微积分的力量

微积分的力量知识总结，包括微积分定义、极限和无穷、微积分的黎明、微积分的发展、微积分的应用、微积分的延展等内容。

微积分的力量

• 微积分定义
  • • 微积分就是切分和重组
      • 比如研究圆的面积，先切为多个三角形，上下对插重组后后类似矩形。 矩形长就是一半的周长，j就是πr，宽就是半径，就是πrr，就是πr² 圆的面积推导（一） - 西瓜视频 (ixigua.com)
    • 切的过程就是微分
    • 重组的过程就是积分
  • 微积分的应用就是解决三大谜题
    • 曲线之谜
      • 弧线、抛物线、抛物线下面积等
        • 没有微积分只能算直线相关
    • 运动之谜
      • 没有微积分只能算匀速运动不能体现加速减速
    • 变化之谜
      • 速率是不均匀的，没微积分不能计算
• 微积分的基石：极限和无穷
  • 极限的应用
    • 墙之谜：永远无法走出墙根
      • 你朝一面墙走，每次走1/2，永远走不到那面墙跟前。
    • 计算圆的面积：无限切分
      • 那虽然是个很小的点，但绝不是0。如果它是0，导致的结果就是整个世界会混乱。
    • 除数为 0会召唤出无穷
      • 因为2÷0等于无穷，3÷0也等于无穷，10÷0也等于无穷，那结论是什么？2=3=10，全等于，全世界都一样，这很明显是错的。所以除数为0会召唤出无穷，这个无穷就会导致整个世界的逻辑混乱，
    • 芝诺悖论与时空连续
      • 芝诺说，阿喀琉斯永远追不上乌龟。乌龟比阿喀琉斯先出发1米，然后让阿喀琉斯去追乌龟，结论是阿喀琉斯永远追不上乌龟。
      • 乌龟每次走得少一点，少一点，少一点，最后加在一起，不会超过1。
      • 布鲁诺认为，上帝以其无穷的力量创造了不计其数的世界。这个论断说出来了以后，他就被当作异端烧死了。所以我们说，古人不敢召唤出无穷，因为觉得无穷是一个很难驾驭的东西。
  • 无穷的应用
    • 阿基米德通过无限切分求圆周率、面积、体积
    • 动画制作
      • 无穷多个三角形叠加形成画面
    • 通过计算机建模模拟手术过程、预测手术结果
  • 阿基米德才是微积分的奠基人
    • 过去一直以为，微积分是17世纪的人的发明，是牛顿、莱布尼茨他们的发明，直到1998年10月，阿基米德的手稿重见天日。
    • 罗马人攻进了希腊，当时阿基米德还在他的房间里面做演算。罗马人的将军告诉士兵说，阿基米德一定要留着，因为他是个伟人，所以千万不要打扰他。结果有一队士兵踹开他的门，进到他房间的时候，一脚踩坏了他演算的稿纸，然后阿基米德说：“出去！你们打扰到我计算了。”于是那个人一刀就把他捅死了。
    • 阿基米德在死之前说：“在现在和未来的几个世纪中，某些人会利用这种方法，找到我们尚未掌握的其他定理。” 你知道这句话是写给谁的吗？后来揭开这个谜题的就是牛顿，就是牛顿用了微积分的思想彻底揭开了宇宙的奥秘。
• 微积分的黎明
  • 伽利略
    • 伽利略说世界就是一部伟大的著作，使用数学为语言写成的。
    • 奇数定律
    • 惯性定律
    • 自由落体定律
    • 钟摆实验揭示所有震动现象的规律
      • 钟表、无线通信、gps、原子钟、都是这个原理来的，院子钟是原子在两种状态的变化。
      • 哈里森解决了经纬度测量问题，2万英镑奖金
  • 开普勒
    • 行星运动三大定律
      • 伽利略认为行星圆轨道运行，开普勒认为是椭圆形变化的，这需要微积分的诞生
      • 17世纪邮政系统促进了宗教向科学的转变。
  • 费马和笛卡尔
    • 人类是先有几何基础发展来的积分，后有代数基础上发展来的微分。代数比几何晚。我们学是先学求导微分，后学反过来的积分。
    • 代数+几何就是解析几何，笛卡尔搞的那套
      • 现在曲线下的面积，变化率都是方程。
    • 开普勒跟伽利略算一对搭档，他们俩一块儿出现；另外一对搭档就是费马和笛卡尔。
  • 费马
    • 费马可以解决笛卡尔解决不了的问题
      • “费马的研究成果使积分学向前迈进了一大步，并为接下来的突破奠定了基础。”
