高数第一章笔记

本导图汇总了高数第一章的知识点，包括映射与函数、数列的极限、函数的极限、无穷大与无穷小、极限运算法则、极限存在准则等。

高等数学

• 第一章 函数与极限
  • • 第一节 映射与函数
      • 映射:设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f,使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称 f为从X到Y的映射，记作 f:X→Y，其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x)，即 y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df，既Df=X；X中所有元素的像组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或者f(x),即 Rf=f(x)=｛f(x)｜x∈ X｝.
      • 函数:设数集D⊂R，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x),x∈D,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df=D.
        • 有界性
        • 单调性
        • 奇偶性
        • 周期性
        • 表示方法:表格法，图形法，解析法
    • 第二节 数列的极限
      • 对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N 时，[xn-al<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
        • 数列收敛则极限唯一
        • 数列收敛必有界
        • 收敛数列有保号性
    • 第三节 函数的极限
      • 自变量趋于有限值时函数极限:设函数y=f（x）在点X0的某个去心邻域中有定义，如果存在实数A，对于任意给定的ε>0，都可以找到δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，成立│f（x）-A│<ε ,则称数A为函数f(x)当x→X0时的极限，记作f（x）→A(x→X0)。
      • 自变量趋于无穷时函数极限:如果存在实数A，对于任意给定的ε>0，都可以找到X>0，使得当|x|>X时，成立│f（x）-A│<ε ,则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f（x）→A(x→+∞)。
      • 函数极限的性质:极限存在则唯一；函数极限局部有界性；函数极限局部保号性
    • 第四节 无穷大与无穷小
      • 无穷大:设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。
      • 无穷小:当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
      • 在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。
    • 第五节 极限运算法则
      • 两个无穷小的和也是无穷小
        • 推论:有限个无穷小的和也是无穷小
      • 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小
        • 推论: 常数与无穷小的乘积也是无穷小 推论: 有限个无穷小的乘积也是无穷小 无限多个无穷小的乘积不一定是无穷小
      • 如果 limf(x)= A,limg(x)=B,那么 (1) lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)=A+B; (2) lim[f(x)・g(x)]=limf(x)*limg(x)=A·B; (3)若又有 B≠0,则 lim［f(x)/g(x)]_=limf(x)/limg(x) =A/B (对数列也有此定理)
      • 如果f(x)>g(x),而limf(x)=A,limg(x)=B,那么A>B
      • 若lim(x→X0)g(x)=u,lim(u→u0)f(u)=A,则lim(x→X0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)=A
    • 第六节 极限存在准则
      • 夹逼准则
      • 单调有界数列必有极限
      • 柯西极限存在准则:数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N,m>N时有 |xn-xm|<ε
    • 第七节 无穷小的比较
      • (1)若limβ/α =0，就说β是比α 高阶的无穷小，记为β=o(α ) (2)若limβ/α=∞，，就说β是比α 低阶的无穷小； (3)若limβ/α=C ≠0，，就说β是比α 同阶的无穷小； (4)若limβ/α= 1，就说β与α 是等价无穷小，记为α ~β。
    • 第八节 函数的连续性和间断点
      • 函数连续点:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有 lim(x→x0) f(x)=f(x0)，则称函数在点x0处连续，且称 x0为函数的的连续点。
      • 函数的间断点:该点处左右极限不均存在或左右极限不相等
        • 第一类间断点（左右极限都存在: 1跳跃间断点 间断点两侧函数的极限不相等 2可去间断点 间断点两侧函数的极限存在且相等 函数在该点无意义
        • 第二类间断点（非第一类间断点): 1振荡间断点 函数在该点处在某两个值比如-1和+1之间来回振荡 2无穷间断点 函数在该点极限不存在趋于无穷
    • 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
      • 连续函数的和差、商积都在其共同的连续点上是连续的
      • 单调连续函数的反函数也同样单调且连续
      • 复合函数的内层函数在x=x0处连续，且f(x0)=u0,则lim(x趋于x0)f[g(x)]=lim(u趋于u0)f(u)=f(u0)
    • 第十节 闭区间上连续函数的性质
      • 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
      • 零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。
      • 介值定理:如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
      • 一致连续性定理:某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x'和x"，当满足|x'-x"|<δ时，|f(x')-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。