导图社区 高等数学考研知识点全概括
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高等数学考研知识点全概括
2021考研的同学们现在正处于早前规划阶段，建议数学高数基础不好的小伙伴早点开始复习，早点搞定考研数学高数，考取几率就大大增加，小编整理了考研高等数学思维导图，知识点全覆盖，含有知识总结和部分典型例题，希望对大家有所帮助。
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高等数学
1. 函数，极限，连续
1.1. 函数
定义
符号函数
取整函数
狄利克雷函数
函数的有界性
反函数
复合函数
基本初等函数
性质
奇函数乘奇函数为偶函数
奇函数乘偶函数为奇函数
奇函数与奇函数符合为奇函数
偶函数与奇函数复合为偶函数
有界函数与有界函数之积之和均为有界函数
总结归纳
分段函数的复合函数
由外层函数写出复合函数的表达式
写出中间变量的取值范围
写内层函数的表达式
函数有界，无界的讨论
无穷大乘有界变量时
有界变量为零时为有界
有界变量不为零时为无界
1.2. 极限
定义
数列的极限
数列{u}第n项的极限为A充要与数列收敛于A
函数的极限
任给*>0，存在&>0，当0<|x-x0|<&,就有|f(x)-A|<*，就称x趋近于x0的极限为A
无穷小
x趋于x0时，函数极限为0，则称x趋于x0时，函数为无穷小
无穷大
无穷小的比较
性质，公式
保号性
设存在x0的去心邻域，在此邻域内函数值大于等于0，且函数在这点的极限存在且等于A，则A>=0
极限的唯一性
函数的极限存在，则左右极限必相等
极限与无穷小的关系
函数在一点极限为A的充要条件是f(x)-A=高阶无穷小
极限存在的充要条件
函数
数列
判断极限存在的两个重要法则
夹逼准则
单调有界准则
常用极限与等价无穷小
计算极限有关方法
四则运算
切记只有上下左右极限都存在的时候，才能用极限的四则运算
等价无穷小替换
局部式子的乘除不能用等价无穷小替换
此求法是典型错误
洛必达法则
夹逼定理
单调有界准则
几个常用的在x=0处展开的佩亚诺余项泰勒公式
积分和求极限
总结归纳
求函数极限
对于无穷大比无穷大，提出影响分母分子趋于无穷大的因子，约去
对于零比零，能用等价无穷小就用等价无穷小，对与幂指函数化为指数函数
洛必达法则，佩亚诺余项看情况用
对与两个分式尽量通分，化为零比零型
对与两个整式尽量乘除化为零比零型
这样的一般是幂指函数，找到最合适的方法化为指数函数，再分析指数
已知函数极限，求参数或零一函数极限
和求极限没有什么不同，只是有些参数未知
一般对与趋近于零的用泰勒公式更简便些
对与一直某极限求另一个试着将欲求极限凑成已知的
没有思路时考虑欲求极限与已知极限的差，求差的极限
求数列极限
N项和或n个因式的积易想到用积分的形式，连乘的形式取对数可得到n项和
递推形式给出的数列的极限，常用单调有界准则
对与多个数列构成的函数表达式，一般放缩后用夹逼定理
含有|x|, e^1/x的x->0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限
注意x零正和x零负时极限形式 的不同
极限存在表示的结果是相同的
无穷小的比较
将他们分别与x^k去比较，k待定
结合计算极限的有关方法
极限运算定理的正确运用（四则运算）
1.3. 连续
定义
在一点连续
在定义区间连续
第一类间断点
第二类间断点
函数连续的重要性质，定理
设函数在闭区间[a,b]上连续
有界性定理
在闭区间上有界
最值定理
在闭区间上有最大值，最小值
介值定理
若有一值&在函数的最大值M和最小值m之间，则在区间内必存在一点函数值为&
零点定理
若f(a)f(b)<0，则在区间内至少存在一点函数值等于0
总结归纳
讨论函数的连续，间断
特殊值排除法
论证法
在连续状态下求参数
求出函数分段，分情况下的表达式，
由连续性确定参数
连续函数的零点问题
介值定理
零点定理
2. 一元函数微分学
2.1. 导数与微分，导数的计算
定义
导数的定义
