训 78
求f(x)表达式的一般都是微分方程
题中未给出微分就需要自己创造
套用公式求导
秋季基础阶段(1)期末测试 22题
利用定义求导
寒假作业 P78 [46]