      • “他在解析几何和切线方面的研究开辟了一条通往微分学之路，其他人将沿着这条路继续前进。他高超的代数技巧让他能够求出某些曲线下方的面积。”他求曲线下方面积的方法是把这条曲线用一根一根的梁支起来。你想象有很多根小的矩形，然后把这个小的矩形的面积算出来，加在一起，不就是等于这个曲线的面积了吗？
      • “尽管如此，他的成果仍然比不上牛顿和莱布尼茨即将发现的那个秘密，后者彻底改变并统一了微积分的两个部分。费马已经很接近这个秘密了，但遗憾的是，他错过了它。缺少的一环与他创造的某个东西有关，这个东西就隐含在他求最大值和切线的方法中，但他从未意识到它的重要性。它后来被人们称为导数，它的应用将远远超出曲线及其切线的范畴，能够涵盖任何种类的变化。”
      • 费马不用求导数的方法，就能够找出最大值
      • 导数是什么呢？比如说这儿有一条曲线，曲线上有一条切线，这个切线的斜率就是切点的导数，切线的斜率表示的是变化率。
        • 我们在生活当中总得知道，一个东西多快？多陡？多敏感？凡是你问这样的问题的时候，其实问的都是变化率。变化率怎么算出来呢？唯一的办法就是求导。你能够在每一个点上求出导数，你就知道这个点的变化率。
    • 通过微积分的数据压缩方法节省存储空间
    • 最短时间原理，光会以最快速度传播
    • 最优性原则，大自然会以最经济方式运行。
      • “费马为现代形式的微积分铺平了道路，他的最短时间原理揭示出最优化深深地嵌在大自然的结构之中。”大自然是追求最优化的，因为它的进化就是朝着最优的方向去的。
  • 笛卡尔
    • 折射现象，光在光疏介质和光密介质间传播会发生折射
• 微积分的发展
  • 函数：描述事物间的变化关系
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数
  • 通过微分求倒数
    • 描述事物的变化率
  • 通过积分求面积
  • 微积分的三大核心问题
    • 正向问题
      • 即已知一条曲线，求它各处切线的斜率，也就是变化率，
        • 知道方程，求切线
    • 反向问题
      • 已知一条曲线的各处斜率，求这条曲线的方程；
        • 知道切线，求方程
    • 面积问题
      • 已知一条曲线，求曲线下方的面积。
        • 知道方程，求面积。
    • 这个可以应用在医学、建筑、火箭发动机等各个方面。因为只要是变动的运算，都可以用方程和图形来表示，这就是微积分的力量所在，这三大核心问题涉及物理、工程、金融、医学等等。
    • 放大曲线，求变化率，放大后看一段就类似直线，牛顿莱布尼茨解决了求导数。驯化了数学猛兽。把微积分思想变成了微积分工具
      • 子主题
  • 莱布尼兹
    • 通过楼梯实验发现微积分的基本原理
      • “在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后，情况发生了变化。他们各自发现并证明了一个基本定理，它能使这类问题常规化。该定理将面积与斜率联系起来，进而将积分与导数联系在一起。这个基本定理的影响力惊人，几乎一夜之间面积问题就变得容易解决了。”
  • 牛顿
    • 牛顿说：“并非所有方程都可以用曲线来表示，但我能在不到半刻钟的时间内，判断出它是否可以求积。”
    • 运动三大定律
    • 用三重积分解决了二体问题
      • 牛顿写了《自然哲学的数学原理》，揭示了力学的世界，然后用三重积分的方法帮我们解决了二体问题。地球跟月亮、两个星星互相吸引，这叫作二体问题。二体问题其实很难计算，因为它在变动当中，牛顿用三重积分的方法解决了，所以我们能够预测月亮的轨道。但是三体问题无法解决，牛顿到死都没有解决三体问题，现在的科学家可能也很难算出来，三体问题始终是一个很难的问题，所以那本小说叫《三体》，就是从这儿来的。
    • 牛顿思想贯穿美国独立宣言
      • 《独立宣言》都是在微积分的影响之下写出来的。大家会觉得很奇怪，《独立宣言》是个政治的东西、文字的东西，怎么会跟微积分有关呢？你要知道《独立宣言》的起草者杰斐逊是美国的第三任总统，杰斐逊本人是一个建筑师、发明家和农场主，同时也是第三任总统和《独立宣言》的起草者。
