导图社区 高数思维导图
这是一篇关于高等数学的思维导图。该思维导图归纳整理了关于这一部分的知识点,包括 二重极限、重积分 、曲线积分、曲面积分等。
编辑于2021-09-03 18:02:41高数下
多元函数微分法及其应用
其他
轮换对称性
一般来说是对积分而言的,要想在函数求导的时候用,就不要写在答题纸上,直接用
例题
高数下 练习课 10
高数下 练习课 11
多元函数的基本概念
二元函数的极限
二重极限计算法方法
极坐标
例题
高数下 练习课 1
法一
日期
6-10做
对
高数下 练习课 8
证明函数在某点连续和全微分求解部分
夹逼法则
例题
高数下 练习课 1
法二
极限定义
偏导数
偏导数
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 2
一元函数的变化率
不等式
直接法
画图
武忠祥每日一题 145 法一
利用单调性
武忠祥每日一题 145 法二
排除法
构造一个函数
武忠祥每日一题 145 法三
幂指函数
要么改写成e,要么取对数
改写成e
武忠祥每日一题 146
具体点
求z【不是最终结果】
三个参数给了两个参数的值
代入原方程求出另一个参数,然后先代后导
武忠祥每日一题 147
求z的偏导【不是最终结果】
武忠祥每日一题 148
高阶偏导数
求偏导对应的不定积分
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 18
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 16
二阶偏导
f(u,v)有二阶偏导
说明混合偏导与求导次序无关
例题
武忠祥每日一题 150
具体点
求其特解的导数
先分别求关于x,y的偏导数,然后带入x,y值,再求二阶偏导,代入所求的一阶偏导和x,y值
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 25
先代后求
武忠祥每日一题 154
全微分
偏导数、可微、连续、极限之间的关系
另一种解释方法
一元函数
二元函数
详见
武忠祥每日一题 141
可以顺推(->),不可逆推(<-)
验证二元函数是否可微
步骤
step1
先看函数是否连续,不连续不可微
其逆否命题
step2
若连续,看偏导是否存在,不存在不可微
分段点存在的判断方法
定义
其逆否命题
step3
若可微,看是否连续
连续的判断方法
用公式求导,然后与用定义求导的结果进行比较,相等即连续
step4
若偏导连续
直接可微
若偏导不连续
用全微分等价定义
例题
高数下 练习课 6
若为选择题,则忽略是否可微(step3),直接全微分
高数下 练习课 7
选项A,B
可微只能推出全微分存在,不能推出别的任何一个步骤存在
高数下 练习课 7
选项C,D
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 9
分数的极限粗略判断的方法
武忠祥每日一题 140
可微的等价定义
公式表达
例题
高数下 练习课 6
全微分方程
仅为全微分方程才满足这个条件
例题
高数下 练习课 13
多元函数求导法则
复合函数的中间变量均为多元函数的情形
例题
高数下 练习课 3
日期
6-10做
错
有点像参数方程
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 28
注意
复合函数求导(链式求导法)
前提
需要内外层均可导
例题
不满足前提的怎么求
武忠祥每日一题 142
例题
不涉及分段,不用用定义求导,直接求导
武忠祥每日一题 142
隐函数的求导公式
隐函数存在定理2
例题
高数下 练习课 5
方法
公式法
全微分法
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 17
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 6
具体点求微分
先代后求
武忠祥每日一题 143
在原点处偶函数的导数为奇函数,奇函数为0
求原函数
用偏积分法
暂无例题
例题
武忠祥每日一题 144
隐函数存在定理3
不要去背公式,直接按隐函数的偏导数求导方法来算
例题
高数下 练习课 4
多元函数的极值及其求法
无条件极值
解题步骤
step1
先算驻点
显函数极值
前提
f可导
例题
武忠祥每日一题 151 A
直接算偏导
隐函数极值
利用隐函数存在定理(隐函数求导法)来算偏导
例题
全微分式子里得出
武忠祥每日一题 153
step2
二阶连续偏导
显函数极值
只能正推(充分条件,不是必要条件)
例题
武忠祥每日一题 151 B
直接算二阶偏导
