概率论分布律与分布函数知识点学习笔记

概率论分布律与分布函数知识点学习笔记：随机事件与概率10.16：事件及事件间运算；概率，条件概率，独立性，五大概率公式。

概率论分布律与分布函数知识点学习笔记

• 概要
  • 分布律与分布函数
  • 数字特征
  • 数理统计及应用
• 一、随机事件与概率10.16
  • 事件及事件间运算
    • 事件
      • 必然事件
      • 不可能事件
      • 样本空间
      • 事件包含与相等
        • A包含于B，类于A属于B符号方向相同
        • A与B相互包含
      • 非独立事件
        • 对立事件
        • 互斥事件
          • 互不相容
    • 事件运算
      • 事件并（和）
      • 事件交（积）
      • 事件差A-B
      • 法则
        • 结合律
        • 分配律
        • 交换律
        • 摩根对偶律
          • 事件对立，和积互换
  • 概率，条件概率，独立性，五大概率公式
    • 概率公理与概率性质
    • 事件独立性
      • 事件独立的必要条件公式
      • 独立性质
        • A-B相互独立的充要条件
        • 条件消除
        • 相互独立是两两独立的充分不必要条件
          • 三个事件以上
          • 两个事件则充要
        • 独立事件其中部分事件独立
        • 独立事件的对立事件也独立
    • 概率五大公式记忆
      • 加
      • 减
      • 乘
        • 条件概率连乘
      • 全概
        • 完备事件组
          • 事件全集，包括事件及其互斥
      • 贝叶斯
  • 古典概型与伯努利概型
    • 古典概型
    • 几何概型
      • 后续分布函数基础
    • n重伯努利试验
• 二、随机变量与概率分布
  • 随机变量及其分布函数
    • 分布函数
      • 定义
      • 性质（5）
        • 函数值域性质
        • 单调非减
        • 右连续
          • P{X<=x},这个就是右连续
        • 分布函数差，定义域左闭右开
        • 任意一点概率为0上下界相同积分为0
  • 离散型与连续性随机变量
    • 离散型
      • 变量定义
        • 可数多个或者可数无穷多个
      • 分布律
      • 分布函数
        • 单调非减
    • 连续型
      • 定义
      • 概率密度f（x），非负可积
        • 不一定连续
        • 但连续，一定可积
      • 分布函数
        • 一定是R上的连续函数
        • 积分域左闭右开
        • f（x）连续点处分布函数导数等于概率密度函数
  • 常用分布
    • 离散型
      • 几何分布
        • p
      • 泊松分布
        • 泊松定理
          • 二项分布的近似公式
        • X～P（入）
      • 超几何分布
        • n，N，M
      • 二项分布
        • X～B（n，p）
      • 0—1分布
      • 概要
        • 分布律
        • 分布函数
    • 连续型
      • 均匀分布
        • X～U（a，b）
      • 正态分布
        • 定义
        • 分布律
          • 一配平方，二除系数三添因子
          • X～N（u，^2）
        • 分布函数
        • 标准正态分布
          • 标准化
            • 凑配
          • 对称性质
          • X～N（0，1）
      • 指数分布
        • 反常积分
        • 无记忆性
        • X～E（入）
  • 随机变量函数的分布
    • Y=g（X）
    • 离散型
      • 表格
    • 连续型
      • 公式法
      • 定义法
        • 重点掌握
          • 确定y的值变化对概率的变化，确定定义域
          • 子主题 2
        • 方法
          • 先求Y分布函数
          • 再求导得分布律或概率密度
• 三、多维随机变量及其分布
  • 二维随机变量及其分布
    • 二维随机变量
      • 转换为平面
    • 二维随机变量分布
      • 立体空间
      • 性质F（x，y）
        • 1. 值0—1
        • 2. 正正极限1，有负极限0
        • 3. x，y单调不减，右连续
          • F（x，y）=P{X<=x,Y<=y}
        • 4. P｛a<X<=b,c<Y<=d｝=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)，结合二维坐标来记忆
      • 离散型
        • 边缘分布律
          • 和y得x
          • 和x得y
        • 条件分布
        • 联合概率分布
      • 连续型
        • 边缘概率密度
          • 积y得x
          • 积x得y
        • 条件分布
        • 概率（联合）分布
  • 随机变量独立性