        • 除此之外，他还是牛顿的信徒，所以《独立宣言》开篇所写的话就跟牛顿在《自然哲学的数学原理》那本书中所写的一模一样，叫作“我们认为有些真理不证自明”。也就是说从公理着手，然后凭着逻辑的力量，他从这些公理中推导出一系列难以回避的问题，这就是《独立宣言》的起草思路。而这个思路来自哪儿呢？来自牛顿写的《自然哲学的数学原理》。
        • 我们那时候不明白为什么要有公理？公理就是要搭建的一个圣殿底下的基础，沿着这几个基础，全部都是公理和公理之间的应用和引用，从而证明出定理，然后这个定理如果得到认可，它就可以像公理一样被使用，然后再去证明下一个定理。人类就是这样一步一步地往前推进的，这就是科学的思想。所以连《独立宣言》都是来自微积分的影响。
  • 那你知道如果曲线求积的问题得到了解决，会怎样吗？
    • “它将引起一个连锁反应，就像被推倒的多米诺骨牌一样，一个接一个问题都会迎刃而解。而且我们可以用它来回答笛卡尔眼中那个超出人类理解范围的问题，即算出任意曲线的弧长。有了它，人们就可能算出平面上任何一个不规则形状的面积，还可以计算球面、抛物面、瓮、桶以及其他绕过轴旋转曲线所得到的曲面的表面积、体积、重心。
    • “不仅如此，某些预测问题将得到解决。只要解决了曲线求积问题，我们就可以预测出运动物体在遥远未来的位置。比如，即使一颗行星受到的引力与我们宇宙中的引力不同，我们也能预测出某一时刻它在轨道上的位置。我之所以称曲线求积问题为积分学的圣杯，是因为许许多多的其他问题都可归结为这个问题。如果它被解决了，其他问题也会得到解决。
    • “这就是算出任意曲线下方面积如此重要的原因……从现代的角度看，面积问题旨在预测以不断变化的速率变化的事物和与它随时间的累积程度之间的关系。它与银行账户的波动性流入和累计余额有关；它与世界人口的增长率和地球上的净人口数有关；它与化疗药物在患者血液中不断变化的浓度和随时间的累积暴露剂量有关，因为总暴露量会影响化疗药物的效果和毒性。”
    • 面积问题之所以重要，因为它跟我们生活的方方面面都有联系。大家知道斜率是变化速率问题，面积是累积效果问题，就是用这样的速度做了这么长的时间，最后到底做了多少呢？这就是面积问题。所以在生活当中，我们不但要知道变化速率问题，也要知道累积效果问题。变化速率是微分，整个面积是积分，这就是微积分。
  • 傅里叶
    • 用偏微分方程解决了热量流动之谜
      • 傅里叶用微波炉测量距离
        • 两个熔点距离就是半波，乘以2就是全波，乘以频率就是距离
    • 将正玄波的震动应用于音乐合成器，ct和核磁共振扫描
      • 他把这些东西都简化为正弦波，后来发现正弦波真的很好用，包括我们今天做电脑断层扫描（CT）、核磁共振扫描（MRI）、我们用的电子琴、语音合成器，全部都是用正弦波的原理，它们的奠基人都是傅里叶。
• 微积分的应用
  • 对抗艾滋病
    • 原来十年潜伏期，没办法
    • 后来华裔的医学家何大一，他和数学家艾伦·佩雷尔森用微积分解决了艾滋病病毒的问题
      • 在人体当中截取了一个微小时间段中的病毒变化数，然后去计算病毒涨落的方程。
    • 鸡尾酒疗法是什么呢？通俗点讲，就是在这十年时间里，给你的白细胞帮忙，让你的白细胞能够更厉害一点。
  • 美国的女性黑人科学家凯瑟琳·约翰逊，曾经被拍成过一部电影，叫《隐藏人物》。
    • “1962年2月20日，约翰·格伦上校完成了绕地球飞行三周的任务后，在约翰逊精确计算的指导下重返大气层，并且安全地降落在北大西洋，他是美国的英雄，后来当选了参议员。但很少有人知道，在格伦创造历史的那一天，直到凯瑟琳·约翰逊本人检查了所有攸关生死的计算后，他才同意执行这次飞行任务。换而言之，格伦把自己的生命托付给了约翰逊这个数学家。”
    • 为什么呢？你想一个人从太空轨道上要回归地球，地球上的地貌有多么复杂，有山、有海、有风、有各式各样的这种地貌，你降落的位置只要稍微偏一点点，没有降落到他们指定的大西洋的那个位置上，这人就死了。1962年没有那么发达的计算机，这个黑人女科学家就用粉笔在黑板上手算大量的公式，算各种各样的形状，算地球上的每一个位置，确定他最后会落在大西洋上的那个位置，然后这个英雄才愿意执行这个飞行任务。