注意
A、B、C可直接将值代入方程就获得
隐函数极值
利用隐函数存在定理得出的公式再求偏导等于零,解方程
注意
A、B、C包含在等于0的方程中,需要代值去解
注意
在求step2步的时候,可以采用先代后算
例题
武忠祥每日一题 155
step3
算出来A、B、C
判断该点是否取得到极值
等于零情况,考研不考
函数类型
显函数极值
例题
高数下 练习课 9
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 27
隐函数极值
例题
轮换对称性
高数下 练习课 10
例题
二元取得极小值,则其对应的一元也取极小值
可正推,不可反推【充分非必要】
武忠祥每日一题 151 CD
抽象函数求极值的充分条件
武忠祥每日一题 152
条件极值
例题
约束条件为等式
例题
高数下 练习课 11
法一
利用轮换对称性
法二
算
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 3
二元条件
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 30
约束条件为不等式
方法
法一
先内部取得极值点
求驻点
注意
若超过约束条件值的范围,则可直接不用在考虑将驻点代入f计算了
例题
高数下 练习课 12 法二
然后在边界上找可能极值点
利用公式
分别求出x,y以及通过边界函数分别对应的y,x
最后把得出来的所有极值点,代入f计算出值进行比较,得出最大最小值
例题
武忠祥每日一题 156 法一
数学强化配套习题集 第一部分 第四讲 29
法二
化条件为无条件
注意
适用于约束条件和f之间有紧密联系
如
约:y^2 f:y^2 则简单 约:y^2 f:y 则困难
先求驻点
再将约束条件化成y=或y^2=...,方便代入f的式子,变为一元函数求极值的方法了
最后把驻点的函数值和一元函数求出的极值进行比较,得出最大最小值
例题
武忠祥每日一题 156 法二
法三
约束条件为椭圆,圆用参数方程
先求驻点
再将约束条件化成参数方程,代入f中求极值
最后把驻点的函数值和一元函数求出的极值进行比较,得出最大最小值
例题
武忠祥每日一题 156 法三
高数下 练习课 12
法一
注意
超越方程
具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程
如
求解方法
没法解,只有代值去试
例题
高数下 练习课 10
二重积分
二重积分的概念及计算
二重积分的性质
比较定理
例题
同积分区域就比较函数
高数下 练习课 14
如果有一个函数积分为零,则其余两个函数很有可能是跟零比较
高数下 练习课 15
不等式
一定要注意D区域对函数大小的影响
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 1
积分运算中还嵌套了一个一样的积分
将嵌套的积分和要积分都设为A
例题
高数下 练习课 21
计算
两个函数相乘
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 15
交换积分次序
方法
step1
画域
step2
重新定线
例题
武忠祥每日一题 157
二重积分的计算法
利用对称性计算二重积分
设D关于y轴对称
例题
高数下 练习课 15 M
设D关于x轴对称
例题
高数下 练习课 15 M
设D关于原点对称
设D关于y=x对称[轮换对称性]
例题
高数下 练习课 16
高数下 练习课 20
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 11
二重积分计算
直角坐标
先x还是先y问题
有些积分中面积不好算,可以把其变为二重积分来算
例题
数学基础结课测试 20
画与积(x或y)对应的线,按另个一轴移动,观察两端交点是否变化
两端函数表达式不变化则尽量选用,变化则看另一轴,如果也变化,则分区域讨论
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 7
先x难算,就先y;先y难算,就先x
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 20
积分里面有未知函数
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 21
定限(上下限)的方法
(1)后积先定限(累次积分中后积变量的上下限均为常数可以先确定);
(2)限内化条线(该直线要平行于坐标轴且与坐标轴同方向);
(3)先交为下限(直线先穿过的曲线作为下限);
(4)后交为上限(直线后穿过的曲线作为上限).