如果f(x)在区间(a,b)内每一点x都可导，则称f(x)在(a,b)内可导，f'(x)称为f(x)的导函数，简称导数
一点的导数的两种表达形式
注意导数的定义式中f(x0),并且f(x)为x0附近的函数值，没有这些谈不上导数
左右导数
函数的微分
子主题
高阶导数
重要性质，定理，公式
可导与连续的关系
可导必连续，但反之不一定
左右函数与可导的关系
函数在一点可导充要于左右函数都存在并且相等
可导与可微的关系
函数在一点可导充要于可微
函数的微分与函数增量的关系
变限积分求导公式
莱布尼茨公式
常见的n阶导数公式
注意求n阶导时还可以用幂级数展开的唯一性，在x0点泰勒展开
幂指函数的求导法则与公式
将幂指函数化为指数函数后求导
反函数的一阶及二阶导数公式
2.2. 导数的应用（研究函数性态）
基本定义
极值
最值
极值是对一点及邻域而言的，最值是对某区间而言的
曲线的凹凸性
设函数在区间连续，对于区间内任意两点A,B，弦AB总在弧AB的上方，称函数在区间内是凹的，同理凸的是在下方
曲线的拐点
连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点
曲线的驻点
连续曲线导数为零的点称为驻点，（临界点，稳定点）
极值与单调性的判定
单调性的判定
设f(x)在区间上f'(x)>=0，且不在任一子区间上取等号，称函数在区间上严格单调增加（等号在某些子区间上成立，只能说明函数是单调增加的）
可导点处极值的必要条件
设函数在x0点取极值，则这一点的导函数存在且等于零
连续不可导的点，也可以为极值；导函数为0的点也未必为极值点
极值的第一充分条件
极值的第二充分条件
若函数一阶导数为0，二阶导数不为零，则如果二阶导数大于零，f(x0)为极小值，小于零为极大值
凹凸性与拐点的判定
凹凸性的判定
二阶导在区间上大于零为凹，小于零为凸
二阶可导点处拐点的必要条件
二阶导为零
拐点的充分条件
某点的左右邻域二阶导函数反号，则此点为拐点
闭区间上连续函数的最值的求法
求出函数在区间内部的一切不可导点以及驻点，计算相应函数值，与区间端点值比较
多数情况下，区间有一可疑极值点，它即为最值点
渐近线的求法
水平渐近线
x趋近于无穷大时函数的极限值b存在，即存在水平渐近线b
铅直渐近线
若存在x0，x趋近于x0时函数极限值不存在（无穷大），则x0为铅直渐近线（求解时多考虑那些取不到的点）
斜渐近线
曲率，曲率圆，曲率半径
设函数存在二阶导数
曲率
经过一点做该曲线的法线（凹向），沿着法线以半径R=1/k做的圆，称为曲率圆
2.3. 中值定理，不等式与零点问题
重要定理
费马定理
实际上就是可导条件下，极值点的必要条件
罗尔定理
设函数在闭区间内连续，开区间上可导，
拉格朗日中值定理
设函数在闭区间内连续，开区间上可导，
柯西中值定理
设函数在闭区间内连续，开区间上可导，
可以看出柯西中值定理是拉格朗日两个函数下的推广
泰勒定理
设函数在闭区间有n阶连续的导数，在开区间有n+1阶导数
1. 若x0=0，该公式为麦克劳林公式
2. 具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式就是拉格朗日中值定理
3. 具有拉格朗日余项的1阶泰勒公式，就是函数微分与增量的关系
4. 把拉格朗日余项仅表示为高阶无穷小，该公式为佩亚诺余项泰勒公式
重要方法
不等式的证明
单调性方法
如果x取a得右极限时，函数极限>=0,当在区间[a,b]时f'(x)>=0，则在区间内函数大于等于0
最值的方法
如果函数在区间内有最小值，且此最小值>0，则在区间内函数大于0
拉格朗日公式的方法
要证f(a)-f(b)>A(b-a)，根据拉格朗日中值定理公式，只需证
柯西中值定理的方法
要证
根据柯西中值定理，只需证
拉格朗日余项的泰勒公式的方法
若能推导出（或已知条件）二阶导f''(x)存在且>0，那么应立即想到用拉格朗日余项的泰勒公式，将函数在适当的x0处展开，以达到目的
证明的关键在与 1）推导出二阶导的范围（一般是二阶，也有更高阶，当然难度更大，基本不考 2）恰当的选取x0
零点问题存在性的证明
连续函数的介值定理
