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高数总结
这是一篇关于大学高等数学知识点总结的思维导图。该思维导图归纳总结了极限,导数,微分,中值的知识点以及相应例题的分析，非常有料。
编辑于2021-09-03 12:01:42- 高数总结
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- 大纲
极限、导数、微分
函数与极限
暂定
ln里面有分数
等价无穷小（得在分数情况且是无穷小）
化简成ln?-ln?
秋季基础阶段(1)期末测试 13题
通解
含C的都叫通解
充分性和必要性
区别
充分性
前者为条件，后者为结果
必要性
前者为结果，后者为条件
例题
代数练习课第2-3讲 3
代数练习课第2-3讲 6
三角函数代换公式
和差角公式
例题
数学强化攻略 第一章 6
和差化积公式
积化和差公式
二倍角公式
反三角函数图像
arctanx
arcsinx
正数的算数平均数大于等于几何平均数
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 30 step1
函数
定义域
给了f(x+1)和x的定义域
注意
定义域是x的定义域，不是x+1的定义域
例题
武忠祥每日一题 20-11-4
日期
6-10做
对
g[f(x)]
最后结果函数的定义域是f(x)中x的定义域
不是g(x)的定义域
例题
武忠祥每日一题 20-11-2
日期
6-25做
对
幂指函数类型极限
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 18题
日期
6-10做
对
武忠祥每日一题 20-12-20
日期
6-25做
对
第二重要极限
看到像是能用第二重要极限的，但实际不能用的，要想到抬起法
例题
武忠祥每日一题 20-12-2
函数比较大小
两个要比大小的函数构造成一个新函数，然后再求导来得出答案【条件一定要有x的值，有可能直接给，有可能在区间里面】
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 6题
连续一定极限存在，极限存在不一定连续
即：连续必存在，存在不一定连续
例题
详见 高数下基础教程 p12 8.18（1）和（2）
函数的几何性质
奇函数
例题
武忠祥每日一题 95
特别的函数求极限
例题
武忠祥每日一题 20-12-21
例题
武忠祥每日一题 20-12-23
无界与发散
无界必发散，发散不一定无界
如
振荡函数
通常这类题举例用含
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 11 ABC
函数周期
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 15
分数拆分
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 7
数列的极限
定义
例题
数学强化攻略 第一章 1 法一
画图
例题
数学强化攻略 第一章 1 法二
数列必须是正整数，不能为零
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 11
区分数列的极限和函数的极限
数列极限
一般以n为变量，且n一定趋于正无穷
例题
虽然是n为变量，但是约掉了
武忠祥每日一题 20-11-29
反向带值
数列极限，不好使用洛必达（洛的条件：需要连续，而数列是间断的） 无法使用等价无穷小，不知道变量与常数之间的关系 使用反向带值：把常数换成函数
武忠祥每日一题 20-11-30
函数极限
一般以x为变量，x趋于无穷
n项和求极限的方法
夹逼准则
能使用定积分就用定积分，不适用就用夹逼
例题
寒假作业 P63 [4]
拉格朗日中值中使用夹逼准则
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 23 step2
定积分定义
例题
夹逼准则和定积分定义的共同运用
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 24
证明数列极限存在
利用单调有界性和两边同时取极限证明
单调有界性
正数的算数平均数大于等于几何平均数
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 30
数学归纳法
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 10 step1
例题
数学强化攻略 第一章 17
为利用条件，构造条件中的式子
例题
考研题补充 8（2）step1
两边同时取极限
利用定理
例题
考研题补充 8（2）step2
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 30 step2
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 10
数学强化攻略 第一章 17
考研题补充 8（2）
函数的极限
例题
武忠祥每日一题 20-11-15
日期
6-10做
对
求极限题目，先判别类型，再选择方法
洛必达
等价代换
泰勒公式
洛必达
泰勒公式
抓大头准则
例题
武忠祥每日一题 20-11-11
武忠祥每日一题 20-12-17
数学强化攻略 第一章 6
凑e法
就是第二重要极限
最简单常用的方法
例题
武忠祥每日一题 20-11-25
武忠祥每日一题 20-11-26