积x:左边为下限,右边为上限 积y:下边为下限,上边为上限
参数方程
画大致图像步骤
例题
高数下 练习课 23
背
例题
高数下 练习课 23
直角坐标与极坐标的转化
极坐标转直角坐标
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 2
直角坐标转极坐标
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 8
极坐标
圆形或圆形区域一部分
利用极坐标系计算二重积分
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 12
例题
若不是以原点为中心的极坐标【慎用】
要先看能不能换元把其变成一个以原点为中心的
高数下 练习课 17
根据三角函数来获得r的范围
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 22
高数下 练习课 18
双钮线
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 24
使用条件
例题
高数下 练习课 22
无穷级数
常数项级数
级数的题
只看绝对正确的选项,不要去练反例
常见的反例
概念和性质
基本性质
扩展
都收敛,和也收敛
例题
练习课 高数下 级数 3
有一个发散,和就发散
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 5
判断收敛的方法
1
有上界,且单增
有下界,且单减
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 30 (1)
2
放缩法
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 30 (2)
证明
例题
练习课 高数下 级数 1
审敛法
比较审敛法(正项)
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 25
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 30 (2)step1
比较审敛的极限形式(正项)
例题
练习课 高数下 级数 1
三个重要技术(背)
例题
练习课 高数下 级数 1
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 13
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 25
比值审敛法(正项)
根式审敛法(正项)
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 9
积分判断法(正项)
交错项级数
如
任意项级数判断敛散性
绝对收敛
绝对值收敛,不加绝对值一定也收敛
例题
练习课 高数下 级数 4
练习课 高数下 级数 5
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 3
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 13
条件收敛
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 3
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 13
注意
例题
(2)
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 3 step1
幂级数
函数项级数的概念
收敛区间和收敛域的区别
收敛区间是开区间,收敛域要判断在收敛区间的端点上是否收敛
收敛域
例题
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 10
求收敛半径的方法
例题
练习课 高数下 级数 7
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 10
Un求的
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 17
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 26
例题
以幂级数为模型的式子来求R
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 10 step1
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 14