连续函数的零点定理
罗尔定理
导函数的零点的存在性
若函数有k个零点（k>=2),
至多有几个零点的证明
从导函数往原函数推
3. 一元函数积分学
3.1. 积分基本概念
定义
定积分
不定积分
存在定理
定积分存在定理
原函数存在定理
变限积分-不定积分与定积分之间的关系
性质
定积分
积分不等式
积分中值定理
定积分两个重要定理，类似中值定理
不定积分
总结归纳
分段函数的积分
将他写成分段表达式
分段求其原函数
分界点结成连续，确保不但连续而且可导
定积分与原函数的存在性
f(x)在[a,b]上连续，则必存在原函数
f(x)在[a,b]上有跳跃间断点，必不存在原函数
f(x)在[a,b]上不连续，原函数存在与不定积分存在无关系
奇偶函数周期函数的原函数，变限积分
不连续也适用
3.2. 积分的计算
基本积分公式
基本积分方法
不定积分的凑微分法（第一换元法，应用于分部积分）
不定积分的换元积分（第二换元法）
几种典型的换元法
三角函数换元
去根号换元
定积分换元法
分部积分法
不常规但常用的定积分公式
总结归纳
简单有理分式的积分
分式拆项（几项相加），使得分子尽量只有常数，或分子为分母的导数
三角函数有理分式的积分
化为同角
尽量约分分母化为单项式
没思路就加一减一
经典例子
简单无理式积分（根式）
两种不同类型函数相乘的积分
分部积分，有时有一因式较繁琐，还应拆项化简
经典例子
被积函数含有导数或变限积分的积分
含有变限积分
二重积分
分部积分将变限积分放到u函数中
含有导数
分部积分，导数部分放到d(v)中，
复习全书p92
对称区间，周期函数的积分
对称区间可将区间拆成两项之和，后并项处理（先观察是否为奇偶函数）
周期函数主要观察上下限，进一步把积分区间划分
含参变量，带绝对值的积分
1. 根据定积分上下限去掉绝对值
2. 若x为参变量，讨论x对于上下限决定的绝对值号去掉绝对值
3.3. 反常积分
定义
无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
b点称奇点，又称瑕点
性质，定理，公式
反常积分的识别
奇函数，偶函数的反常积分（条件是积分收敛）
伽玛函数
总结归纳
反常积分的计算和敛散性分析
奇点在上下限之间应拆分区间
反常积分也可以像定积分那样做变量代换，大多还是考直接变量代换判断敛散性
这里有个结论选择题可直接用
3.4. 定积分应用
基本方法
应用的关键在与微元法（小土豆丁）
几何应用
函数的平均值
平面曲线的弧长
参数方程曲线
直角坐标曲线
极坐标曲线
图形面积
平面图形
直角坐标
极坐标
参数方程
旋转曲面
直角坐标
参数方程
旋转体体积
微元未知
微元已知
构造微元的方法
套筒法
体积相减法
物理应用
质心问题（质量距的平均）
做功问题
体积的微元
引力问题
引力分量上的微元
压力问题
面积上的微元
3.5. 定积分的综合题
变限积分所定义的函数的性态
一般把变限积分求导，根据题目中的条件再分析
积分定义的函数求极限
一般放大，缩小放缩法用夹逼准则确定极限
积分不等式证明
1. 将要证的不等式化到一边，看成变限函数，求导，用微分学的方法证此不等式（单调性，最值，拉格朗日，柯西，泰勒）
2. 若积分上下限相同，可以考虑用积分不等式的性质
3. 若积分上下限不同
1. 通过变量代换，换成同一积分上下限
2. 通过拆分，化一个积分上下限相同的积分
1. 微分学方法
2. 换元化相同积分上下限
3. 拆分成有积分上下限
4. 一个有积分号，一个没有积分号
1. 用积分中值定理把有积分号的化为没积分号的
2. 给没有积分号的套上积分号
定积分，变限积分的零点问题
化为变限积分看成变限的函数，用微分学的方法
利用积分中值定理
4. 向量代数与空间解析几何
4.1. 向量代数
基本概念
向量
既有大小又有方向的量，又称矢量
向量的模
向量的大小
向量的方向余弦
运算和性质
加减运算
数乘运算
数量积（点乘，内积）
几何表示
代数表示
运算规律
几何应用
判定两向量垂直
向量积（叉乘，外积）
几何表示
代数表示
运算规律
几何应用
判定两向量平行
混合积
代数表示
运算规律
