线性代数思维导图

线性代数思维导图，包含向量空间：极大无关组、线性关系、过渡矩阵；特征值和特征向量；二次型等内容进行分析。

向量空间

• 极大无关组
  • 定义
    • 无关:不过大 表出（即等价）：确定极大
  • 求法
    • 元素个数为r的无关部分组
      • 充要
    • 阶梯
      • 化为阶梯阵，秩不变 a****** b****** c*** →a=***,b=***,c=***。abc为非自由变量，所以无关； 而其他自由变量可由a、b、c表出。比如，a= dertuio,让除了d外的自由变量为1，即可表示d。
  • 性质定理
    • 存在性
      • 除0向量组都由极大无关组
    • 子主题
  • 秩
    • 性质定理
      • 相关r<，无关r=
      • i可由ii表出，ri<=rii
      • 0组r=0
      • r(ab)<=r(a)\r(b)<=r(a|b)<=r(a)+r(b)
      • r(a)=r(aT)=r(aaT)
• 线性关系
  • 线性相关
    • 判断法
      • 部分关，全部关
      • 充分条件：方阵|行列式|=0（可逆）
      • 被表出的向量组个数多，则关
      • n+1个n维组
  • 线性表出
    • 判断法
      • 单个向量
        • {α……}无关，{α……+β}相关，则β可由{α}表出
      • 向量组
        • 极大线性无关来表出
  • 线性无关
    • 性质定理
      • 添加仍无关
        • 无关n维向量组每个向量相同位置再分别添m个分量，则所得m+n维仍无关 即增加约束条件,当然更无关了
      • 被表出的无关个数少
    • 判断法
• 过渡矩阵
  • 定义
    • Rn的两组基，A、B满足A=BX则X为B到A的过渡矩阵
  • 求法：类似求逆矩阵
• 基和维数
  • 基
    • 定义
      • 线性无关生成集
  • 维数
    • 定义
      • 任一组基所含向量个数
  • 生成集，生成的集，子空间
    • 定义
  • Col Nul Row
    • 定义
      • 所有列向量，（Ax=0)的解向量，行向量构成的空间
    • rC=rR=r
• 线性方程组有解的条件
  • A为系数矩阵，m×n
    • Ax=0非零解
      • 充要条件
        • m×n中r<n
      • 基础解系
        • 定义
          • Ax=0的解空间的一组基
    • Ax=β
      • 唯一解
        • rA=n
      • 无穷解
        • rA<n
      • 有解
        • rA=r(A|β）