专升本数学知识点（暑期班、秋季班）

这是一篇关于专升本数学知识点（暑期班、秋季班）的思维导图，包括函数、极限、导数与微分、积分学等内容。

暑期数学知识点

• 一、函数
  • 函数的定义、两要素
  • 常见函数的定义域
  • 一元函数用区间、二元函数用集合表示
  • 题型
    • 1、判断两函数是否相同
    • 2、求一元、二元函数的定义域
    • 3、求抽象函数的定义域
    • 4、抽象函数表达式的转换
• 二、极限
  • 数列极限、函数极限
  • 极限的运算
    • 1、极限的四则运算，条件：极限均存在
    • 2、抓大头法，条件：∞/∞，分子分母是多项幂函数形式
    • 4、无穷大量与无穷小量
      • 1）倒数关系
      • 2）0×有界变量=0
      • x趋于∞时，常见的有界变量（4个）
      • 3）无穷小的比较（4种），方法：做商，求极限
      • 4）常见的等级无穷小的替换（13种）
    • 5、第二个重要极限，条件：1^∞
    • 6、洛必达法则
      • 条件：0/0，∞/∞
      • 方法：分子分母分别、同时求导
      • 其他
    • 极限的计算思路：定-化-式
      • 1、定型（8种）
      • 2、化简
        • 等价无穷小
        • 非零因子代入化简
        • 各类未定式的转化
          • ∞-∞：通分或根式有理化
          • 0×∞：对简单函数取倒数
          • 1^∞：第二个重要极限
          • 0^0、∞^0：幂指函数对数化（换底公式）
      • 3、计算方式
    • 题型
      • 1、抓大头求极限
      • 2、求极限0×有界=0
      • 3、无穷小的比较
      • 4、利用等价无穷小的替换求极限
      • 5、利用第二个重要极限求极限
      • 6、函数极限的逆问题，已知极限结果，求极限中的参数值
      • 7、利用左右极限，求分段函数分界点处极限、初等函数无定义点处极限
      • 8、洛必达法则求极限
  • 极限的应用
    • 题型
      • 1、求渐近线（3种，水平、垂直、斜渐近线）
      • 2、判断分段函数是否连续
      • 3、已知连续，求参数
      • 4、间断点个数、类型的判断
• 三、导数与微分
  • 导数的定义
    • 题型
      • 1、利用定义形式求分段函数分界点处导数
      • 2、利用导数的定义技巧求0/0型抽象函数的极限
  • 导数的几何意义
    • 题型
      • 1、已知是切点，求切线、法线方程
      • 2、已知点不是切点，求切线方程
  • 各大类函数求导
    • 1、初等函数、复合函数求导
      • 18个求导公式
    • 2、分段函数求导
      • 常见的特殊分段函数表示：最值函数、绝对值函数、符号函数、取整函数
      • 导数存在的充要条件
      • 分界点处用导数的定义求左右导数
    • 3、幂指函数求导
      • 对数求导法
    • 4、参数方程求导：公式
    • 5、变限积分函数求导：公式
    • 6、一元隐函数求导：三步曲
    • 7、二元显函数求导、高阶导数、抽象函数求导
    • 8、二元隐函数求导：三步曲
  • 微分与全微分
    • dy=y'dx
  • 题型：求导
  • 等式证明
    • 零点定理、罗尔定理、介值定理
      • 条件、结论、解题步骤
• 四、积分学
  • 题型一：利用原函数与积分的关系，求函数表达式或积分结果
  • 题型二：不定积分、定积分的计算
    • 1、直接积分法：先化简再积分
      • 24个积分公式
    • 2、凑微分：替、凑、积
    • 3、根式代换
      • 根号下x为1次方，用简单根式代换
      • 根号下x为2次方，用三角代换
      • 注：不定积分换元要回代，定积分换元要换限
    • 4、分部积分法
      • V'的选取：反对幂指三，谁在后谁为V'
    • 5、定积分的技巧
      • 1）对称区间偶倍奇零
      • 2）1/4圆面积
    • 6、反常积分，判断敛散性
      • 1）无限区间上的反常积分，无限区间端点处求极限
      • 2）无界函数上的反常积分，瑕点处求极限
  • 二重积分
    • 直角坐标系下
    • 极坐标系下
    • 题型
      • 1、直角坐标系下X、Y型
      • 2、直角坐标系下交换积分次序
      • 3、极坐标系下圆心在原点处
      • 4、极坐标系下圆心不在原点处
• 五、微分方程
  • 1、可分离变量的微分方程
    • 分离变量——求积分——得通解
  • 2、一阶齐次线性微分方程
    • 换元——回代——分离变量——求积分——得通解
  • 3、一阶非齐次线性微分方程
    • 公式
  • 4、二阶非齐次线性微分方程
    • 写特征方程——求特征根——写通解（3种）
  • 题型：求通解、求特解
• 六、线性代数
  • 行列式
    • 性质5个+推论3个
    • 计算4个方法，优先按行按列展开和上三角法则
    • 克莱姆法则
    • 题型
      • 1、行列式的计算
      • 2、利用克莱姆法则求线性方程组中的参数
  • 矩阵
    • 矩阵的计算
      • 1、矩阵的加减、数乘
      • 2、逆矩阵的概念与计算
      • 3、方阵行列式的定理和推论
      • 4、补充公式
    • 矩阵方程（含未知矩阵）
    • 题型
      • 1、矩阵的加减、数乘运算
      • 2、矩阵的逆、求逆矩阵
      • 3、求伴随矩阵
      • 4、方阵行列式的有关计算
  • 线性方程组
    • 1、阶梯形矩阵，求秩
    • 2、最简形矩阵，求通解
    • 3、求通解的步骤
    • 4、秩与解的关系
    • 题型
      • 1、求矩阵的秩、化行最简形矩阵
      • 2、齐次、非齐次线性方程组求通解
      • 3、利用秩与解的关系，求参数，求通解
• 七、概率论
  • 题型：随机事件的关系运算
  • 题型：古典概型与排列、组合
  • 离散型、连续型随机变量
  • 期望、方差公式
  • 题型
    • 1、利用归一性求参数
    • 2、求概率、期望、方差
    • 3、利用正态分布求概率