幂级数求和式展开
用求导或积分的方法,把原幂级数化为常用公式或微分方程即可
和函数
求导
例题
练习课 高数下 级数 7
积分
例题
练习课 高数下 级数 8
数学基础结课测试 14
要求:积完能凑等比数列
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 27
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 30 step1
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 28
函数展开成幂级数
用泰勒展开式
例题
练习课 高数下 级数 10
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 29
题
奇偶性会影响敛散性
例题
练习课 高数下 级数 2
前n项的不会影响级数的敛散性
例题
练习课 高数下 级数 2
练习课 高数下 级数 6
数学基础结课测试 3
均值不等式的运用
例题
练习课 高数下 级数 4
例题
练习课 高数下 级数 5
用到泰勒展开式的
例题
练习课 高数下 级数 8
放缩法
例题
练习课 高数下 级数 9
数学强化配套习题集 第一部分 第五讲 25
单调有界准则
看到单调、收敛或有界等字眼就要想到这个
例题
数学基础结课测试 2
杂
积分
可使用对称性的积分
Riemann积分(正常积分)
定积分
二重积分
三重积分
I型线面积分
不可直接使用对称性的积分
非正常积分
反常积分
II型线面积分
多元积分学及其应用
三重积分
定义
计算
利用直角坐标
先一后二【先单后重】
拓展
例题
李永乐复习全书基础版 136 例3 法二
李永乐复习全书基础版 136 例4 法一
先二后一【先重后单】
例题
李永乐复习全书基础版 135 例2 法一
体积微元
利用柱面坐标计算
ρ为常数
圆柱面
θ为常数
半平面
z为常数
平面
柱坐标与直角坐标的关系
体积微元
底面积(极坐标)x高
例题
李永乐复习全书基础版 136 例4 法三
利用球面坐标计算
r为常数
球面
φ为常数
圆锥面
θ为常数
半平面
球坐标与直角坐标的关系为
体积微元
近似看成长方体:长x宽x高
例题
李永乐复习全书基础版 135 例2 法二
李永乐复习全书基础版 136 例4 法一
对称性
W关于xOy面对称【上下对称】
类似
例题
李永乐复习全书基础版 135 例1
李永乐复习全书基础版 136 例4
李永乐复习全书基础版 144 例6
李永乐复习全书基础版 144 例7
轮换对称性
若x,y互换后【W中的x和y】,W区域不变
若x®y,y®z,z®x【【W中的x、y和z】,区域W不变
例题
李永乐复习全书基础版 135 例2 法二
李永乐复习全书基础版 136 例3 法一
做题方法
选择适宜坐标系和累次积分顺序
积分域的形状
分块少,表达简便
边界
直角坐标面
直角坐标
柱坐标面
柱坐标
球坐标面
球坐标
被积函数的形式
柱坐标
球坐标
利用对称性、轮换对称性等等化简计算
曲线积分
第一类线积分
对弧长的线积分
定义
f(x,y)在光滑曲线段L上对弧长的曲线积分
在分段光滑的曲线段上的积分=各光滑曲线段.上的积分之和
存在条件
必要条件、充分条件
同重积分、 定积分
性质
其他与定积分相同
例题
李永乐复习全书基础版 139 例1 1
与积分路径方向无关
计算
基本方法(直接法) [参数法]
找到 L的单参数方程,将曲线积分化为对该参数的定积分
设L为xOy面上的平面光滑曲线段
ds
ds
例题
李永乐复习全书基础版 139 例1 3
李永乐复习全书基础版 139 例3
ds
设L为空间光滑曲线段
ds
ds
主义
对弧长的曲线积分化为定积分后,恒有上限>下限
对称性
若积分曲线L关于y轴对称
例题
李永乐复习全书基础版 139 例1 2
李永乐复习全书基础版 139 例2
若积分曲线L关于x轴对称
若L关于x,y具有轮换对称性
即x,y互换后,L不变
L关于y=x对称
做题步骤
首先考虑代入化简
然后考虑对称性
再用公式
例题
李永乐复习全书基础版 139 例2
第二类曲线积分
对坐标的曲线积分
定义
性质
与积分路径方向有关
计算
平面
基本方法(直接法或参数法)
例题
李永乐复习全书基础版 139 例4 法一
例题
投影法
李永乐复习全书基础版 139 例5 法一
李永乐复习全书基础版 139 例7 解1
格林公式
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y) ,Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有
其中L为D取正向的边界曲线.