n项乘积或和
武忠祥每日一题 20-12-6
武忠祥每日一题 20-12-5
BCD数学基础专项 第一讲 7
BCD数学基础专项 第一讲 8
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 21
例题
BCD数学基础专项 第一讲 12
不能用
常用方法
例题
武忠祥每日一题 20-12-9
带根号的【所有型都能用】
分子分母有理化
例题
武忠祥每日一题 20-11-9
武忠祥每日一题 20-11-12
法1
武忠祥每日一题 20-11-13
法1
一半的根号也可以用
BCD数学寒假集训 5
BCD数学基础专项 第一讲 3
等价无穷小
例题
武忠祥每日一题 20-11-12
法2-1
法2-2 扩展等价无穷小
根式相当于一个函数两个x点相减
可用拉格朗日中值定理
极限提前算
条件
整个式子的因子（系数一样） 极限不能为0
例题
不能先算里面再算外面
武忠祥每日一题 20-11-18
特殊的
证明
武忠祥每日一题 20-11-15
扩展
证明
武忠祥每日一题 20-11-15
扩展
有分数又幂函数，换元
例题
BCD数学基础专项 第一讲 4
用导数的定义求极限
看到这种抽象函数的变量与分子相同的就该考虑用定义了
变为[举例]
例题
BCD数学寒假集训 65 step3
武忠祥每日一题 20-12-22
不能直接把多出来的次方带到另一边
武忠祥每日一题 1-4 A
秋季基础阶段(1)期末测试 5题
日期
6-25做
对
寒假作业 P74 [37]
绝对值
例题
武忠祥每日一题 20-12-23
武忠祥每日一题 20-12-19
武忠祥每日一题 20-12-18
日期
6-25做
错
知道哪个点该分左右，但算不来极限了
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 2 step3
利用定义
条件给了导数，把导数化成定义
例题
数学强化攻略 第一章 18
再加减项
例题
数学强化攻略 第一章 19
无穷小、无穷大
例题
武忠祥每日一题 20-11-22
数学强化攻略 第一章 6 step1
无穷小的比较
高阶无穷小
上比下大，且等于0
例题
给了一个极限，让求f(x)是x的
例题
武忠祥每日一题 20-12-13
扩展
低阶无穷小
上比下小，且等于无穷
同阶无穷小
上下（阶数相同）相比，等于常数
等价无穷小
上下相比，等于常数1
等价无穷小
联想
根据
类似
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 22 step1
例题
武忠祥每日一题 20-12-4
平方差
例题
武忠祥每日一题 20-11-23
武忠祥每日一题 20-11-24
例题
数学强化攻略 第一章 7
法1
根据
例题
寒假作业 P62 [3]
日期
6-10做
错
漏掉了e
法2
根据
拉格朗日中值定理
扩展
加减项
分子带参数，也可以使用这个
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 18 step2
若是用等价无穷小后分子分母阶数不同（也即拆分后，极限得存在）
考虑用泰勒公式来等价无穷小
例题
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 18 step1
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 21
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 25
加减其他项来凑【但也需注意等价后的分子分母阶数要相同才能使用】
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 22
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 11
补充
例题
变形
例题
武忠祥每日一题 20-11-18
武忠祥每日一题 20-12-8
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 21 step2
例题
寒假作业 P62 [2]
武忠祥每日一题 20-12-15
武忠祥每日一题 20-12-9
法二
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 6
证明
例题
武忠祥每日一题 20-12-10
整理
跟ln有关的
跟三角函数有关的
推出
推出
1
2
例题
武忠祥每日一题 20-11-16
指数函数
推出
幂函数
注意
反向等价无穷小
其他
两个函数进行无穷小比较
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 12
阶数尽可能高的无穷小
也即让中间算出来的值，尽可能等于0，使其变为
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 26
分子或分母含未知数(a,b)的加减法
不能用等价无穷小，要用泰勒
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 9
极限运算法则
抓大头准则
解答题
提取无穷因子
例题
武忠祥每日一题 20-11-10
法1
武忠祥每日一题 20-11-11
选择填空
例题
武忠祥每日一题 20-11-10
法3
极限存在法则、两个重要极限
有界
f(x)在(a,b)上连续推不出f(x)有界，需要添加条件f(a+0)、f(b-0)都存在=>f(x)有界