几何应用
判定三向量共面
4.2. 平面与直线
平面方程
由一个点与一个法向量确定
一般式方程
点法式方程
截距式方程
直线方程
由一个点与一个方向向量确定
一般式方程
对称式方程
l,m,n为方向向量
参数式方程
方向向量
平面与直线的位置关系
直线与直线的位置关系
平面与平面的位置关系
点到平面距离
点到直线距离
两不相交直线距离
4.3. 空间曲面与曲线
旋转面及其方程
一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面
柱面及其方程
平行于定直线并沿着曲线c移动的直线L形成的轨迹叫做柱面
常见的二次曲面
椭球面
单页双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面
二次锥面
图形和方程熟计
空间曲线及其方程
参数式
一般式
空间曲线的投影
5. 多元函数微分学
5.1. 多元函数的极限，连续，偏导数，全微分
二元函数概念
平面上点集的每一个点p(x,y)，变量z按照一定的法则总有确定的值与他对应，称z为变量x,y的二元函数
通常情况下，二元函数z=f(x,y)的图形是一张曲面
二元函数的极限与连续
重极限的概念
二元函数连续的概念
连续函数的性质
二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念
偏导数的几何意义
全微分的概念
一元可微指的是可以用直线代替曲线，这根线称为切线
多元可微指的是用一个平面近似曲面，这个平面称为切平面
可微的条件
必要条件
可微函数必可导
充分条件
有连续一阶偏导数必可微
连续，可导，可微之间的关系
一元函数可导能推出连续，可微
多元函数可导不能推出连续，可微，例xy/(x^2+y^2)
总结归纳
讨论二重极限
证明不存在
取不同路径，极限不相等，或取某一路径极限不存在
求出具体大小
放缩法，夹逼准则
等价无穷小替换
换元，换成一元函数极限
无穷小乘有界变量为无穷小，无穷大乘有界变量不一定为无穷大，可能为零
讨论二元函数的连续性，偏导数存在性
连续的定义
偏导数的定义
讨论二元函数的可微性
利用定义
可微的两个条件
5.2. 多元函数微分法
复合函数的偏导数和微分法
多元函数与一元函数的复合
最终只有一个自变量，z是t的一元函数
多元函数与多元函数的复合
两个自变量x,y，z是x和y的二元函数，中间变量为u和v
全微分形式不变性
无论是把z看做自变量x和y的函数，还是看成中间变量u和v的函数他的微分具有相同的形式
隐函数的偏导数和微分法
由一个方程式确定的隐函数（一元函数）求导法
由一个方程式确定的隐函数（二元函数）求导法
有方程组所确定的隐函数（一元函数）求导法
对方程两端对x或y求导，两个方程两个未知量
总结归纳
求复合函数的偏导数与全微分（常与微分方程结合出大题）
具体表达式函数的偏导数与微分
幂指函数的偏导问题
改写成e指数函数
等式两端取对数，用隐函数方法求导
改写成多元复合函数
已知高阶偏导数，求低阶和原函数
利用题设，假设一个原函数
高阶退低阶，积分加个c，根据条件求c，直到求到所要求的
有抽象函数的偏导数和全微分
重点，多做题
求隐函数的偏导数和全微分
一个方程所确定的隐函数
隐函数求导公式
方程两端对x或y求导，解除偏导数
方程两端求全微分
要学会倒退，逆向思维，少哪一项先当成参数，题目中一定会给出
方程组所确定的隐函数
两个方程两端对x分别求导，解出目标偏导数，两个方程两个偏导数，同理对y求导
两端求微分，从中解出du,dv,利用微分形式不变性，从dv,dv表达式中求出目标偏导数
5.3. 极值与最值
无条件极值
多元函数极值点与极值的定义
多元函数驻点
偏导数同时等于零的点，称为驻点。（驻点不等于极值点）
多元函数取极值的必要条件
在一点取得极值，则偏导数一定为零
二元函数取极值的充分条件
条件极值
在条件函数下的极值，最值（拉格朗日乘数法）
总结归纳
无条件极值经典问题
在求偏导上加难度
隐函数求偏导
复合函数，极限保号性和连续性的结合
条件极值（最值）
化为无条件极值（函数间的等价替换）
拉格朗日乘数法
