2025沪科版八上数学全册知识点总结

这是一篇关于2025沪科版八上数学全册知识点总结的思维导图，介绍了平面直角坐标系上点的平移变换规律，包括向左、向右、向上、向下平移a个单位时坐标的变化情况，并给出口诀“点的平移左减右加，上加下减”。

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• 第十一章 平面直角坐标系
  • 1. 有序数对的定义： 有顺序的两个数a 与 b 组成的数对，叫做有序数对，记作 (a,b).
  • 2. 平面直角坐标系相关概念：
    • 1)平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系
    • 2)x 轴 、y 轴：水平的数轴叫做 x 轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做 y 轴或纵轴，通常取向上方向为正方向.
    • 3)原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
    • 4)坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面.
    • 5)象限： x 轴和y 轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆 时针顺序依次叫第二象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上 的点不属于任何象限.
  • 3. 点的坐标：对于坐标轴内任意一点A, 过点A 分别向x 轴 、y 轴作垂线，垂足在x 轴 、y 轴上的 对应的数a 、b 分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对 A(a,b) 叫做点A的坐标，记作A(a,b)
  • 4. 点的坐标特征(热考内容)
  • 5. 点的坐标变化
    • 对于平面直角坐标系上任意一点P(x,y)

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• 第十二章 函数与一次函数
  • 1. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
  • 2. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
  • 3. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y, 并且对于x 的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把 y称为因变量，y 是 x 的 函数.
  • 4. 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a, 函数对应的值为b, 那么b 叫做当自变量取 值为a 时的函数值.
  • 5. 函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.
  • 6. 函数的表示方法
  • 7. 正比例函数的定义：一般地，形如v=kx(k为常数， k≠0) 的函数，叫做正比例函数，其中k 叫 做比例系数.
  • 8. 一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数， k≠0) 的函数，叫做一次函数.
  • 9. 正比例函数的图像：正比例函数y=k(k≠0) 的图像是经过原 点 ( 0 , 0 ) 的一条直线.
  • 10.正比例函数的性质：
  • 11. 一次函数的图像：一次函数y=kx+b(k≠0) 的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b.
  • 12. 一次函数的性质：
  • 13. 一 次 函 数 与 一 元 一 次 方 程 ： 由 于 任 何 一 个 一 元 一 次 方 程 可 以 转 化 为 y=kx+b(k,b 是常数，k≠0) 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0 时，求自变量的值.
  • 14. 一次函数与二元一次方程组：一般地，二元一次方程mx+ny=p(m,n,p 是常数，且m≠0,n≠0) 都能写成y=ax+b(a,b 为常数，且a≠0)的形式，因此， 一个二元一次方程对应两个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，进一步可知， 一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线 .
  • 15. 一次函数与一元一次不等式：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b(a≠0) 的值大 于(或小于)0 的自变量x 的取值范围.

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• 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
  • 1.认识三角形
    • 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
    • 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C 的三角形记作“△ABC”, 读作“三角形ABC”, 字母的顺序可以自由安排，即△ABC,△ACB 等均为 同一个三角形.
  • 2. 三角形的分类
    • 三角形
      • 三角形按边分类
        • 三边都不相等的三角形
        • 等腰三角形
          • 底边和腰不相等的等腰三角形
          • 等边三角形
      • 三角形按角分类
        • 直角三角形
        • 斜 三 角 形
          • 锐角三角形
          • 钝角三角形
  • 3. 三角形的三边关系： 任意两边之差意两边之和. (理论依据： 两点之间线段最短)
  • 4. 三角形的高、中线、角平分线
  • 5. 三角形的内角和定理
    • 定理：三角形三个内角和等于180° .
    • 表达形式：在△ABC 中， ∠A+∠B+∠C=180°
    • 证明方法：
  • 6. 直角三角形的性质与判定
    • 1)性质：直角三角形的两个锐角互余.
    • 2)写法：直角三角形可以用符号 “Rt△” 表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
    • 3)判定：
      • ①文字表述：有两个角互余的三角形是直角三角形.
      • ②几何表述：在△ABC 中，如果 ∠A+∠B=90°, 那么△ABC 是直角三角形.
  • 7. 三角形的外角
    • 三角形外角的定义：三角形的一边与 另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 外角.
    • ∠1+∠2=∠3
    • 三角形的外角的性质
      • 1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
      • 2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360° .
  • 8. 常见模型及结论
  • 9.命题
    • 定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
    • 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
    • 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
  • 10.真命题、假命题
    • 【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈 述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个 命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a 的绝对值与b 的绝对值”不 是命题，这里没有对事物进行任何判断.
  • 11.逆命题
    • 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做 原命题的逆命题.
    • 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是 第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一 个命题就叫做它的逆命题.

