高数

高数第一章思维导图，主要内容有函数的概念、函数的特性、初等函数、分段函数和反函数。

函数、极限与连续

函数

函数的概念

在某一个变化过程中存在两个变量，X和y，存在两个非空集合，一个非空集合的。每一个X值都有，唯一与之对应的y值在另一个集合中可以找到。

说明： X称为自变量，Y称为因变量； X的取值范围称为定义域，用大D表示，Y的取值范围称为函数的值域，通常用R表示，记R={y|y=f(x)|,x∈D}

函数的特性

单调性。

在函数f(x)的定义域D中，某一个子区间I中任取两个值。 X1和X2。当x1小于X2时。有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),则称函数F(x)在区间i上是单调递增的或是单调递减的。

例如函数sin X在。负的二分之派到二分之派上为单调递增函数，在二分之派到3/2派上为单调递减函数。

奇偶性

设函数FX的定义域为D，对于D中的任意点x也有-x，二者在定义域中，若满足f(-x)=f(x)则为偶函数，若f(-x)=-f(x)则为奇函数

例如， Y=X的平方是偶函数，Y=sinX是奇函数， Y=tan X是非奇非偶函数。

周期性

设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意一点xD，f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)在D上为周期函数(periodic function)，T称为f(x)的周期.通常所说的周期是指最小正周期.

如sinx、cosx均为周期函数，它们的最小正周期为2元；tanz、cotx也是周期函数，它们的最小正周期为π

有界性

局部性质，

设函数y=f(x的 义域为D，如果存在一个正数M，使得对于D中某一个子区间任意一点x，总有|f(x)|＜M(即-M＜f(x)＜M)，则称函数f(x)在I上是有界的函数(bounded function)，否则是无界的函数(unbounded function).

如sinx、cosx对区间(一00，+)上任意一点x，存在M=1，使得|sinx|＜M，|cosx|＜M，所以它们在区间(一0，+)上都是有界函数.lgx在区间(0，+)上为无界函数，因为找不到那样一个正数M，使|lgx|＜M成立. 一个函数有界还是无界，必须指明所考虑的区间，因为同一个函数在某个区间上可能是有界的，但在另一个区间上却可能是无界的.如f(z)=在开区间(0，1)上是无界函数，但在闭区间[1，2]上却是有界

初等函数

基本初等函数

共有6种，常函数，指数函数，幂函数，对数函数三角函数，反三角函数

复合函数

设函数y=f(u)和 f(u)的定义域内，则称 y=f[9(x) termediate variable)u而构成x的 中x为自变量，简称函数y=f[q(.x 如y=lgu，u=x-1在x>1时 u o(x)，且u= (x)的 是由这两个函数经过中 复合函数（compound fu )]是x的复合函数.

分段函数和反函数。

分段函数

在定义域内不同的区间上,由不同解析式所表示的函数称为分段函数，如符号函数是周期函数 1,x>0 1 y=sin.x= 0, x=0 (-1, x<0是分段函数.分段函数通常不是初等函数，不过，在不同段内的表达式，通常由初等函数表示

反函数

设函数Y=F(x)的定义域D值域为R。对于任意一个y∈D使f(x)=y成立，x和y的对应关系在R上定义了一个新函数称为y=f(x)的反函数

例如y=a"(a＞0，a=1)在定义域(一0，+)上是单调函数，它的值域是(0，+)，所以它的反函数x=logay存在，其定义域是(0，+o)，即y(0，+0)，值域是(一0，+0).一般习惯上自变量用x表示，因变量用y来表示，这时y=f(x)的反函数x=f1(y)就可以写成y=f(x).如函数y=a"的反函数一般不写成x=logay，习惯上写成y=logax.