多元函数的最值问题
求出函数在有界区域可能取得的极值点（驻点和一阶偏导不存在的点）的函数值
求出边界上的最值
进行比较，符合题意者即为最大值最小值
5.4. 方向导数梯度（多元微分在几何上的应用）泰勒定理
方向导数
如果说偏导数表示沿坐标轴的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率的，不一定沿坐标轴
函数在一点可微，任意方向的方向导数存在
梯度
梯度是一个向量，偏导数连续梯度才存在，梯度方向为方向导数取得最大值的方向，大小是方向导数的最大值
曲面的切平面与法线
F(x,y,z)=0
法向量
切平面
法线方程
z=f(x,y)
改写成 z-f(x,y)=0,再用公式求
切线的切线与法平面
参数式
切向量
切线方程
法平面方程
一般式
切向量
切线方程
法平面方程
泰勒定理
感觉不常考，佛系复习
总结归纳
求方向导数与梯度
求各方向的偏导数，乘以单位方向向量
有时候偏导数存在方向导数不一定存在，这时用定义求（极限）
梯度问题可以转化为求多元函数的最值问题（拉格朗日乘数法）
求曲面的切平面和曲线的切线
看到曲面立即求法向量，根据点法式求切平面方程
遇到有限制条件的，先求后联立方程组
对于切平面都通过一定点问题，先含参数求出切平面方程，观察方程消参数
证明一曲面为柱面，既是证明任一点的法向量垂直于定向量（假设未知数）
对于一般式的曲线方程，应立即求出两个曲面的法向量，两法向量向量积求出切向量，进求出切线方程，法平面方程
泰勒定理
根据公式展开即可
6. 多元函数积分学
6.1. 重积分
二重积分
定义
几何意义
若函数在区域D上连续且非负，则二重积分表示以区域D为底曲面Z为顶，侧面是以D的边界为准线，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积
性质
比较定理
积分也小于
估值定理（介值定理）
中值定理
二重积分的计算
直角坐标系
先y后x的积分域
积分区域准线是平行于y的定直线
先x后y的积分域
积分区域准线是平行于x的定直线
极坐标系
一般情况下先极轴后夹角
适合用极坐标计算的被积函数一般是圆或分式
适合用极坐标计算的积分区域一般是圆，扇形，圆环
利用对称性与奇偶性
利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性（偶倍奇零）
积分区域关于y轴对称，被积函数关于x有奇偶性
积分区域关于x轴对称，被积函数关于y有奇偶性
利用变量的对称性
积分区域关于y=x对称，被积函数x和y对调积分值不变
三重积分
定义
几何意义
被积函数等于一，三重积分表示积分域的体积；被积函数为空间体的体密度，则三重积分表示空间体积的质量
性质
同二重积分
三重积分的计算
直角坐标系下
先对z积分，后对xy积分
z的区间是x,y的方程
先对xy积分，后对z积分
z的区间是常数，xy的面积容易算
柱坐标系下
球坐标系下
三重积分好多用他们
利用对称性和奇偶性
与二重积分类似
总结归纳
二重积分的简单计算
被积函数中有两个形式相同的变量
一般用变量的对称性
被积函数中含有另一个函数
往往被积函数和函数域之间有奇偶性和对称性的关系
对于被积函数不是常见初等函数
应考虑变换积分次序
被积函数是复合函数
尽量化简，找到奇偶性和对称性的规律
遇到平方的应尽量用极坐标
积分域能明显看出是两个区域相减
此时算两区域的积分，相减通常更简便
积分域表示为参数方程的二重积分
在直角坐标下化累次积分，先假设y与x之间的函数，最后统一化成参数t
被积函数分段表示
写出被积函数的表达式，和相应自变量的区间，用相应自变量的区间画出积分域
被积函数中含有绝对值
根据绝对值内在积分域的正负值划分原积分域，去掉绝对值
累次积分交换次序及计算
极坐标到极坐标
根据累次积分确定对应的积分域
画出积分域草图
按另一种次序确定上下限
不同于直角坐标轴，极坐标确定上下限画圆
极坐标到直角坐标
直角坐标到直角坐标
二重积分的综合题
变限累次积分求导问题
函数中有一个变量，交换积分次序，转化为一元变限积分求导
有积分有函数有等式求函数表达式问题