    • 最后格伦成为英雄，当了参议员，但是约翰逊一直默默无闻，她是一个隐藏的人物，她在背后，大家不知道这个数学家所做的贡献。一直到2015年，97岁高龄的她获得了奥巴马总统颁发的总统自由勋章。一年以后，美国国家航空航天局（NASA）以她的名字命名了一座大楼，大家认可了这位数学家的贡献。
  • 飞机的建模
    • 你听起来已经很复杂了，但它只是常微分方程。常微分方程就是只有一个变量的方程，但是我们在生活当中，其实面临的是更多个变量。比如说飞机的机翼一展开，在天上这样抖。飞机的机翼是多么复杂的形状，它不是圆形、不是圆柱、不是圆锥，它全是弧线和曲面。天上的风的力量极大，如果你不能够很好地计算这个翅膀所承受的每一个点的力量，你怎么知道它飞着飞着不会掉了呢？
    • “其中涉及的数学计算可能难度极大，部分原因在于飞机的几何结构十分复杂。飞机不像球体、风筝或者轻木滑翔机，它的形状复杂得多，包含机翼、机身、发动机、尾翼、襟翼和起落装置，这些组成部分都能使高速掠过飞机的气流发生偏转。而且，高速气流一旦发生偏转，就会对使它偏转的物体施加一个力。”你把手伸到车窗外边去，有没有感受到很大的力在推你的手？这个就是你使得那个风发生偏转了，一偏转，力量就来了。所以你那个发动机上的大疙瘩，遇到了风吹，它就抖，因为它大，影响了风的方向。
    • “偏微分方程在这个过程当中发挥了诸多方面的作用。比如，除了计算升力和阻力之外，波音公司的应用数学家还用微积分预测了飞机以600英里的时速飞行时机翼会如何弯曲。当机翼受到升力时，升力会导致机翼向上弯曲和扭曲，工程师试图避免的一种现象是被称为气动弹性颤振的危险效应，它类似于微风吹过百叶窗帘时发生的颤振。”你看风吹百叶窗是什么反应？它是上下抖动。
      • “在最好的情况下，机翼的这种不受欢迎的振动会造成旅途的颠簸和不适。而在最坏的情况下，这种振动会形成一个正反馈回路：当机翼震颤时，它们会改变周围的气流，并使自身震颤得更厉害。众所周知，气动弹性颤振会损坏实验飞机的机翼，导致结构失效和坠毁。”它抖得太厉害了以后，力量不断地正向反馈，变得越来越大，机翼可能会断掉。
    • 所以，“波音公司的数学家将机翼近似分解为几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，这些较为简单的形状扮演着基本结构单元的角色。就像在面部手术的建模阶段一样，他们先要为每个构建单元的刚度和弹性赋值，然后这些构建单元会受到临近构建单元施加的推力和拉力。弹性理论的偏微分方程可以预测出每个构建单元会对这些力做出怎样的反应，最终在超级计算机的帮助下，所有这些反应会被组合起来，用于预测机翼的总体振动情况”。
• 微积分的为了延展
  • 计算dna缠绕数
  • 计算非线性问题和混沌问题
  • 计算复杂系统和高维几何
    • 黎曼几何
  • 应用于人工智能
• 后记
  • 最后在本书结束的时候，让我们回到爱因斯坦，因为爱因斯坦毕竟是人类历史上最伟大的科学家。2017年的诺贝尔物理学奖获得者是引力波的探测者。引力波是什么呢？引力波是广义相对论预测到的又一个惊人的效应。
  • “这个理论指出，一对互相缠绕的黑洞会在它们周围的时空中形成漩涡，并有节奏地拉伸和挤压时空，由此产生的时空扰动会像涟漪一样以光速向外扩散。爱因斯坦曾经怀疑我们不可能测量到这种波，并担心它可能只是一种数学错觉。”数学错觉就是数学上说得通，但是实际上看不到。
  • 2017年诺贝尔物理学奖的获得者的关键成就在于，他们设计并制造出了有史以来最灵敏的探测器。“2015年9月14日，他们的装置探测到一个时空震颤，仅相当于质子直径的千分之一。作为对照，这就好比将地球与太阳的距离微调了相当于人的一根头发直径的长度。”就这么小的一个震颤，在2015年被人类的仪器捕捉到了。
  • “作为漂浮在一个中量级星系中的一颗微不足道的行星上的一个无足轻重的物种，智人是如何成功预测出，在距离地球十亿光年之遥的浩瀚宇宙中的两个黑洞相撞后，时空会发生怎样的震颤呢？我们早在引力波到达地球之前就知道它的声音应该是什么样子了。而且，多亏有微积分、计算机和爱因斯坦，我们的预测是正确的。
    • “引力波是人类有史以来听过的最微弱的耳语。在我们成为灵长类动物之前，在我们成为哺乳动物之前，甚至在我们还是微生物的时候，这种轻柔而微小的波就已经开始朝我们漾来。当它在2015年的那一天抵达地球的时候，因为我们正在倾听，也因为我们通晓微积分，所以我们才能听懂这轻柔的耳语意味着什么。”