例题
李永乐复习全书基础版 139 例4 法二
李永乐复习全书基础版 139 例5 法二
如何取正向
曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在左边
用法
直接用
补曲线
例题
李永乐复习全书基础版 139 例4 法二
李永乐复习全书基础版 139 例5 法二
李永乐复习全书基础版 139 例6
李永乐复习全书基础版 139 例7 解2
挖去奇点用格林公式
利用积分与路径无关
前提 【四条等价】
某个函数的全微分
即有原函数
计算
改换路径计算
例题
李永乐复习全书基础版 139 例4 法二 step1
李永乐复习全书基础版 139 例5 法二
利用原函数计算
求原函数的方法
偏积分
凑微分
空间 【了解】
直接法
设分段光滑的曲线L由参数方程x = x(t),y= y(t),z= z(t),t∈[a,β]给出,其起点 和终点分别对应参数t=a和t=β, P,Q,R在L上连续,则
例题
李永乐复习全书基础版 140 例8 解1
斯托克斯公式
例题
李永乐复习全书基础版 140 例8 解2
降维法
将空间线积分化为平面线积分用格林公式
例题
李永乐复习全书基础版 140 例8 解2
两类线积分的联系
L正方向上的单位切向量
曲面积分
第一类面积分
对面积的面积分
定义
性质
与积分曲面的方向无关
计算
直接法
直角坐标
例题
李永乐复习全书基础版 143 例2
李永乐复习全书基础版 144 例3 法二
极坐标
李永乐复习全书基础版 144 例3 法一
类似的
若曲面由方程x=x(y,z)或y=y(z,x)给出,也可类似地把对面积的面积分化为相应的二重积分
步骤
一投
投影到对应面
Dxy
二代
z=z(x,y)
三换
换dS为dxdy的东西
对称性
关于xOy面对称
例题
李永乐复习全书基础版 143 例1
轮换对称性
若x,y互换后【å中的x和y】,曲面S不变
例题
李永乐复习全书基础版 144 例6
若x®y,y®z,z®x【å中的x和y】,曲面S不变
第二类曲面积分
对坐标的曲面积分
概念
双侧曲面
如
函数曲面z= z(x,)、 y=y(,x)、x=x(v,z)
双侧曲面的一侧
称为有向曲面
有向曲面的投影
定义
第二类曲面积分存在的充分条件
连续
性质
与积分曲面的方向有关
计算
直接法 (投影法)
图像
注意
上侧+下侧-
注意
前侧+后侧-
注意
右侧+左侧-
高斯公式
封闭区域内测要加负号
例题
李永乐复习全书基础版 144 例7
用法
直接用
例题
球面坐标计算
李永乐复习全书基础版 144 例4
李永乐复习全书基础版 144 例5
补曲面用
例题
李永乐复习全书基础版 144 例6
李永乐复习全书基础版 144 例7
挖去奇点用高斯公式
两类面积分的联系
多元积分应用
一览表
例题
空间体质心
李永乐复习全书基础版 146 例1
李永乐复习全书基础版 146 例2
变力做功
例题
李永乐复习全书基础版 146 例3
通量
向量场
通量
环流量
场论初步
方向导数
定义
定理
例题
李永乐复习全书基础版 148 例1
梯度
例题
李永乐复习全书基础版 148 例3
散度
例题
李永乐复习全书基础版 148 例4
旋度
例题
李永乐复习全书基础版 148 例5
向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用
向量代数
空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符合右手系
八个卦限
空间两点间的距离
特殊的
向量的概念
向量的模
向量的大小
单位向量
模长为1的向量
表示与非零向量a同方向的单位向量
例题
李永乐复习全书基础版 133 例2 step4
零向量
模长为0的向量
向量的运算
数量积
几何表示
代数表示
运算规律
交换律
分配律
几何应用
求模
求夹角
判定两向量垂直
例题
李永乐复习全书基础版 128 例1 step2
向量积
几何表示
模
方向
右手法则
代数表示
印刷体
例题
李永乐复习全书基础版 129 例1 step2
李永乐复习全书基础版 130 例3 step1
李永乐复习全书基础版 130 例4 step1
李永乐复习全书基础版 130 例6 step2
运算规律
分配律
几何应用
求同时垂直于a和b的向量
印刷体
例题
李永乐复习全书基础版 128 例1 step2
求以a和b为邻边的平行四边形面积
判定两向量平行
混合积
几何表示
例题
李永乐复习全书基础版 128 例1 step1
代数表示
运算规律
轮换对称
交换变号
几何应用
求平行六面体的体积
三个向量共面的充要条件
空间平面与直线
平面的方程
平面的一般方程