积分就是个常数，带入等式，再迭代
和极限的结合
除了用累次积分化简外还可尝试用积分中值定理
与二重积分有关的积分不等式
同一积分域不同被积函数的若干个二重积分的比较
不同积分域不同被积函数，但两两相同
重积分和具体数的比较
若是两个一重积分相乘，设法转化为二重积分统一比较，运用积分中值定理，或奇偶性对称性，轮换性
对于具体常数还可展开函数的幂级数
计算三重积分
先z后y后x
对于被积函数没有什么特殊性，积分域也无对称性的积分
先二后一
被积函数是z的函数，积分域容易用x，y函数式表达
用球坐标系
积分域是球或球的变形，被积函数简单
用柱面坐标系
积分域是旋转体，被积函数是x^2+y^2或变形
三重积分的累次积分
一般是两两交换
6.2. 曲线积分
对弧长的线积分（第一类线积分）
定义
类似于求一曲线的质量
性质
与积分路径无关
计算
直接计算
参数方程
直角坐标
极坐标
利用奇偶性和对称性
积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性缺一不可
利用变量的对称性
对坐标的线积分（第二类线积分）
定义
可以理解为一物体沿一有向曲线在变力场中的做功
性质
与积分路径有关
两类线积分的关系
计算
1. 直接法
参数方程更好计算，当然都化为x也行
2. 格林公式
被积函数在闭区域D上处处有连续的一阶偏导数
积分曲线L为闭曲线且为正向
3. 补线用格林公式
积分曲线不封闭，直接计算不方便
补线变成格林公式满足的条件，后用用公式
4. 利用线积分与积分路径无关
1. 线积分与路径无关的判定
2. 与路径无关的线积分的计算
1. 改变路径
选取平行于坐标轴的折线
2. 利用与原函数（可微函数）
这里求原函数有两种方法，偏微分和凑微分
5. 斯托克斯公式
对于空间线积分，积分曲线是空间有向闭曲线，转化后的被积区域为边界为积分曲线的有界曲面，方向符合右手定则，可将曲线积分转化为曲面积分
这里还有一个推论
6.3. 曲面积分
对面积的面积分（第一类面积分）
定义
可以简单理解为求一曲面的质量
性质
与曲面侧的选取无关
计算
直接法
积分曲面由z=(x,y)给出，曲面在xOy面上的投影域为D
函数z(x,y)在D上有连续的一阶偏导数
利用奇偶性和对称性
积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性缺一不可
利用变量的对称性
对坐标的面积分（第二类面积分）
定义
可以简单的理解为穿过空间内某一曲面的磁通量
性质
积分与曲面的侧有关，即相反亦相反
两类面积分的关系
计算
直接法
直接用高斯公式
光滑的闭曲面围成一个空间闭区域
被积函数在空间闭区域上有连续的一阶偏导数
补面用高斯公式
积分曲面不封闭
直接法不方便
补一个面用高斯公式
6.4. 场论初步
梯度
一点的梯度等于这一点最大的方向导数
参考多元微分学章节方向导数
通量
定义
类似于第二类面积分
计算
散度
其实就是向量场一阶偏导数的和（高斯公式中的被积函数
旋度
可见格林公式中的被积函数求的就是旋度
7. 微分方程
7.1. 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法
定义
微分方程，阶，解
含有y的一阶导的方程称为一阶方程，求出的一个y称为微分方程的一个解
通解，初始条件，特解
含有独立的任意常数的函数称为微分方程的通解，初始条件中不含任意常数的解称为特解
一阶微分方程与可降阶的微分方程的解法
1. 变量可分离的微分方程
变量可分别放到左右两边的微分方程
2. 齐次微分方程
x,y作为自变量可又组成另一个函数u的微分方程
3. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程很常见，感觉很多一阶方程都可以用这个方法解
4. 伯努利方程
与一阶线性微分方程不同的是，右边有y^n（看到直接用公式，不常见）
5. 全微分方程
6. 三种可降阶的二阶方程
总结归纳
基本题，识别类型，对号入座
这里不再赘述，多做题，应注意有时改变一条思路构造dx/dy有时更简便
