函数与极限

这是一篇关于函数与极限的思维导图，包含函数、数列的极限、极限运算法则、无穷小的比较、函数的连续性与间断点等内容。

函数与极限

• 1.函数
  • 映射
  • 特性
    • 有界性
      • 对于任何正数M，总存在x₁∈X，使|f（x₁）|＞M，那么函数f（x）在X上无界
    • 单调性
      • 设函数f（x）的定义域为D，区间I⊂D.如果对于区间I上任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时
        • 恒有f（x₁）＜f（x₂），那么称函数f（x）在区间I上是单调增加的
        • 恒有f（x₁）＞f（x₂），那么称函数f（x）在区间I上是单调减少的
    • 奇偶性
      • 定义域D关于原点对称，x∈D
        • f(-x)＝f（x）恒成立，那么f（x）为偶函数
        • f(-x)＝f（x）恒成立，那么f（x）为奇函数
    • 周期性
      • 设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有（x±l）∈D，且f（x＋l）＝f（x），那么称f（x）为周期函数
      • 并非每个周期函数都有最小正周期，如狄利克雷函数
  • 反函数与复合函数
  • 函数的运算
    • 和（差）f±g： （f±g)(x)＝f（x）±g（x），x∈D
    • 积f·g： （f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D
    • 商f/g： （f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x∣g（x）＝0，x∈D}
  • 初等函数
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 反三角函数
    • 三角函数
    • 有限次的四则运算和有限次函数复合步骤构成初等函数
• 2.数列的极限
  • 定义
    • 设 {Xn} 为实数数列，a 为定数.若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限
  • 收敛数列的性质
    • 唯一性
      • 如果数列{Xn}收敛，那么它的极限唯一
    • 有界性
      • 如果数列{Xn}收敛，那么数列{Xn}一定有界
    • 保号性
      • lim(n->∞) xn=A,A>0，则存在N>0，使当n>N时，有xn>0
    • 与其子数列间的关系
      • 如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一数列也收敛，且极限也是a
• 3.函数的极限
  • 定义
    • 自变量趋于有限值时函数的极限
    • 自变量趋于无穷大时的极限
  • 性质
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 局部保号性
    • 函数极限与数列极限的关系
• 4.无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 定义：如果函数f（X）当X→X0（或X→∞）时的极限为零，那么称函数f（X）为当X→X0（X→∞）时的无穷小
    • 定理：在自变量的同一变化过程X→X0（X→∞）中，函数f（X）具有极限A的充分必要条件是f（X）=A＋α，其中α是无穷小
  • 无穷大
    • 定义：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大
• 5.极限运算法则
  • 两个无穷小的和是无穷小
    • 有限个无穷小的和也是无穷小
  • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
    • 常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 有限个无穷小的乘积是无穷小
  • 设有数列{Xn}和{yn}，如果lim（n→∞）Xn＝A，limn→∞（yn）＝B，那么......
  • 复合函数的极限运算法则
• 6.极限存在准则 两个重要极限
  • 夹逼准则
  • 单调有界数列必有极限
    • 两个重要极限
  • 柯西极限存在准则
• 7.无穷小的比较
• 8.函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
  • 函数的间断点
    • 单极存在
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 至少一个不存在
      • 无穷间断点
      • 振荡间断点
      • 其它
• 9.连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的和、差、积、商的连续性
  • 反函数与复合函数的连续性
  • 初等函数的连续性
• 10.闭区间上连续函数的性质
  • 有界性与最大值最小值定理
  • 零点定理与介值定理
  • 一致连续性
• 等价无穷小