导图社区 一元积分学
对定积分的全面总结，包括公式，定理，性质，结合了张宇和汤家凤的精华，分享给大家使用。
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民法分论
一元积分学
概念与性质
祖孙三代的奇偶性，周期性
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
积分比大小
用几何意义
用保号性
若积分区间相同，则比较定积分的大小转化为比较被积函数的大小。
定积分定义
note
背景
运动路程
曲边梯形面积
分无数段，抽象模型，求和
定义
原函数
（连续函数一定存在原函数）
有第一类间断点一定不存在原函数，有第二类间断点的可能存在
可积与有原函数
可积
函数闭区间上连续，必可积
函数闭区间上有界，且只有有限个第一类间断点，必可积
有原函数
函数闭区间上连续，必有原函数
函数闭区间上存在第一类间断点，一定无原函数
函数闭区间上存在第二类间断点，可能有原函数
函数不连续，两者互不相干
讨论原函数的性质，应该用变上限积分表示原函数，而不是不定积分，不定积分只能用于运算
积分基本定理
定理
变限积分
N-L公式
（1）
（2）
（3）
变积分限函数在极限计算，变积分限的函数求导，定积分计算，微分方程等中有着重要应用，使用时先将表达式中所含的积分限变量处理掉，再求导数
（4）
可积与存在原函数不同
（5）
（6）
（7）
定积分的几何意义是曲边梯形的面积是错误的说法，定积分可以为负，而面积不能为负
定积分的性质
一般性质
大小性质
积分中值定理
可用介值定理证明
证明
推广
积分第一中值定理
柯西不等式
先乘后积分再平方小于等于先平方后积分再乘
特殊性质
对称区间
三角函数[0,1]连续
note：如果含有cosx且cosx含有绝对值或者是偶次，该性质照用
周期函数定积分的性质
反常积分的判敛
正常积分
积分区间有限
f(x)在积分区间上连续，或第一类间断点有限
连续函数，区间无限 (检查区间α越大越好)
[a,+∞)
(-∞,a]
(-∞,+∞)
Notes：
广义积分不能随便使用奇偶性，必须先考虑敛散性。
无界函数，区间有限 (检查点α越小越好)
a的右邻域无界
b的左邻域无界
a,b之间的c的去心邻域内无界
这里的反常积分也称为瑕积分，这里的 a、b、c 称为奇点或瑕点
既有区间无限又有无界时，应拆成两个计算
概念
判别
计算
不定积分的计算
基本积分公式
三角
平方和差
二阶三角函数
凑微分法
思想
方法
常用的凑微分公式
程序
换元法
a
b
c
d
e
用换元法计算定积分时，别忘了修改换元之后的上下限。
如
分部积分法
uv的选取原则：反对幂指三（三指）
相对位置在左边的宜选作u，用来求导；相对位置在右边的宜选作v，用来积分。
被积函数中含变限积分，一般使用分部积分计算。
被积分函数中若含导数，一般使用分部积分计算。
分部积分算定积分计算时先别急着把后面的代入数值计算，前面的算出来之后有可能把后面的约掉
有理函数的积分
分段函数是连续函数，连续函数一定有原函数。
对假分式的处理不只适用于有理函数的积分中，在整个高等数学中同样适用。
三角函数的积分
积分的计算思路
判断函数是否有对称性
判断函数是否有周期性
判断函数是否符合“反对幂指三”
判断函数是否可以使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换
观察函数是否可用区间简化公式以及区间再现公式
定积分的计算
区间再现公式
点火公式
三角函数积分公式
如果含有cosx且cosx含有绝对值或者是偶次，该性质照用
常用诱导公式
区间简化公式
对称性下的积分问题
看到对称区间要立即想到是否可用奇偶性，减少计算的复杂性
定积分分布积分中的“升阶”、“降阶”问题
分段函数的定积分
f(x) 分段如有原函数，原函数一定连续。交界点处的 C 不能任取，一定要能连起来
变限积分的计算
求分段函数的变限积分
分段计算
直接求导型
换元求导型
拆分求导型
同一取值范围直接拆
不同取值范围分开讨论
换序求导型
处理变限积分函数的两个步骤
将积分限中的字母从被积表达式中处理掉
对变限积分的函数求导
变限积分为抽象函数时的情形
用积分中值定理（一般告知一阶导数的情况）
用拉格朗日中值定理（一般告知二阶导数的情况）
用乘积求导公式的逆用去处理
反常积分的计算（定积分计算+取极限）
在收敛的条件下
1.3.73
连续（单调）函数
积分区间复现
积分限一样，则换元 x+t = 上下限之和
积分限为 (a,b) 和 (0,1) ，令 x = a + (b-a)t (0≤ t ≤1)
一个有积分另一个没有积分
把没有的求导变成有积分的
用积分中值定理去掉积分
若f(x)连续且定积分积分区间的长度与定积分前面的长度为倒数关系时，一般用积分中值定理
周期函数
用周期函数的两个迁移性质
连续可导
工具
积分中无导数——拉格朗日中值定理
积分中有导数——牛顿莱布尼兹公式
手法
含绝对值——利用性质将绝对值内移
含平方——柯西不等式
既无绝对值又无平方——两边积分
高阶可导
对 f(x) 用泰勒
绝对标准
辅助标准(不一定)
对 F(x) 用泰勒
积分等式与积分不等式
积分等式问题
常用积分等式
通过证明某特殊积分等式求某特殊积分
积分不等式问题
用函数的单调性
处理被积函数
区间不动增加函数高度
函数不动增加区间长度
用拉格朗日中值定理
用泰勒公式
用放缩法
常见不等关系有
用分部积分法(升阶降阶为主)
利用分部积分法处理被积函数，再利用已知条件进一步推证
用换元法
见到复合函数的积分，可考虑换元法
1.3.86(用到反函数的知识点)
用夹逼准则求解一类积分的极限问题
曲边梯形面积的连续与离散化问题
几何应用
研究对象
微分方程的解
研究内容
面积
直角坐标
极坐标
曲线与直线围成的面积
曲线与直线
曲边扇形的面积
曲边扇形相减
常用特殊曲线
圆
摆线
一拱长度 8a
一拱面积
心形线
全长
8a
双纽线
星形线
6a
旋转体体积
绕x轴旋转
绕y轴旋转
两个函数围成的平面图形绕x轴旋转
绕直线y=kx+c旋转
平行截面面积已知的立体体积
旋转曲面的面积（侧面积）
平均值
平面曲线的弧长
若平面光滑曲线有直角坐标方程y=（x）给出
若平面光滑曲线由参数方程x=x（t），y=y（t）给出
”平面上的曲边梯形“的形心坐标公式
物理应用（微元法）
总路程
变力沿直线做功
提取物体做功
常力做功
绳子收缩做功（以dx为单位）
融化/漏掉做功（以dt为单位）
抽水做功（找横截面面积）
从水中提取物体做功（一般都是水下不做功）
力
浮力
压力
静水压力
引力
平面
几何度量
质量
细杆质心
圆环的物理应用
质心(重心)
一般
当 ρ 为常量时，质心即形心
绕 x轴 旋转体
绕 y轴 旋转体
转动惯量