与全微分方程（与路径无关）有关的问题
参考多元积分学的曲线积分
积分方程化为微分方程的问题
1. 未知函数含于变限积分中
求导，去掉积分号化为微分方程，
2. 未知函数含于定积分中
设该定积分为常数，然后求这个常数（设完这个常数再积分表示这个常数）
偏微分方程化为常微分方程的问题
待总结，很重要
一些特殊的函数方程化为微分方程
对于特殊的函数方程的话，一般按定义求出函数的导数，化为微分方程后求原函数
与微分方程的解的一些有关问题的讨论
一般是求出解后，讨论解的性态，比如，极限，导数的连续性，渐近线等
7.2. 二阶及高阶线性微分方程
定义
二阶及高阶微分方程
线性相关与线性无关
重要性质，定理，公式
1. 两个非齐次线性方程的解相减等于齐次线性方程组的解
2. 齐次线性方程组的解的叠加还是齐次线性方程组的解
3. n阶齐次线性方程有n个线性无关的解，线性无关的解的线性组合成为方程的通解
4. 非齐次方程组的通解为齐次线性方程的通解加上特解
5. 自由项的解可叠加
6. 二阶常系数线性齐次方程的通解求法及公式
n阶
7. 含有特殊自由项的二阶常系数非齐次微分方程的解法
第一种
第二种
8. 欧拉方程的解法
欧拉方程解决了非常系数非齐次微分方程的解
这里推导过程不再赘述，直接给出答案
总结归纳
基本问题，识别类型，对号入座
注意其中与积分问题的结合，这里要求导两次
自由项不是特殊的话应拆开为特殊的，后叠加通解
用变量代换解微分方程
多都是直接给出变换关系，按照题意代换就好了
自由项为分段函数或含有绝对值的非齐次线性微分方程的解
分段求解微分方程
在分段上得到的解在分界处连续，且导数可导，以此合并分段解中的任意常数，（二阶方程，通解中只能含有两个任意常数）
写出常系数线性非齐次微分方程的特解形式
考研中有时选择题减轻计算量，不在乎具体的特解，让你选择正确的特解形式
已知方程的解求方程
给的通解一般都能明确方程的类型，特点，可从特征值，特征方程入手
这就要求把前面的通解形式倒背如流
一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应的齐次方程解的关系
此类问题选择题也经常出现，基本有以下推断
欧拉方程求解
识别类型，套用公式即可
积分方程，偏微分方程化为常微分方程求解
这种问题大题感觉经常考，毕竟是综合性问题，多做题就好
7.3. 微分方程的应用
几何问题
变化率问题
牛顿第二定律或运动问题
微元法建立微分方程
和多元函数积分学的结合，一般有解微分方程的步骤
8. 无穷级数
8.1. 常数项级数
级数的概念及性质
定义
数列Un的前n项和称为无穷级数。部分和数列Sn有极限S则称极限收敛，若没有极限则称级数发散
性质
收敛级数乘以k仍收敛
两个收敛级数相加，相加后的级数收敛于两个收敛级数极限的和
一个级数发散，一个收敛，则相加后的级数一定发散
两个级数都发散，相加后的级数可能收敛可能发散
改变级数前有限项不影响级数的敛散性
收敛级数加括号仍收敛，且和不变
级数收敛的必要条件是数列的第n项极限等于零
注意是必要条件不是充分条件反例如调和级数
级数的判敛准则
正项级数
比较判别法
比较判别法的极限形式
比值判别法
根值判别法
交错级数
莱布尼茨判别准则
注意莱布尼茨判别准则是充分条件
莱布尼茨判别准则中最主要的是判别Un>=Un+1，通常有三种方法
任意项级数
绝对收敛与条件收敛的概念
若级数的绝对值收敛，则称这个级数绝对收敛
若级数收敛，而级数的绝对值发散，则称级数条件收敛
条件收敛和绝对收敛的基本结论
绝对收敛的级数一定收敛
条件收敛的级数所有正项或负项构成的级数一定发散
总结归纳
正项级数敛散性的判定
1. 级数通项极限发散不等于0，直接判定级数发散
2. 常规性的根植和比值法（一般遇到通项中有n!用比值法，有a^n, n^n用根植法）
注意讨论比值等于1的情况
3. 由于比值判别法的极限形式，故对于极限适用的等价无穷小代换，对于比值判别法极限形式时仍然适用（一般是先等价无穷小代换，然后再比值法比较）
两种常用的用于比较的敛散性级数