也即左端点的右极限和右端点的左极限存在
例题
武忠祥每日一题 20-11-8
重要极限
第二重要极限
注意
不等于1！！！
因为四则运算是整体做的， 不能先做里面得到结果1后再n次方，需要意识到里面1/n趋近于零的过程和外面n次方是同时进行的。
实际上
无限趋近于e
幂指函数【幂和底都含有x】凑成这样
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 11题
函数连续性、间断点
连续性
定义
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 14
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 18 step3
f(x)和|f(x)|连续性的关系
例题
通常使用的反例
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 14 A
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 14 B
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 14 C
分段函数
连续性
例题
用定义讨论
数学强化攻略 第一章 24
有变限积分
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 13
求原函数
一定不要忘记分段点左右相等
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 11
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 16
间断点
第一类：左右极限都存在，但不一定相等；第二类：不是第一类的都是第二类
第一类
可去间断点和跳跃间断点
例题
带绝对值的间断点判定
主要是代值后为零的式子，需要分左右来讨论（并且不一定先分左右，可以等算到没法排除绝对值时再分）
武忠祥每日一题 20-12-18
武忠祥每日一题 20-12-20
日期
6-25做
对
数学强化攻略 第一章 25 step1
平方开方要带绝对值
武忠祥每日一题 20-12-19
武忠祥每日一题 20-12-17
取大头
武忠祥每日一题 20-12-21
使用结论
分母为规律的有界，发散函数
例题
sinx
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 29
需要分左右讨论的情况
1
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 3题
武忠祥每日一题 20-11-11
武忠祥每日一题 20-12-17
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 28 step1
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 28 step2
这个代表的是分段函数在分界点
不然的话就一个x怎么可能那么简单嘛
例题
求导函数，先判断分段函数在该点上是否连续
武忠祥每日一题 20-12-24
连续函数的运算、初等函数的连续性
反函数
解出来的反函数的正负需要参考原来函数的定义域
例题
武忠祥每日一题 20-11-5
微分中值定理、导数的应用
微分中值定理
方法
画图
把所要考虑的结论和条件通过画图画出来，通过画图分析
基本上每次中值定理的题都要构造函数
构造函数
原函数为差
构造
构造函数为商
例题
武忠祥每日一题 1-3
原函数为和
构造
构造函数为乘
例题
武忠祥每日一题 83
原函数为
构造
构造函数为
例题
武忠祥每日一题 82
双中值
需要使用两次中值定理
可使用的中值定理【具体使用哪个根据条件判断】
拉格朗日中值定理
例题
把相同的参数移到一边，方便构造函数
武忠祥每日一题 84
柯西中值定理
例题
武忠祥每日一题 85
其他
证明原函数等于零
用零点定理
例题
武忠祥每日一题 81
证明二阶导函数等于零
用一阶导函数的罗尔定理
例题
武忠祥每日一题 81
扩展
中值定理类型及证明
适用闭区间
介值定理
概念
例题
连续函数最大最小值的介值定理
武忠祥每日一题 80
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 25
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 30
推论
零点定理
方法
step1:构造函数
step2:看有没有异号的点
主要看端点，端点不行才在区间内找点
区间内找点需要看能不能凑出题中给出的条件
例题
都要构造函数
寒假作业 P57 [1]
寒假作业 P62 [1]
武忠祥每日一题 81
构造中间变量，使其大于两个相等的值
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 10
闭区间的微分中值定理
公式
证明
寒假作业 P59 [7](1)
例题
用于去掉不想要的积分符号
寒假作业 P59 [8]
积分没法求时，即可使用
寒假作业 P73 [33]
寒假作业 P72 [30]
数学基础结课测试 (17)
使用开区间和导数
罗尔定理
证明
寒假作业 P58 定理结论证明 [4]
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 19题
画图+两次罗尔定理