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• 第十四章 全等三角形(含热考模型)
  • 1. 全等三角形的概念及性质
    • 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形.
    • 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等.
    • 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
    • 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对 应 边 ，互相重合的角叫做对应角.
    • 全等三角形的表示：全等用符号“≌”,读作“全 等 于”.
    • 确定全等三角形对应边，对应角的方法：
      • 1)在两个全等三角形中，最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角；
      • 2)公共角、对顶角必为对应角，公共边必为对应边；
      • 3)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边 是对应边；
      • 4)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
      • 5)根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角，如△ABE≌△ACD.则对应边是AB 与AC,BE 与 CD.AE 与 AD; 对应角是∠ABE 与∠ACD, ∠AEB 与∠ADC. ∠BAE 与∠CAD.
  • 2. 全等三角形的性质：
    • 1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.
    • 2)全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等.
    • 3)全等三角形的周长相等，面积相 等 (注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形).
  • 3. 三角形全等的判定
    • 1)边边边文字描述：三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”);
    • 2) 边角边文字描述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”);
    • 3)角边角文字描述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”);
    • 4) 角角边文字描述：两 角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可简写成“角 角边”或“AAS”);
    • 5) 斜边、直角边文字描述：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、 直角边”或“H”).
    • 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别 有三个元素(其中至少有一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边(角)准确地 确定要补充的边(角),有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
    • 【提问】判断以下两种情况能否判断全等，若不能请画图给出反例.
  • 4. 三角形全等的应用
    • 1)应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小
    • 2)应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测量长度的线段的长，例如测量河宽，隧道的长度、 小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形， 依据是全等三角形的对应边相等.

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• 第十五章 轴对称图形与等腰三角形
  • 1. 轴对称与轴对称图形
  • 2. 线段垂直平分线的定义：经过线段的中 点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平 分线(或线段的中垂线).
    • 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
    • 几何语言叙述：∵点P 在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB
    • 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上.
    • 几何语言叙述：∵PA=PB,∴ 点 P 在线段AB 的垂直平分线上
    • 小 结 ：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 .
    • 三角形垂直平分线的性质：
      • 1)三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等.
      • 2)三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心.
  • 3. 角平分线的性质与判定
    • 性质定理：
      • 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 .
      • 用符号语言表示为：∵∠1=∠2, PD⊥OA,PE⊥OB
        • ∴PD=PE
    • 判定定理：
      • 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
      • 用符号语言表示为：∵ PD⊥0A,PE⊥OB,PD=PE
        • ∴ ∠POD=∠POE
    • 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直” 这个条件，否则不能得到线段相等.
  • 4.等腰三角形的性质与判定
    • 等腰三角形性质：
      • 1)等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.
      • 2)等腰三角形的两个底角相等 (简称“等边对等角”).
      • 3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. (简称“三线合一”).
      • 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中 线.
    • 等腰三角形的判定：
      • 1)定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；
      • 2)定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等(简称“等角对等 边”).
  • 5.等边三角形的性质与判定
    • 等边三角形的性质：
      • 1)等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
      • 2)等边三角形的三条边相等；
      • 3)三个内角都相等，并且每个内角都是 60°
    • 等边三角形的判定：
      • 1 ) 定 义 法 ：三边相等的三角形是等边三角形；
      • 2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
      • 3)有 一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.