高数第一章函数与极限

高数第一章函数与极限的思维导图，函数：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数。

高数第一章：函数与极限

• 函数
  • 定义域
    • 分母≠零
    • 被开方式≥0
    • 真数＞0
  • 函数值
    • 初等函数
    • 分段函数
  • 对应关系
  • 性质
    • 周期性
      • 详解
        • 若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f (x)=f (x+T) 恒成立，则f (x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 备注： 函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f (x)的图像中，任意两点 (x，f (x))和 (x+T，f (x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。
      • 另：正弦函数和余弦函数的周期最小，正周期为2Π
    • 奇偶性
      • 详解
        • 如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数。
      • 另：若不满足奇函数和偶函数的定义，则此函数为非奇非偶函数
    • 单调性
    • 有界性
  • 初等函数
    • 基本初等函数
      • 常数函数
      • 幂函数
      • 对数函数
      • 对数函数
      • 指数函数
      • 三角函数
      • 反三角函数
    • 复合函数
      • 复合
      • 分解
      • 注：复合和分解都需要写到最基本的形式，即基本初等函数形式
    • 初等函数
• 连续
  • 概念
    • 函数值存在，极限存在，且二者相等
  • 间断点
    • 第一类
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类
      • 震荡间断点
      • 无穷间断点
  • 连续区间
    • 一切初等函数在其定义区间(包含在定义域内的区间)都是连续的 注:连续区间：定义区间（定义域）
• 极限
  • 概念
  • 运算
    • 通分
      • 根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分。 大白话：把俩分数的分母想办法变成一样的
    • 约分
      • 分数的分子和分母同时除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变
    • 抓大头
      • 当极限趋近于无穷时，找到分数内分子分母的最大幂函数，若相等，其前面的指数即可作为答案，若幂次项不等则答案为0
  • 重要极限
  • 无穷小
    • 概念
    • 性质
      • 1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
      • 2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
      • 3、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
      • 4、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
      • 5、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
      • 6、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
      • 7、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
    • 比较
      • 高阶无穷小
      • 低阶无穷小
      • 等价无穷小