实数学习笔记

实数是有理数和无理数的总称，可以直观地看作有限小数与无限小数。本图整理了无理数、数的开方、实数分类、实数的性质、二次根式等，收藏下图学习吧！

实数

• 无理数
  • 概念
    • 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数，即（在10进制下）无限不循环小数。
    • 常见的无理数
      • 带有根号且开方开不尽的数
      • 含有π的一类数
      • 以无限不循环小数形式出现的特定结构的数
  • 估算近似值
    • 估算被开方数在哪两个整数（平方数或立方数）之间
    • 确定无理数的整数位
    • 按要求估算
• 数的开方
  • 平方根
    • 概念与性质
      • 平方根，又叫二次方根，表示为±√a（a为非负数），读作“正负根号a”,其中a为被开方数。一个正数有两个平方根，负数没有平方根
      • 特别地，0的平方根是0
    • 算术平方根
      • 概念
        • 算数平方根，表示为√a（a为非负数），平方根中属于非负数的结果称之为算术平方根
      • 性质
        • 被开方数越大，对应的算术平方根也越大
        • 非负数有且只有1个算术平方根，特别地，0的算术平方根为0
  • 立方根
    • 概念与性质
      • 定义
        • 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根。也就是说，如果x³=a，那么x叫做a的立方根。
      • 性质
        • 正数的立方根是正数，负数的平方根是负数，特别地，0的立方根为0
        • ³√-a=-³√a
        • (³√a)³=³√a³=a
    • 开立方
      • 定义
        • 求一个数的立方根的运算
      • 表示方法
        • 数a开立方用³√a表示
        • 读作“a的立方根”
• 实数分类
  • 按定义分
    • 有理数
    • 无理数
  • 按性质符号分
    • 正数
    • 0
    • 负数
• 实数的性质
  • （实数a）绝对值/相反数/倒数
    • 绝对值
      • |a|
    • 相反数
      • —a
    • 倒数
      • 1/a（a不为0）
  • 实数与数轴
    • 实数与数轴上的点一一对应
  • 实数大小的比较
    • 估算法
      • 利用“夹逼法”估算无理数大小，再进行比较
    • 作差法
      • 若√a-√b＞0,则√a＞√b
      • 若√a-√b=0,则√a=√b
      • 若√a-√b＜0,则√a＜√b
    • 平方法
      • 把含根号的两个正无理数同时平方，比较平方后的结果大小
    • 作商法/倒数法……
• 二次根式
  • 概念
    • 二次根式
      • 一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数
      • 当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数
      • 二次根式有双重非负性
    • 最简二次根式
      • 构成条件
        • 被开方数的因数是整数或字母，因式是整式
        • 被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式
      • 化简步骤
        • 把带分数或小数化成假分数
        • 把开方数分解成质因数或分解因式
        • 把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外
        • 化去根号内的分母，或化去分母中的根号
        • 约分
  • 性质
    • 积的算术平方根
      • √ab=√a▪√b
    • 商的算术平方根
      • √a/b=√a/√b
  • 运算（乘除/加减）
    • 乘除
      • √a▪√b=√ab
      • √a/√b=√a/b
    • 加减
      • 化为同类二次根式后进行
      • 如√32+√8=4√2+2√2=6√2