线性代数第一章 矩阵

矩阵及其运算的思维导图，包括矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的分块、方阵的行列式、可逆矩阵等，并列举了一些考研题型。

矩阵

• 矩阵的概念
  • 由m乘以n个数aij排成m行n列的数表，称为m行n列矩阵，这m乘以n个数称为矩阵A的元素，aij称为矩阵A的第i行第j列元素
  • 当行数m与列数n相等时，A称为n阶方阵，只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵，两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵，元素都是零的矩阵称为零矩阵，不同型的零矩阵是不同的
  • 主对角线上的元素都是1，其他元素都是0的n阶方阵称为单位矩阵，不在主对角线上的元素都是0的n阶方阵称为对角阵，位于主对角线下方的元素都是零的方阵称为上三角形矩阵
• 矩阵的运算
  • 两个m行n列矩阵对应元素相加得到的m行n列矩阵称为矩阵A和矩阵B的和，记为A+B A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
  • 以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数λ与矩阵A的积 （λμ）A=A（λμ） （λ+μ）A=λA+μA λ（A+B）=λA+λB
  • 矩阵与矩阵相乘，乘积的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行与右矩阵第j列元素对应元素乘积的和 (AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC λ(AB)=(λA)B=A(λB)
  • 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记为AT，设A为n阶方阵，如果AT=A，那么称A为对称矩阵，如果n阶方阵满足AT=-A，那么称A 为反对称矩阵，主对角线元素为0，其余元素以主对角线为对称轴对应是相反数
  • 由n阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式，记为∣A∣或detA
• 逆矩阵
  • 对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=E，则称方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵 若方阵A可逆，则∣A∣≠0 若∣A∣≠0，则方阵A可逆，且A-1等于A*/∣A∣，其中A*为方阵A的伴随阵
• 分块矩阵
  • 将矩阵A用若干纵线横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵，详细性质见课本44页