矩阵的对角化问题

这是一篇关于矩阵的对角化问题的思维导图，包括相似矩阵、特征值与特征向量、实对称矩阵的对角化、矩阵可对角化的条件等内容。

矩阵的对角化问题

• 相似矩阵
  • 定义
    • 设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。
  • 性质
    • （1）反身性：A~ A
    • （2）对称性：若A~ B，则 B~ A
    • （3）传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C
    • （4）若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。
    • （5）若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。
    • （6）若A~ B，则A与B
      • •两者的秩相等；
      • •两者的行列式值相等；
      • •两者的迹数相等；
      • •两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；
      • •两者拥有同样的特征多项式；
      • •两者拥有同样的初等因子。
    • （7）若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。
    • （8）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
  • 定理
    • 定理 1
      • n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
      • 矩阵对角化方法（步骤）
        • （1） 求出全部的特征值；
        • （2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；
        • （3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
    • 定理 2
      • n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。
    • 定理 3
      • 对任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。
  • 判断两矩阵是否相似的方法
    • （1）判断特征值是否相等；
    • （2）判断行列式是否相等；
    • （3）判断迹是否相等；
    • （4）判断秩是否相等。
    • 必要条件，而非充分条件。
    • （两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）
• 特征值与特征向量
  • 定义
    • 特征值
      • 设A为n阶方阵,若存在数λ和非零n维向量α,使得Aα=λα则称入为矩阵A的特征值
    • 特征向量
      • α为矩阵A对应特征值λ的特征向量.
    • 特征矩阵
      • A为n阶矩阵, 入为一未知量,λE-A称为特征矩阵
    • 特征方程
      • ｜λE-A |＝0
    • 特征多项式
      • f(λ)=|λE-A｜
    • 迹
      • 设A是一个n阶矩阵, A的对角线元素之和称为A的迹记作 tr (A)
  • 重要结论
    • 1、相似矩阵具有相同的特征多项式.
      • ★特征多项式相同的矩阵不一定相似
      • ★相似矩阵具有相同的特征值
      • ★相似矩阵具有相同的迹
      • ★特征值与特征向量与考虑的数域有关
    • 2、属于不同特征值的特征向量线性无关.
    • 3、矩阵的所有特征值和等于矩阵的迹
    • 4、方阵所有特征值的乘积等于行列式的值
  • 定理
    • 1.n阶矩阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是:A有n个线性无关的特征向量
    • 2.哈密顿-凯莱( Hamilton-Caylay)定理]设A是一个n阶矩阵,f(λ)= ｜λE-A ｜是A的特征多项式,那么f(A)=0.
  • 如何求解特征值与特征向量
    • 1)计算A的特征多项式f(λ)= |λE-A|
    • 2)求出f(λ)在数域F中的全部根,就是A的全部特征值
    • (3)对于每个特征值入,求出齐次线性方程组的非零解,就是属于入的特征向量
• 实对称矩阵的对角化
  • 实对称矩阵一定可以对角化
  • 性质
    • 性质1
      • n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)。
    • 性质2
      • 若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
    • 性质3
      • 若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
    • 性质4
      • 设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
    • 性质5
      • 实对称矩阵的特征值全为实数
    • 性质6
      • 属于同一特征值的特征向量先正交化再单位话，属于不用特征值的特征向量只需要单位化，然后进行对应排列。
  • 补充
    • 1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
    • 2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
    • 3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
    • 4、若λ0具有k重特征值，必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λE-A)=n-k
• 矩阵可对角化条件
  • 定义
    • 定义:如果矩阵A能与对角矩阵相似，则称A可对角化。
  • 条件
    • 充要条件
      • 1、n阶矩阵A可对角化↔A有n个线性无关的特征向量。
      • 2、n阶矩阵A可对角化↔属于A的同一特征值的线性无关的特征向量的个数=该特征值的重根。
      • （矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的）
    • 充分条件
      • 1、n阶矩阵有n个不同的特征值→A可以对角化。
      • 2、复系数矩阵A的特征多项式没有重根→A可以化为对角形。
      • （特征值、特征向量、矩阵可对角化与数域有关）
      • 上三角形矩阵A的对角线元素各不相同→A可以对角化