概率

随机事件及其概率：随机事件的几个基本概念、事件的概率；随机变量及其分布：随机事件的数量化、随机变量的定义、随机变量的定义等。

第五章

• 5.1随机事件及其概率
  • 随机事件的几个基本概念
    • 前言
      • 试验
        • 在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验
      • 事件
        • 观察或试验的结果
    • 随机事件（偶然事件）
      • 在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件
    • 必然事件
      • 在同一组条件下，每次试验一定出现的事件
    • 不可能事件
      • 在同一组条件下，每次试验一定不出现的事件
    • 基本事件（简单事件）
      • 定义
        • 如果一个事件不能分解成两个或者更多个事件，则称这个事件为基本事件
      • 性质
        • 在一次试验中，只能观察到一个仅有一个简单事件
    • 样本空间（基本空间）
      • 一个试验中所有的简单事件的全体
  • 事件的概率
    • 前言
      • 事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量，记事件A出现可能性大小的数值为P(A)
    • 概率的定义
      • 概率的古典定义
        • 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果出现的可能性相等（古典概型），则某一事件A 发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m 与样本空间中所包含的基本事件个数n 的比值
        • P(A)= 事件A 所包含的基本事件个数/ 样本空间所包含的基本事件个数=m/n
        • 局限性
          • 古典概率局限在只有有限个可能结果的范围内，使其应用收到了限制
      • 概率的统计定义 （基本古典定义的局限性提出）
        • 在相同条件下随机试验n 次，某事件A 出现m 次（m 小于等于n ），则比值m/n 称为事件A 发生的频率。随着n 的增大，该频率围绕某一常数p 上下波动，且波动的幅度逐渐减小，趋于稳定，这个频率的稳定值即为该事件的概率
        • P(A)=m/n=p
        • 局限性
          • 在实际应用中要求在相同条件下进行大量重复试验，而事实上很多现象并不能进行大量重复试验，特别是一些社会经济现象无法重复，有些现象即使能重复试验，则很难保证试验条件完全一样
      • 主观概率定义 （基于统计定义的局限性提出）
        • 一个决策者根据本人掌握的信息对某个事件可能发生性作出的判断（一些无法重复的试验）
• 5.2随机变量及其分布
  • 随机事件的数量化
    • 随机事件可能采取数量标识表示，可能不采取。为方便数学上的处理，需要把不采用数量标识表示化为采用数量标识表示，例如把检验产品的不合格指定为1，合格为0
  • 随机变量的定义
    • 在一组条件下，如果每次试验可能出现这样或那样的结果，并且所有的结果都能列举出来，即X的所有可能值x1,x2,•••xn都能列举出来，并且X的可能值x1,x2,•••xn具有确定概率P(x1),P(x2),•••P(xn)，其中P(xi)=P(X=xi),称为概率函数，则X称为P(X)的随机变量，P(X)称为随机变量X的概率函数
  • 随机变量的分类（按随机变量的特性分）
    • 离散型随机变量
      • 定义
        • 如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量
      • 概率分布
        • 定义
        • 分类
          • 二项分布
            • 定义
            • 贝努里试验
            • 期望和方差
          • 泊松分布
            • 定义
              • 用来描述在一指定时间范围内或在指定的面积或体积之内某一事件出现的次数的分布
            • 计算方法
            • 期望和方差
      • 数字特征
        • 期望
          • 定义
            • 在离散型随机变量X的一切可能值的完备组中，各可能值xi与其对应概率pi的乘积之和，记作E(X)或u（加权算术平均数的一种推广）
          • 计算方法
          • 意义
            • 表示随机变量本身的平均水平或集中程度
        • 方差
          • 定义
            • 每一个随机变量取值与期望值的离差平方之期望值
          • 计算方法
          • 意义
            • 测量随机变量的变异程度或离散程度
          • 判断原则
            • X的取值比较集中，则方差较小；X的取值比较分散，则方差较大；方差为0，则意味着随机变量的取值集中于期望值E(X)，即随机变量以概率1取值E(X)
        • 标准差
          • 定义
            • 随机变量方差的平方根
          • 计算方法
        • 离散系数
          • 计算方法
          • 意义
            • 用来比较不同期望值的总体之间的离中趋势
    • 连续型随机变量
      • 定义
        • 如果随机变量X的所有取值无法逐个列举出来，而是取数轴上某一区间的任一点，则称X为连续型随机变量
      • 概率分布（此处略）
      • 数字特征（此处略）