原因是要求的导数的值不为零，需要构造函数
定积分类型
BCD数学寒假集训 64
不是只有端点才能用罗尔定理
寒假作业 P73 [33]
武忠祥每日一题 80
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 26
反证法
数学强化配套习题集 第一部分 第三讲 26
一阶导函数的罗尔定理
武忠祥每日一题 81
拉格朗日定理
证明
分析过程
正向看看不出来，可以通过结论，积分反向推出需要构造的F(x)，再用罗尔定理
寒假作业 P58 [5]
日期
6-25做
错
如果出现同一函数在两点函数值差的时候，常用拉格朗日中值
例题
武忠祥每日一题 20-11-13
法2
武忠祥每日一题 20-11-17
法2
武忠祥每日一题 20-11-19
武忠祥每日一题 20-11-20
通过等价无穷小获得
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 23 法二 step2
BCD数学基础专项 第一讲 7
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 21 step1
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 23 法二
使用夹逼准则
step2
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 27
注意
如
武忠祥每日一题 20-11-17
法2
BCD数学基础专项 第一讲 6
开区间的微分中值定理(积分中值定理)
证明
寒假作业 P59 [7](2)
例题
用于去掉不想要的积分符号
寒假作业 P59 [8]
一般条件给的积分没法求时，即可使用
寒假作业 P73 [33]
寒假作业 P72 [30]
数学基础结课测试 (17)
柯西中值定理
证明
分析过程
正向看看不出来，可以通过结论，积分反向推出需要构造的F(x)，再用罗尔定理
寒假作业 P58 [6]
例题
利用了拉格朗日中值定理
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 29
洛必达法则
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 5题
秋季基础阶段(1)期末测试 1题
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 11题
注意
一元函数绝对值不可导
例题
武忠祥每日一题 20-11-5 冲刺
这道题不适合分正负
通常需要分正负讨论
二元函数绝对值也不可导
例题
高数下 练习课 7 A选项
泰勒公式
来源
泰勒级数
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 30
内在联系
注意
适用于
将一系列式子收缩成一个函数
例题
练习课 高数下 级数 8
高阶导求值
例题
考研题补充 4
高阶导不等式（拉格朗日余项）
例题
考研题补充 3
含参数极限（佩亚诺）
例题
BCD数学基础专项 第一讲 1
BCD数学基础专项 第一讲 2
将函数展开
例题
练习课 高数下 级数 10
例题
分子幂未知，分母展开成几项，则只要式子相减不等于0即可
武忠祥每日一题 20-11-14
法2
分母为含有未知数的幂元素，洛必达只能求出一个未知数的情况
武忠祥每日一题 20-11-27
不同阶数泰勒公式相乘
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 16
注意
例题
BCD数学基础专项 第一讲 5
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 16 step1
函数的单调性、极值和最值
根据抽象函数（一般函数）求导数及其极大极小值
洛必达法则
推出
=0
=a
反正就是需要求一阶导，二阶导这样来看
极限的保号性
定义
指满足一定条件（例如极限存在或连续）的函数在局部范围内函数值的符号保持恒正或恒负的性质
如
使用条件
给了一个极限又非零：更多用一个性质：极限的保号性
例题
武忠祥每日一题 1-4 BCD
武忠祥每日一题 81
例题
没办法用0/0型得出的值来利用(拐点/极值点)充分条件来判断情况
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 2
排除法（选择题）
何时用
一般函数：即只告诉连续和可导或有定义，未给具体表达式
怎么用
具体函数(特殊函数)法：举一个符合题目条件的具体函数
例题
武忠祥每日一题 20-12-23
武忠祥每日一题 1-4
武忠祥每日一题 1-5
几何法
适用于几何意义非常明显的
例题
武忠祥每日一题 1-2
法二
例题
武忠祥每日一题 1-2
法一：直接法
武忠祥每日一题 1-5
直接法
极值点
极值存在的充分条件
第一充分条件
第二充分条件
拐点
拐点存在的充分条件
第一充分条件
第二充分条件
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 2
驻点
可能的极值
例题
武忠祥每日一题 69
罗尔定理
武忠祥每日一题 74 法二
曲线的凹凸性与拐点
拐点
可能的拐点
y''异号即为驻点
例题
武忠祥每日一题 1-6
武忠祥每日一题 69
某点为原函数无定义的点，而不是二阶导无定义的点，则不能使用该点
例题
武忠祥每日一题 72（2）
其他
二阶与一阶导函数的方程
如
方法
step1
代值，算出"点"对应的一阶或二阶导数
