导图社区 流体力学
流体力学知识梳理，板块：流体基本物理性质、流体运动学基础、流体动力学-积分型基本方程、流体动力学-微分型基本方程、粘性流体力学基础、气体动力学基础、理想流体运动特性。
总结了循环神经网络RNN的基本内容，如RNN基本结构原理、RNN计算训练的BPTT算法、长短期记忆模型LSTM和门控循环单元GRU的基本原理等
总结了卷积神经网络的主要内容，如基本概念，卷积运算，基本结构，参数学习方法以及一些卷积神经网络实例结构。
总结了最基本的神经网络结构——多层感知机MLP和前馈网络FNN，在此基础上总结了神经网络的目标函数和优化技术，反向传播算法计算目标函数对网络权系数的梯度问题，以及神经网络优化的辅助技术如初始化、正则化等。
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流体力学
流体基本物理性质
连续介质假设
微观与宏观运动
流体分子微观运动
自身热运动
流体团宏观运动
外力引起，统计平均值
1
无限尺度
无热运动
2
临界体积范围分子的平均特性
注
宏观流体力学研究的不是单个的流体分子
研究流体的机械属性，要引入平均统计的概念
不是考虑单个粒子的运动和物理量，而是大量粒子的平均运动及统计特性
流体的连续介质模型
流体质点模型
内容
流体质点无限尺度，无热运动，只在外力作用下作宏观运动
将周围临界体积范围内的分子平均特性赋予质点
流体质点特点
宏观充分小
尺度无穷小
微观充分大
反映空间某位置的平均意义
稳定、无随机性
常温下，立方米空气分子10^25个
物质模型 流体连续介质
流体质点连续无间隙地分布于所占据的整个空间
连续介质就是由流体质点组成
流体的宏观物理参数(p,V,T等)是空间和时间的连续函数，可导的
适用情况
L>>l
满足这一条件的闭系统是热力学平衡体
问题涉及的最小特征尺寸L
管直径、球直径、翼型的弦长，传感器
地球在稀薄气体中的运动、毛细血管内血液流动
流体质点的特征尺寸l（or λ）
分子自由程，常温下空气为数十纳米
Kn=λ/L
0~0.001
满足N-S方程，无滑移
0.001~0.1
满足N-S方程，有滑移
0.1~10
过渡区
10~
分子假设，Boltzman方程
不能看成连续介质流动
航天器在稀薄气体内运动所涉及的问题
碳纳米管流道内流动
流体微元模型
目的
为了描述流体微团的旋转和变形引入
流体微团(元)是由大量流体质点构成的微小单元（dx，dy，dz），dV=dxdydz
由流体质点相对运动 形成流体微元的旋转和变形运动
流体的易流性和可压缩性
易流性
易变形性是流体与固体在宏观力学行为方面的主要差异
易变形性表现
在剪切力持续作用下，流体能产生连续不断地变形
流体不能承受剪切力
在剪切力停止作用时，流体不作任何恢复变形
在流体内部，压强可向任何方向传递
粘性流体在固体壁面满足不滑移条件
在一定条件下流体内部可形成超乎想象的复杂结构
可压缩性
压缩性
由于压强变化而引起流体密度的变化称为压缩性
描述流体可压缩性的物理量
压缩性系数
单位压力变化引起的体积的相对收缩
体积弹性模量

对于大部分流体，体积弹性模量都很大
体积弹性模量越大，越难压缩
流体密度
马赫数
流场中某点的速度v同该点的波速a之比
流体密度不变的不可压缩流中
声速无穷大，马赫数为零
可压缩流中
气体流速相对变化dv/v同密度相对变化之间的存在关系
不可压缩与可压缩
马赫数大于0.3
可压缩
马赫数小于0.3
可认为不可压缩，密度几乎不变
气体的压缩性与压缩过程有关
热力学完全气体
等温压缩
等熵压缩
γ取1.2比较符合工程
不可压流体
不可压缩流体特性
密度为常数，体积弹性模量无穷大，压缩性系数无穷小
精确表达式
速度的散度等于0
直角坐标系和柱坐标系表达式
不可压不意味流体微团不变形
液体
密度为常数（声波，水击，水下爆炸除外）
可认为是不可压缩流体
气体
v<70m/s，认为密度不变
高速运动，可压缩性不可忽略
水锤公式
ΔH=+-a/gΔv
流体的粘性和牛顿粘性定律
流体粘性形成原因
两层液体粘性力主要是由分子内聚力形成的
温度越高，粘性越小
分子动量交换（热运动）
温度越高，粘性越大
牛顿粘性定律
推导过程
数学近似
定义
实验证明
确定正比系数μ
μ=0，理想流体，剪切力为0
理想流体和静止流体只有压强，剪切力为0
动力粘性系数
牛顿流体
满足牛顿粘性定律的流体称为牛顿流体
动力粘性系数随温度变化
运动粘性系数
流体粘性的测量-非直接测量
管流法
落球法
泄流方法
旋转法（主流）
流体力学中的单位
M
kg
L
m
