线代老师做的超全面的行列式导图

行列式的计算：常见类型、计算技巧、其它公式；克拉默法则；行列式的性质：行列互换，行列式不变、交换两行（列），行列式变号等。

第一章 行列式

• 排列
  • 定义
    • 排列定义
    • 逆序数定义
    • 奇偶排列定义
  • 性质
    • 对换改变排列的奇偶性
    • 奇偶各半
    • 奇排列化为偶排列的对换次数为奇数次； 偶排列化为偶排列的对换次数为偶数次.
• 定义
  • 行列式定义
  • 余子式和代数余子式的定义
  • 特殊行列式
    • 对角形行列式
    • 反对角形行列式
    • 对称行列式和反对称行列式
    • 上（下）三角形行列式
    • 范德蒙德行列式
• 行列式的性质
  • 行列互换，行列式不变
  • 交换两行（列），行列式变号.
  • 一行的公因子可以提出来
  • 行列式有两行（列）成比例，行列式为零.
  • 若某一行（列）可拆成两组数的和，则次行列式等于两个行列式的和.
  • 把一行的倍数加到另一行，行列式不变
  • 行列式按行（列）展开公式
  • 拉普拉斯定理
    • 定理内容
      • 行列式等于任意k行的所有k阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和.
    • 应用
      • 分块对角形行列式=主对角线上子块的行列式的乘积
      • 分块上（下）三角形行列式=主对角线上子块的行列式的乘积
      • 行列式乘法法则
• |A|=0的判定***
  • A不可逆
  • r(A)<n
  • Ax=0有非零解
  • A的行（列）向量组线性相关
  • 0是A的特征值
  • 反证法
• 克拉默法则
  • 定理
    • 条件
      • 方程个数和未知量个数相等
      • |A|≠0
    • 结论
  • 推论***
    • Ax=b有唯一解⇔|A|≠0，即r(A)=n
    • Ax=0有非零解⇔|A|=0，即r(A)<n
  • 注意
    • 多用于证明题
    • 计算量大，不适合求解大型线性方程组
• 行列式的计算
  • 方法
    • 行列式性质
    • 三角化
    • 递推
    • 数学归纳法
    • 定义
    • 公式
  • 常见类型
    • 爪形
    • 上（下）三角形
    • 分块上（下）三角形
    • 某行（列）有足够多的0
      • 按一行（列）展开
      • 按多行展开
    • 行（列）和相等
      • 各行（列）相加
    • 三对角形
      • 化为上三角形
    • 可化为范德蒙德行列式的类型
    • 代数余子式的求和
      • 某一行（或列）求和，构造新行列式
    • 求展开式中x的方幂的系数
  • 计算技巧
    • 按一（多）行（列）展开
    • 拆分法
    • 升阶法
    • 降阶公式
    • |AB|=|A||B|
  • 其它公式***
    • 若A与B相似，则|A|=|B|.