例题
武忠祥每日一题 1-7
step2
若一阶或二阶得不出结论，则根据方程是否可导，求三阶
例题
武忠祥每日一题 68
函数图像
根据图像判断极值点和驻点
一阶导函数图像
方法
判断极值点
函数为0的点，且两边异号
判断驻点
与x轴平行的点，且两边增减性异号
例题
武忠祥每日一题 69
作图
方法
step1:找定义域
step2:求一阶导找增减区间和极值
step3:求二阶导找凹凸区间和拐点
step4:求渐近线
step5:综合上述信息准确画出
例题
武忠祥每日一题 72
方程根的问题
存在性【f(x)=0】
零点定理
罗尔定理
例题
武忠祥每日一题 73
有且仅有一个实根
零点定理+单调性
例题
武忠祥每日一题 74
练习课 高数下 级数 8
带未知参数的
即方程除了有x,y(已知参数)还有k,m,n(未知参数)等
方法
把未知参数和已知参数分开，各写一边，然后求出已知参数构成的图像
例题
武忠祥每日一题 76
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 15
证不等式
单调性
例题
武忠祥每日一题 77 法一
一般求导，一阶不行，二阶；二阶不行，三阶；....
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 23
对等式两边进行变形
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 9
拉格朗日中值定理
例题
武忠祥每日一题 77 法二
常用结论
例题
武忠祥每日一题 77 法三
比较的是函数的1，不是定积分的1
武忠祥每日一题 94
求最小最大值
区间所有值大于(小于)一个常数
例题
武忠祥每日一题 78
不单调
例题
武忠祥每日一题 79
函数图像的渐近线
直接算
类型
水平渐近线
图像
垂直渐近线
图像
斜渐近线
a和b同时存在，才叫斜渐近
注意
水平渐近线和斜渐近线不能同时存在
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 20题
日期
6-25做
错
忘记了怎么求渐近线
武忠祥每日一题 70 法一
构造/变换函数
把f(x)变成一个ax+b的函数，其他部分趋于0
例题
武忠祥每日一题 70 法二
导数与微分
导数概念
记
一元函数可导必连续
连续不一定可导
记这个图像y=|x|，在x=0处连续不可导
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 21
武忠祥每日一题 概念题 1
一元函数可导等价可微
导数的定义
公式
例题
武忠祥每日一题 概念题 1
用定义的类型
求导数
直接硬算
利用定义
等价无穷小
洛必达法则
洛必达法则
例题
武忠祥每日一题 20-12-26
导数定义+变限积分
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 17
左、右导数定义
求可导点
根据定义
左右极限存在且相等
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 19
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 1
记定理
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 4题
去心邻域
去心邻域内可导
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 12
导数的计算
其他
多个含x的规律方程相乘，求导数
方法
看为非零因子和零因子
导数定义
泰勒公式
例题
秋季基础阶段(1)期末测试 12题
日期
6-25做
对
例题
武忠祥每日一题 74 法一
求导的特殊形式
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 16
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 17
dy
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 5
复合函数求导
方法
先代表达式，再代值
慢
直接复合函数求导，再带代值进表达式求出来
例题
武忠祥每日一题 20-12-27
隐函数求导
求隐函数具体点的导数值
算出每次导数（包括原函数）的具体点的具体值，再进行下一次求导
例题
武忠祥每日一题 20-12-28
数学强化配套习题集 第一部分 第一讲 2 step1
参数方程求导
例题
武忠祥每日一题 20-12-29
只给一个参数关于t，让求另一个参数关于t的
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 21
带变限积分的参数方程
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第二讲 18
n阶导求法
方法
公式法
例题
使用了公式(4)
武忠祥每日一题 20-12-30
求u
不完全归纳法（找规律）
例题
武忠祥每日一题 20-12-30
求v
分数：分母高次考虑拆成一次
武忠祥每日一题 20-12-31
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 18
泰勒级数
排除法
选择题
不一定要求到n阶，求到2阶或3阶（根据条件选择）时，带入选项中看哪个等于2阶或3阶的式子
例题
武忠祥每日一题 1-1