函数与反函数二者之间的关系：关于y=x这条直线对称。

函数的极限

数列函数

当自变量按正整数1，2,3…依次顺序增大时，函数值按一定的法则排列的一列数 X1,X2,Xn称为数列，记为数列{ Xn}数列是以全体正整数集为定义的一种特殊的函数。

帝国主义

封建主义

官僚资本主义

对于数列xn如果当n无限增大时对应的xn无限接近某一个确定的常数A,则A为数列 Xn的极限,或称数列 Xn收敛于A。记为Xn→A(n→∞)否则称数列Xn发散。

函数极限

定义

函数的变化与自变量的变化有关。注意，谁在变，怎么变

自变量变化的情况。

自变量用X来表示，X趋近于无穷大时。

X趋于正无穷大时。

X趋近于负无穷大时。

自变量用X来表示,X趋近于某一个数值X0时

X趋近于X0的左极限

X趋近于X0的右极限

函数的左右极限统称为单侧极限

无穷小量

定义

如果 limf(x)=0，则称f(x)为x→xo(或x→0)时的无穷小量(infinitesimal)，简称无穷小，此时也称函数f(x)收敛 于零.(以零为极限的函数称为无穷小量)

无穷小量与自变量的变化过程有关

无穷小量定理。

【定理 1】 在自变量的同一变化过程x→xo(或x→)中lim f(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+a(x)，其中lim a(x)=0.20 (或)(或：→00) 定理1说明f(x)以A为极限与f(x)-A为无穷小量是等价的同时也说明极限与无穷小量之间相互转化的关系.

定理2】有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量. 如x→0时，x和sinx都是无穷小量，根据定理2知道，x→0时，x土sinx仍为无穷小量. 【定理3】有界函数与无穷小量乘积仍为无穷小量. 如x→时，一是无穷小量，arctanx是有界函数，根据定理3，当 x→时，一arctanx为无穷小量.

【推论1】 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量. 【推论2】无穷小量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。如x→0时，x及sinx为无穷小量，根据推论2，当x→0日sinx仍为无穷小量

无穷大量

如果当x→x。(或)时，对应的|f(x)|无限增大(即limf(x)=0)，则称f(x)为x→xo(或x→00)时的无穷大量

如x→0时，一、sinx郁是无分大量；x→十0时，lgx为无穷大量；

极限四则运算及两个重要的极限

推论：

【推论3】lim[C·f(x)]=C·limf(x)=C·A，其中C是常数 【推论4】lim[f(x)]”=[limf(x)]”=A”，其中n是正整数. 定理4及其推论3、推论4中lim指的是lim或lim.

两个重要极限

limSin.x =1 .x→0

limx→∞(1+1/x)ⁿ=e

无限小量的比较。

1)如果lim3(x)/a(x)=0，则称(x)是比α(x)较高阶的无穷记为3(x)=0(a(x))； (2)如果lim3(x)/a(x)=0，则称β(x)是比α(x)较低阶的穷小； (3)如果lim3(x)/a(x)=c(c+0，1，c为常数)，则称(x)与是同阶无穷小，特别当(=1时，称(x)与α(x)是等价无穷小，记 3(x)~a(x).

函数的连续性

函数连续性的概念。

设函数y=f(x)在点x。的某一个邻域内有定义，当自变量由点3变到另一点x时，称x一x。值为自变量的增量，记为 r= 相应地函数从f(xo)变到f(x)[或f(xo+△x)]，函数值之差ff(z)值称为函数的增量，记为△y=f(x)-f(xo)=f(xo).

设函数y=f(x)在x。点的某一个邻域内有定义，若当x一0时，函数f(2)的极限存在且等于f(zs)，即limf(x)=f(xo)，则称函数f(x)在点x连续

间断点

定义：如果函数Y=f(x)在点X0处不连续，则称X0为函数的间断点

间断点条件：

① f(x)的X0点定义。

② f(x)在x0点有定义，但x趋近于x0时，f(x)不存在

③函数f(x)在X0有定义,且X接近于X0时，f(x)存在，但当x趋近x0时，f(x)不等于f(x0)。

初等函数的连续性

极限符号和函数符号可以交换位置；一切基本数的函数在其定域内是连续的。

闭区间上连续函数的性质

子主题