Ax+By+Cz+D=0
法向量
垂直于平面
平面的点法式方程
例题
李永乐复习全书基础版 129 例2 step2
李永乐复习全书基础版 130 例3 step2
平面的截距式方程
两个平面的位置关系
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征
点乘
结果为一个数
叉乘
结果为一个向量
例题
曲面与平面
李永乐复习全书基础版 133 例3
平面一般方程的几种特殊情况
D=0
平面通过坐标原点
例题
李永乐复习全书基础版 129 例1 step3
A=0
D=0
平面通过x轴
D≠0
平面平行于x轴
推论
类似地可讨论B =0, C = 0情形
A=B=0
平面平行于xoy坐标面
推论
类似地可讨论A=C=0, B=C=0情形
直线的方程
直线的一般方程
与代数表示的联系
例题
李永乐复习全书基础版 130 例4 step1
李永乐复习全书基础版 130 例5 step1
直线的对称式方程
直线过点
例题
李永乐复习全书基础版 130 例3 step2
方向向量
例题
李永乐复习全书基础版 129 例1 step1
知道两点,求方向向量
例题
李永乐复习全书基础版 130 例6 step1
直线的参数式方程
与方向向量联系
两条直线的位置关系
两直线夹角余弦公式
例题
李永乐复习全书基础版 130 例4 step2
两直线位置特征
例题
李永乐复习全书基础版 129 例1 step2
直线与平面的位置关系
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置特征
直线与平面垂直,则直线的方向向量就是平面的法向量
例题
李永乐复习全书基础版 129 例2 step1
李永乐复习全书基础版 130 例5
同类型
过L1,平行于L2
说明平面法向量垂直于L1和L2
例题
李永乐复习全书基础版 130 例3 step1
过L,垂直于P
例题
李永乐复习全书基础版 130 例6 step2
两个距离
点到平面的距离
例题
李永乐复习全书基础版 130 例7
点到直线的距离
曲面与空间曲线
曲面积分
一般式
空间曲线
空间曲线C可看作空间两曲面的交线
一般式
参数式
常见曲面
旋转面
一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
L绕y轴旋转所得旋转面方程
L绕z轴旋转所得旋转面方程
原因
例题
李永乐复习全书基础版 132 例2
柱面
平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面
定曲线C
柱面的准线
动直线L
柱面的母线
只含x,v而缺z的方程F(x,y)= 0,在空间直角坐标系中展示母线平行于z轴的柱面,其准线为xoy面上曲线C
推广
例题
李永乐复习全书基础版 131 例1
二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面
相应地平面被称为一次曲面
圆柱面
1
与xoy面的交线为圆
与平面z=c的交线为中心在z轴上的圆
2
与xoz、yoz面的交线为两平行直线
与平面y=c、x=c(\c< R的交线两平行直线
椭球面
椭球面与三个坐标面的交线
a= b=c
球面
例题
李永乐复习全书基础版 133 例2 step1
椭圆锥面
a=b
圆锥面
特别地
夹角正好(p/4)
椭圆抛物面
a=b
旋转抛物面
特别地
单叶双曲面
双叶双曲面
双曲抛物面(马鞍面)
空间曲线的投影
类似地
可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
例题
没法消去的时候,F和G哪个投影小,用哪个
李永乐复习全书基础版 132 例2 step1
李永乐复习全书基础版 132 例2
多元微分学在几何上的应用
曲面的切平面与法线
切平面方程
例题
李永乐复习全书基础版 133 例1
李永乐复习全书基础版 133 例3
法线方程
曲线的法向量方向判定
外法线指向曲面外侧,内法线指向内侧。所以考虑切点P处的法线,可以在曲面内侧取一点Q,那么,如果法线方向和向量PQ的夹角大于90°,可以判定其为外法线,反之为内法线。当然,也可以取曲面区域外侧的点进行判断,道理一样
李永乐复习全书基础版 133 例2 step2、step3
特别的
切平面方程
法线方程
空间曲线的切线与法平面
参数式
切线方程
法平面方程
例题
李永乐复习全书基础版 133 例4
一般式
切向量
理解成
切线方程
法平面方程
注意
不是法向量,是切向量
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