数量分析导图笔记

下图讲述了数量分析的知识内容，包含概率论、描述性统计学、假设检验、单元线性回归、多元线性回归、回归诊断、非平稳时间序列。

数量分析

• 概率论
• 描述性统计学
  • 随机变量
    • 凸函数(convex) 函数的期望>期望的函数，凹函数（concave）相反
    • 偏度（skewness) 左偏小于零（mean<median)
    • 峰度（kurtosis）峰度>3(leptokurtic)
    • 对变量X作线性变化后四阶距的变化（Y=a+bx）
      • 均值
      • 方差
        • Var（Y）=b²Var（X）
      • 偏度和峰度
        • b>0，Y的偏度和峰度与X完全相同
        • b<0，偏度受b的影响，峰度不受ab的影响
  • 常见分布
    • 二项分布
    • 泊松分布
    • 正态分布
    • 对数正态分布
      • if lnx is normally distributed, then X is lognormal distributed
    • 卡方分布
      • 检验单个样本的方差
    • t分布
      • 偏度为0
      • 不说高峰、低峰 之说 lsee peak than normal distribution
      • 相比于标准正态分布，置信区间更宽
    • F分布
      • 检验两个population的方差是否相等、以及多元联合检验中检验所有系数是不是都是0
  • 多元随机变量
    • 协方差（covariance）
    • corrleation
• 推断型统计学
  • sample moments
    • BLUE
      • Unbiasedness 样本方差等于总体方差
      • Efficiency 离散程度最小
      • Consistency n越大 估计得越精确
    • 中心极限定理（CIT)
      • 样本服从于正态分布
      • 样本容量足够大时，样本均值等于总体均值
    • 置信区间关键值
      • 0.05→1.65
      • 0.025→1.96
      • 0.005→2.58
  • 假设检验
    • Z检验和T检验
      • 单、双尾？
    • p-value
    • decision rule：t检验的值在拒绝域外面、p-value比显著性水平α小
    • ERRORS
      • TYPE 1 拒真 P(type 1)=significance level(α）
      • 第二种类型 存伪（β)
  • 单元线性回归
    • OLS 的假设
    • 线性回归假设
      • 残差值的期望为0、方差恒定、自变量与残差不相关
      • 自变量iid
      • 不会出现域外值
    • decision rule
      • t＞ upper critical rule or t＜lower critical rule
      • p-value less than α
      • confidence interval 包含 假设值
  • 多元线性回归
    • 描述统计量
      • ESS: explained sum of squares 均值与线性回归值的差
      • RSS: sum of squared residuals 真实值与线性回归值的差
        • cofficient of determination (R²）
      • TSS
    • adjusted R²
      • 一定比R²小、可能为负值
      • 只表示拟合程度，其与相关无显著关系
  • 回归诊断
    • 方差
      • 同方差性
      • 异方差性
        • 非条件异方差性（无影响）
        • 条件异方差性（有影响）
          • 残差的方差will increase(decrease) with increase(decrease) in the value of the independent variable
          • 对回归系数无影响，影响假设检验 (使得t检验值过高，TYPE 1and2 ERROR
    • 多重共线性
      • 使t检验值过下，造成TYPE 2 ERROR
      • t不显著 F显著
      • VIF较高
    • 缺省变量偏差（ omitted
      • 偏差与方差的权衡
        • low+low
        • low bias +high variance 过度拟合
        • high bias + low variance 欠拟合
        • high+high
    • 散点图
    • 高斯-马尔可夫定理：线性回归的假设都被满足了→ BLUE
  • 平稳时间序列
    • 时间序列三个描述量
      • trend（线性？非线性？）
      • seasonaity
      • cycles
    • 协方差平稳
      • 期望有限且恒定
      • 方差有限且恒定
      • 与时间段无关、与时间间隔有关
    • 白噪声
      • 0 mean、constant variance no serial correlation
      • 残差如果服从正态分布→ 高斯白噪声
      • 没有前瞻性、过去现在没有相关性
      • 用卡方分布检验白噪声
    • 置后算子（lag operator）
    • MA模型
      • express：current and lagged(滞后的) unobservable shocks
      • short memory regardless of parameter value
    • AR模型
      • express：its past values and an additive stochastic(随机的） shock
      • more persistent with larger parameter value
    • ARMA
    • 均值回归
      • 只有 AR/ARMA模型才有
  • 非平稳时间序列
    • random walk
      • most important source of non-sationarith in economic time series
        • more dispersed over time 没有均值回归
    • unit roots
      • a generalization process of random walks(无均值回归！）
      • 服从DF分布
      • 检测使用Dicky-Fuller test
        • 备择假设是γ<0
  • 衡量收入、波动性、相关性
    • JB检验检验其是否是正态分布
      • 属于卡方分布
    • 相关系数
      • rank correlation (speraman's correlation)
      • Kendall's t
        • concordant anddiscprdant pairs (同序对和异序对）
      • 线性关系下 linear correlations(pearson)和spearman差不多，kendall更低
      • 在非线性关系下，rank和kandall更大
  • simulation and bootstrapping
    • variance reduction techniques
      • antithetic variate technique
        • complement of a set of random numbers and running a parallel simulation on those
      • control variates
        • employing a variable similar to that used in the simulatiopn, but whose properties are known prior to the simulation
    • bootstrapping
      • 不做对分布的假设 directly uses the observed data
        • 优点：不需要做假设 avoid the specification of a model
        • 缺点：无法预测样本外的值
• 随着n增大 都趋向于标准正态分布