t
s
T
K
1atm
1kgf/cm2
0.1MPa
10mH2O
作用在流体上的力
体积力
体积力强度
微团单位体积上作用的体积力
体积力的合力与合力矩
表面力
应力
有限体的微元面积dA上单位面积的表面力
表面力的局部强度
应力和它的作用面方向有关
法线方向
法应力
压强
切线方向
切应力
剪切力
特殊表面力
液体内分子对处于表面层中的分子的吸引力而产生的
流体中的应力及2阶应力张量
一点的应力状态
运动流体2阶应力张量
各个面的面积关系
其中ni是法向量n的分量，n=(n1,n2,n3)
牛顿第二定律
等式右边为体积力与表面力之和
取极限
任意面上的应力
四个面上应力之间的关系
为矢量表达式
当法向量n变化时，Tn随之变化，由此可以确定过一点任意面上的应力
(T1,T2,T3)为一点的应力状态
若知道一点的三个应力（T1,T2,T3），则任意面上的应力都可以通过上式计算出来
确定所求面的法向量（n1,n2,n3），然后代入式中计算即可
流体中任意一点的应力，可以用通过该点的3个相互正交面上的应力分量来表示
将T1,T2,T3在相应的平面上继续分解为 正应力和剪应力
一点的应力张量
对称张量
只有6个变量独立
应力张量的理解
应力张量与法向量方向无关，仅表示给定点的应力状态
应力张量9个变量，是2阶应力张量，是对称张量，6个变量独立
已知一点3个垂直面上的6个量，可知该点任意方向的应力
应力张量和坐标系无关，各量是空间和时间的函数
静止流体的应力张量
理想无粘流体的应力张量
表面张力与毛细现象(液体的表面性质)
在出现液体和气体，液体与固体的交界面时，液体的表面性质必须考虑
表面张力
表面张力位于界面的切平面内并和分割线垂直
表面张力系数
与界面两侧的介质有关
水银与空气界面上的表面张力系数大于水与空气界面上的表面张力系数
通常表面张力系数随着温度的升高而减小
公式推导
公式理解
球形气泡内外存在压差
压差与表面张力系数以及形状大小有关
气泡越小，内外压差越大
当气泡平衡时，气泡内的压强大于气泡外的液体压强
对于纯液滴(或水中气泡)来说 只有一层气-液球形界面
对于球形肥皂泡来说 有两层气-液球形界面
毛细现象
内聚力与附着力
内聚力
液体内部分子的吸引力
附着力
液体与固体之间的引力
内聚力>附着力
疏水
hydrophobic
超疏水
接触角大于150°
内聚力<附着力
亲水
hydrophilic
接触角
毛细现象液面升起高度
表面张力与重力平衡
公式
液面升起高度与表面张力系数，接触角，液体密度，毛细管直径有关
毛细管直径越细，液面升起高度越高
复习向量和张量知识
爱因斯坦求和符号
向量基本运算
叉积
点积
二阶张量
Hamilton算子▽
物理量的梯度
物理量的散度
物理量的旋度
拉普拉斯算子
推广Gauss定理、Stokes定理
Taylor级数展开
一元函数
多元函数
各正交曲线坐标系下的 Hamilton算子、梯度、 散度、旋度及Laplace算子的表达式
直角坐标系
柱坐标系
球坐标系
流体运动学基础
描述流体运动的两种分析方法
拉格朗日描述法
以流体质点或流体微团为分析对象
实质
选定和追踪某一流体质点
描述该质点的空间位置、速度、压力等物理量随时间的变化
标记（区别）质点
在t0时刻所处的空间位置（a，b，c）
质点和位置一一对应
物理量
表示某一流体质点所具有物理量随时间的变化
全体质点的轨迹位置方程
速度求1阶导数，加速度求2阶导数
欧拉描述法
以空间位置为研究和描述对象
选定空间中的某一点
描述某空间点处的物理量随时间的变化
类似场的概念
标记空间点
空间坐标
表示某空间点处的物理量随时间的变化
不同时刻由不同的流体质点占据，某时刻空间点上的物理量，就是该时刻占据在该点的流体质点的物理量
L-E变换
情形1
已知拉格朗日位移描述式，求欧拉速度场
方法
先求导得到拉格朗日速度描述式
为了消除上式中的a，b，c， 需要用拉格朗日位移描述式进行反演， 即用x，y，z表示a，b，c
代入拉格朗日速度表达式， 得到欧拉速度场表达式
情形2
已知拉格朗日速度描述式，求欧拉速度场
先积分得到拉格朗日位移描述式，按照初始条件确定积分常数
反演拉格朗日位移描述式， 用x，y，z表示a，b，c
拉格朗日位移表达式和速度表达式必须都要知道， 不知道时，通过求导和积分的方法算出来，然后通过反演 消除拉格朗日变量a，b，c，得到欧拉速度场
E-L变换
已知欧拉速度场，求拉格朗日位移描述式
将速度场表达式转化为常微分方程，解常微分方程
根据初始条件确定积分常数，得到拉格朗日位移表达式