4. 级数的通项中有积分项的级数的判断，一般是直接利用比较判别法把积分化为较为简单的形式，然后再求出积分比较
5. 运用基本不等式，把级数的通项化简后用比较判别法
常用不等式规则
6. 利用级数的敛散性求正项数列的极限（不再赘述）
交错级数敛散性的判定
级数的通项中含有-1^n项的标准交错级数的敛散性
通常是先判断Un单调递减（此时数列单调性可以用函数单调性计算），再判断Un=0.由莱布尼茨判别准则判别收敛
级数的通项中没有明显的交错标志，但含有三角函数这一隐形标志
任意项级数敛散性的判定
一般利用绝对收敛的级数一定收敛，但一般不能一个绝对值看出收敛性
利用不等式化简放缩，适当的时候要等价代换，然后再直观的讨论敛散性
其实任意项级数加绝对值后就成了正项级数，这时利用正项级数讨论就可以了，这里不再赘述
有关常数项级数的证明题和综合题
首先明白一个大方向此类证明题大多是用比较法求级数的敛散性
与极限结合
某极限存在的话，则对应的数列有界M,,然后结合比较判别法比较所求级数n项和与M的关系
与数列结合
数列收敛等同于极限存在，但数列还有一种不同于极限的，可以表示成递推数列，或直接给出an和an+1的关系，进一步求通项之间的关系
注意不等式a+b>=2根号下ab
与微分结合
级数通项与函数微分的结合，通常是数列关系用函数表示，用函数中值定理的性质，或把级数通项泰勒展开化简，求级数通项之间的关系
与积分结合
若级数通项中含有积分，若求前n项和，一般是有技巧直接求出积分；若判断级数收敛，一般把是把复杂的积分式，用不等式的技巧替换掉
8.2. 幂级数
函数项级数及收敛域与和函数
函数项级数收敛时对应的x，称为收敛点，所有的收敛点构成的集合称为收敛域
函数项级数在收敛域内有和，其值与收敛点x有关，计为S（x）
幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域
幂函数收敛区间的归纳
幂函数收敛半径的三种情况
仅在x=0处幂级数收敛，其他情况幂级数发散
对于x属于任何实数值，该幂级数都收敛，且绝对收敛
存在R>0，当|x|<R时，该幂级数收敛且绝对收敛
所以一个幂级数的收敛半径总存在
求收敛半径的方法
幂级数的性质
四则运算性质
分析性质
幂函数的和函数也有函数的性质，连续，可导，可积
函数的幂级数展开
泰勒级数
麦克劳林级数
泰勒级数的收敛定理
这里有点深奥，感觉有点多余，说是泰勒展开式突变的点，但我的思维跟不上
七个常用的麦克劳林展开式（牢记）
倒背如流
总结归纳
求幂级数的收敛域
用两种公式求得收敛半径R，然后讨论两个边界点幂级数的敛散性，便可求得收敛域，此类题一个套路，不再赘述
求得幂级数的收敛域后，判断一个幂级数的敛散性，这时只需要确认是否x的值在不在收敛域内
将函数展开为幂级数
这里大方向是通过适当变量代换或借由幂级数的性质，往七个常用的麦克劳林展开式靠拢，将函数展开为幂级数
将函数展开为x的幂级数
1. 函数因式分解，变量代换后展开
2. 函数求导后，展开为级数后，再对级数积分
3. 函数积分后，展开为级数后，再对级数求导
例子见下例
将函数在指定点展开为幂级数
这时一般是把（x-指定点），看成上式的x
通常是构造（x-指定点）看成整体，然后展开级数和展开为x的幂级数基本相同，注意收敛域的换算
利用幂级数展开式的唯一性求函数在给定点的高阶导数
级数求和
其实大体就是把已经展开为级数的函数，再转换成原来的函数
常数项级数的和
一般把通项因式分解，，然后利用级数定义求部分和Sn,然后对Sn求极限
幂级数求和
运用函数的性质，把无穷级还原为函数（对于其中不含x项的级数，可以把幂次项先假设为幂级数，然后再把x带入刚才替换的常数即可）
级数求和
幂级数求和
一般是先求出幂级数的收敛域，然后分范围求幂级数的和S（x）
8.3. 傅里叶级数
三角函数及其正交性
傅里叶级数
收敛定理
狄利克雷定理
周期为2π的函数的傅里叶展开
周期为2l的函数的傅里叶展开
总结归纳
有关收敛定理的问题
判断类型，直接带入狄利克雷定理就好（通常根据给出的傅里叶级数形式先判断f（x）的奇偶性）
将函数展开为傅里叶级数
一样的套路，先求a0,然后an,bn，最后按定义组合起来