    • 定义
      • F（X，Y）=Fx（x)Fy(y)
    • 随机变量相互独立的充要条件
      • 边缘分布律，边缘分布密度独立
  • 二维均匀分布和二维正态分布
    • 均匀分布
      • 概率密度
      • 重要性质
        • 均匀分布面积倒数为概率密度
        • 部分区域的面积比例即为其概率
    • 正态分布
      • 服从二维正态分布，则各自服从一维正态分布
      • X，Y相互独立的条件为，相关系数为0
      • （X，Y）服从二维正态分布则，X，Y的线性任意两个线性组合也服从二维正态分布，且线性组合也为服从一维正态分布
      • 约定
        • X，Y均服从一维正态，且相互独立，即指（X，Y）服从二维正态分布，相关系数为0
  • 两个随机变量函数Z=g（x，y）的分布
    • 离散型与一维类同
    • X，Y均为连续性随机变量
      • Z的分布函数求法
        • Z=X+Y
        • XY
        • X/Y
      • Z的概率密度求法
        • 不独立时
        • 独立时
          • 卷积公式fx*fy
• 四、随机变量的数字特征
  • 数学期望与方差
    • 期望
      • 定义
        • 离散
          • 级数x*p绝对收敛，此级数为x的数学期望或均值
        • 连续
          • 积分xf（x）绝对收敛则，为数学期望
      • 性质
        • 1.常数不变
        • 2.数乘提出
        • 3.加减可拆
        • 4.独立拆乘
      • 随机变量函数Y=g（X）的期望
        • 积分g（x）f（x）
        • 拆分转换，化成常见分布，代入公式计算
      • Z=g（X，Y）期望
        • 性质
        • 定义
    • 方差
      • 定义
        • E｛[X-EX]｝
          • 随机变量与期望的差值的平方的期望值
      • 标准差
      • 性质
        • 1.变量平方的期望大于等于期望的平方
        • 2.常数方差为0，而方差为0，随机变量不一定为常数
          • x的多组样本波动为0
          • 这几组样本值不一定为同一值
        • 3.D（aX+b）=a^2D（X）
        • 4. 变量独立则，和差拆和
    • 常用随机变量期望与方差
      • 1. 0—1分布
      • 2. 二项分布
      • 3. 泊松分布
      • 4. 几何分布
      • 5. 均匀分布
      • 6. 指数分布
      • 7. 正态分布
  • 矩，协方差与相关系数
    • 矩
      • k阶原点矩
        • 1阶为期望
      • k阶中心矩
        • 二阶为方差
      • X，Y的k阶混合矩
        • 一阶级X，Y均值
      • X，Y的k阶中心混合矩
        • 二阶X，Y的方差
    • 协方差
      • 定义
        • Cov（X，Y）=E｛[X-EX][Y-EY]｝
      • 性质
        • Cov=EXY-EXEY
        • 可换位
        • 可提系数
        • 可任意拆分
    • 相关系数
      • 定义
        • 公式
      • 性质
        • a>0., a<0
        • 系数小于等于1
      • 相关，不相关
        • 描述数字特征
      • 独立
        • 概率分布
  • 切比雪夫不等式
    • 事件|X-EX|>=ε的粗略概率估计
    • 公式
• 五、大数及中心极限
  • 依概率收敛
  • 切比雪夫大数
    • 独立，期望方差存在，方差有上界
    • 依概率收敛于其数学期望
  • 辛钦大数
    • 独立同分布
    • 依概率收敛于期望
  • 切比雪夫不等式
    • 概率上限
    • 根据切比雪夫不等式有，才有
  • 列维-林德
    • 独立同分布，有期望u与方差
    • 随机变量的和近似服从正态分布
      • N（nu，n倍方差）
      • 标准化后，0—1正态分布
  • 拉普
    • 服从二项分布的变量
    • 近似服从标准正态分布
• 六、数理统计
  • 总体，样本，统计量，样本数字特征
    • 总体
    • 样本
      • 简单随机样本
      • 独立同分布
      • 样本所代表的总体
        • 分布F
        • 概率密度f
        • 概率分布P
    • 统计量
    • 样本数字特征
      • 样本均值
        • 等价转换为概率期望
      • 样本方差
        • 样本标准差
        • 样本线性相关，样本量为n-1
        • 样本方差的期望为总体的方差
      • 样本k阶原点矩
      • 样本k阶中心矩
      • 性质
    • 经验分布
      • 样本均值的期望为总体均值
      • 样本均值的方差为总体方差的n分之一
  • 常用统计分布与正态总体的抽样分布
    • 卡方分布
      • 独立同分布的标准正态随机变量的平方之和
      • 性质
    • t分布
      • 定义
      • 性质
    • F分布
      • 定义
      • 性质
    • 正态总体的抽样分布
      • 一个正态总体
      • 2个正态总体