导图社区 解三角形
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的 对边 a,b,c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 。这是一篇关于解三角形的思维导图。
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正面管教
小学教育知识与能力
解三角形
总结
学习误区
忽 视隐含条件出错
三角形中的边、角都存在限制条件,
在解题中易忽视隐含条件的挖掘
不注意角的范围出错
知能提升
解斜三角形体现了数学建模的思想
1.从实际问题出发经过抽象概括,把实际问题转化为具体的数学模型
2.然后通过推理演算,得出数学模型的解
3.再还原成实际问题
向量与三角函数的综合问题
1.结合向量的平行与垂直、长度与夹角、平移等来考查
2.把角看成是某两个向量的夹角,把线段的长看成是向量的模,用向量为工具研究夹角与距离
学法指导
应用正弦定理解两类三角形
(1)已知两角和任意一边,如B、C、a。由A+B+C=180° ,先求角A,再据正弦定理求出b、c
(2)已知两边和其中一-边的对角, 如a、 b、A(锐角)。由正弦定理先求出B角,B角可能有一-解(bsin A=a)、二解(bsin A<a)或无解(bsin A4>a)。 按(1)求解。A为钝角或直角时只有一解
应用余弦定理解两类三角形
(3)已知三边求各角,如a、b、c。在有解时都只有一-个解由余弦定理变形式求出角A、B, .再利用4+B+C=180°求角C
(4)已知两边和它们的夹角,如a、b、C。由余弦定理求出c边,按(3)求解
三角形形状的判定.
判定该三角形有无特殊的边、角
化边为角
关系式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C
目的:进行三角恒等变换,求出角之间的关系式
化角为边
目的:用方程思想进行代数恒等变形,求出边之间的关系式
用余弦定理判定三角形形状
实际应用问题
解三角形应用题的一般思路
解三角形应用题,实际问题抽象为已知量与未知量
全部集中在一个三角形中
用正、余弦定理
涉及两个或两个以上三角形
先做出这些三角形,解够条件的三角形
然后逐步求出其他的解
有时需要设置未知量,从几个三角形中列出方程组求解
测量中的有关名词、术语
仰角和俯角
方位角
方向角
坡度
距离问题
测量AB:B可到达,A不可到达
测出基线BC及ab角
实际上这是已知两个角和一边解三角形的问题,用正弦定理即可解决
测量AB:B、A不可到达
测出基线CD长,测出角∠ACD、∠ADC,求出4C或4D再测出∠BCD、∠ADB,可求出BC或BD 最后测出∠ADB或C ACB,就能求出AB
先求一个可到达点到另一个不可到达点的A、B两点不可到达距离问题,再把不可到达的两点A、B之间的距离转化为利用余弦定理求三角形边长的问题B不在A、C、D所在的平面,测出∠ADB或∠ACB为仰角
知识梳理
正弦定理
余弦定理
射影定理
三角形的面积定理
应用
正弦定理可以解决
已知两角和任意一边, 可求其他两边和一角
已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进一步求出其他的边角)
余弦定理可以解决
已知三边求各角
已知两边和它们的夹角,求第三边。(进一步求 出其他的边角)
三角形形状判定
方法一:化边为角,再进行三角恒等变换,求出三个角之间的关系式中的有关名称、术语
方法二:化角为边,再进行代数恒等变换求出三边之间的关系式