已知欧拉速度场，求拉格朗日速度描述式
直接求导或者将拉格朗日位移表达式代入欧拉速度场中， 得到拉格朗日速度表达式
欧拉速度场公式本身就是一组常微分方程，解方程然后根据初始条件 确定积分常数后，就会得到拉格朗日位移表达式，位移表达式求导或者 代入欧拉速度场中就会得到拉格朗日速度表达式
流场的几何描述
定常流场和非定常流场 一定换算成欧拉表达式
定常
在空间的分布有梯度，但空间分布不随时间变化
判断是否定常
Euler速度场表达式中是否含有t
质点加速度公式和质点导数 欧拉法下的公式
质点加速度公式
第一项
局部导数，因流场的非定常性产生的
第二项
对流导数或迁移导数，因速度场不均匀性产生的
需要实现知道该质点的速度u，v，w
质点导数
在Lagrangrian场下，质点导数就是质点物理量本身对时间的变化率
在Euler场下，求质点导数，关键在于追踪到质点的在下一时刻的坐标
在Euler场下，计算t时刻位于空间点x，y，z质点的物理量对时间的变化率
定常性的理解
空间点上的速度不随时间变化
但速度在孔家分布不均匀，存在梯度
质点在空间移动时有加速度
另外
若物理量空间分布均匀（没有梯度存在）
但空间各点随时间在变化，质点移动时，物理量也会随着时间变化
一维、二维与三维流动
三维流动
一般的流动
二维流动
平面流动；轴对称流动
一维流动
质点沿曲线的流动；流体沿管道的平均速度
迹线和流体线，流线和脉线
迹线
同一流体质点的运动轨迹
指定质点的运动过程
属于跟踪质点的Lagrangrian分析法下的表述
迹线方程
求出拉格朗日位移表达式即可
流体线
由同一组流体质点组成的线
流线
同一时刻，该曲线上各点的切线平行于该点的速度方向
给定瞬间的速度场状态
无数组不相交的空间曲线组成流线族，叫做流谱
一般情况下，同一时刻通过一点只有一根流线
同一时刻流场中的流线不能相交
除了速度为0的点
不同时刻流线谱可能会发生变化
如果欧拉速度场和时间无关，那么任何时刻 通过同一点的流线都将是相同的
流线方程 速度在欧拉场下表示
迹线和流线的理解和区分
迹线是同一质点在不同时刻的位移曲线
流线是同一时刻、不同质点连接起来的速度场向量
定常流动中，迹线、流线和脉线重合
流线不相交，因为速度方向只有一个。特例：驻点和奇点
流通量
单位时间内流经某一指定的面的流体量
脉线
通过空间固定点的流体质点的连线
流体微团运动分析
流体微团变形速率张量
线变形速率
体积膨胀速率
速度的散度就是体积膨胀速率
速度的散度为0，体积膨胀速率为0，不可压缩
但不代表没有线尺度变形，而是线变形总和为0
负值表示被压缩，正值表示膨胀变形
角变形速率
变形速率张量
流体微团转动的角速度
涡量
Helmholtz流体微团速度分解定理
微团上A点相对于O点的运动包含O点的平动，微团自身的线变形和角变形，以及相对于O点的旋转运动
有旋流动和无旋流动
有旋无旋判断
流体微团转动角速度
速度的旋度是否为零
涡量场及其性质
涡量分量
涡线方程
涡通量
同一时刻，涡管各截面处的涡管强度处处相等
几个判据
不可压
速度的散度=0，体积膨胀速率=0
欧拉速度场不显含t
无旋
有速度势
流体动力学-积分型基本方程
系统和控制体
作用在系统上的积分型基本守恒方程
质点导数和运输公式
作用在控制体上的积分型基本守恒方程
理想流体一维流动及Bernoulli方程
应用举例
流体静力学
Kutta-Joukowski升力定理及机翼理论
流体动力学-微分型基本方程
运动流体应力及阶应力张量
质量守恒-连续方程
动量方程-运动方程
能量方程
微分方程组的封闭性
粘性流体力学基础
粘性对流动的影响
Reynolds实验
层流
湍流
雷诺数
牛顿流体本构方程
粘性流体N-S方程
粘性流体动力学方程组的封闭性
粘性流体的基本性质
N-S方程有解析解的层流例子
湍流、时均N-S方程及管内湍流
边界层理论及绕流阻力
气体动力学基础
气体动力学基本方程
声速及小扰动在气体中的传播
气体定常一维等熵流动的主要性质
激波理论
正激波
斜激波
脱体激波
膨胀波——Prandtle-Meyer流动
变截面(收缩和Laval喷管)管内定常绝热流动
理想流体运动特性
理想流体基本方程和定解条件
Lamb方程的应用
Bernoulli方程
Cauchy-Lagrange定理
理想流体重要的性质
Kelvin定理
Lagrange定理
Helmholtz定理
无旋流动的势函数
平面不可压流动的流函数
平面不可压无旋流动基本方程
平面不可压无旋流动基本解
平面不可压无旋流动基本解的叠加流动
解不可压缩平面无旋流动问题的复变函数方法
