考研线性代数

考研线性代数 李永乐零基础 、基础、强化，汤家凤基础课吐血整理。主要内容有：第一章行列式、第二章矩阵、第三章向量、第四章线性方程组、第五章特征值和特征向量、第六章二次型。每一章的应用部分是常见题型的思路

线性代数

• 第一章 行列式
  • 概念
    • 一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项）
    • 排列
      • n个数组成的有序数组
      • 逆序
        • 大的数排在小的数前面，这两个数构成一个逆序
      • 逆序数
        • 一个排列中逆序的总和
      • 偶排列/奇排列
        • 逆序数是偶/奇数的排列
    • 对角线法
      • 只能用在三阶以下
  • 性质
    • 转置值不变
    • 行（列）互换值变号
    • 提取行（列）公因子k
      • 某行（列）元素全为0，行列式的值为0 两行（列）元素成比例，行列式的值为0
    • 将是两个元素之和的行（列）拆成两个行列知之和
    • 行间倍加值不变
  • 展开式
    • 余子式
      • 划去某元素所在的行和列，剩下的元素构成的行列式，记Mij
    • 代数余子式
    • 定理
      • n阶行列式等于任一行（列）元素与对应Aij乘积之和
      • 行列式任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0
    • 特殊行列式
      • 上三角、下三角
      • 副对角矩阵
      • 拉普拉斯展开式
      • 范德蒙行列式
  • 克拉默法则
    • 非齐次线性方程组
      • • |Ai|为|A|中第i列元素替换成方程组右端的常数项构成的行列式
    • 齐次线性方程组
      • |A|!=0是方程组有唯一零解的充要条件
      • 有非零解，充要条件是|A|=0
  • 应用
    • 计算
      • 计算带λ行列式要点
        • 消去1个λ的同时要出现关于λ的公因式
      • 具体矩阵
        • 0多
          • 直接展开（两头非零，中间为零的较易算）
          • 化成拉普拉斯
        • 第一行（列）的k倍加到第i行
        • 每行（列）都加到第一行（列）
        • 逐行（列）相加
        • 爪型的可用主对角线元素化其为三角阵
      • 抽象矩阵
        • 行列式性质
        • 矩阵性质（恒等变形）
        • 特征值：|A|=∏λi
        • E可写成任意矩阵与其逆阵相乘，而|A+B|无公式。考虑
    • 证|A|=0
      • Ax=0有非零解
      • 反证法
      • r(A)<n
      • 0是A的特征值
      • |A|=-|A|
      • A不可逆
• 第二章 矩阵
  • 概念
    • 矩阵是一个表格，A=O与|A|=0不同！ 当A!=O时，|A|=0或!=0皆可能
    • 是一个表格。m行n列称为m*n矩阵
    • n阶方阵
      • m=n
      • 对应的行列式记作|A|或detA
    • 同型矩阵
      • 行列数相同的矩阵
    • 相等矩阵
      • 两个同型矩阵的对应元素相等，称A与B相等，记A=B
    • 矩阵多项式
  • 常见矩阵
    • 零矩阵
      • 所有元素都为0
    • 单位矩阵
      • 记En，矩阵乘单位矩阵等于其本身
    • 数量阵
      • 数k与单位阵E的乘积
    • 对角矩阵
      • 对角线元素也可能为0
    • 上（下）三角阵
      • 上（下）三角元素为0
    • 对称阵
      • 原矩阵=转置阵
    • 反对称阵
      • 原矩阵=-转置阵，aii=0
    • 向量
  • 运算
    • 加减
      • 交换律：A+B=B+A 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C,A+O=O+A=A，A+(-A)=O
    • 数乘
      • k(mA)=m(kA)=(km)A （k+m)A=kA+mA k(A+B)=kA+kB 1*A=A，0*A=O
    • 矩阵乘
      • 无交换律：一般AB!=BA。AB=O不能推出A=O或B=O 无消去律：AB=AC且A!=O不能推出B=C
      • (AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA AE=EA=A OA=AO=O (kA)(lB)=klAB
      • 条件
        • 左列数=右行数
      • 方法
        • 左行*右列
      • 结果
        • 左行数*右列数
    • 转置
      • 方法：行列互换
  • 伴随、可逆矩阵
    • 定义
      • 伴随矩阵
      • 可逆矩阵
        • 若n阶矩阵A、B，有AB=BA=E成立，称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，记
    • 运算
    • 定理
      • 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
      • A可逆<=>|A|!=0
      • A、B为n阶且AB=E，则BA=E
    • n阶阵A可逆<=>
      • 存在n阶阵B，使AB=E（或BA=E）
      • |A|!=0
      • 秩r(A)=n
      • A的列（行）向量线性无关
      • 齐次方程组Ax=0只有零解
      • ∀b，非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解
      • 矩阵A的特征值全不为0
      • A与单位矩阵等价
      • A=P1P2...Ps,Pi是初等矩阵
    • 秩
  • 初等变换
    • 初等变换
      • 倍乘
      • 互换
      • 倍加
    • 初等矩阵
      • 单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵
      • 倍乘初等矩阵
        • 逆矩阵：对应元素取倒数
      • 互换初等矩阵
        • 逆矩阵：不变
      • 倍加初等矩阵
        • 逆矩阵：对应元素取反
    • 等价矩阵
      • 等价的充要条件是存在可逆阵P、Q，使PAQ=B
    • 性质
      • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
      • 初等矩阵均是可逆阵，其逆矩阵仍是初等矩阵
      • 用初等矩阵P左乘（右乘）A，相当于对A做相应的初等行（列）变换
    • 定理
      • A可逆的充要条件是能表示成一些初等矩阵的乘积
    • 行阶梯矩阵
      • 零行在底部，非零行主元在上一行主元右边
    • 行最简矩阵
      • 行阶梯矩阵，非零行主元为1，且其所在列其他元素均为0
  • 分块矩阵
    • 运算
  • 应用
    • 给出AB=O，两个思路
      • B的列向量是Ax=0的解
      • r(A)+r(B)<=n
    • 给出AB=C
      • 对B和C分行：AB的行向量可由B的行向量线性表出
      • 对A和C分列：AB的列向量可由A的列向量线性表出
    • 证可逆
      • |A|!=0
      • r(A)=n
      • 特征值
      • 反证法
    • 求逆矩阵
      • 公式法
      • 初等变换
      • 定义法
        • 使AB=E或BA=E，则A可逆，且A的逆=B
      • 分块矩阵
    • 分块矩阵
      • 分行：求向量，秩
      • 分列：求方程组解
      • 分块：求AB，A^n，A^-1
    • 求A^n
      • 一次方，二次方递推找规律
      • 若r(A)=1，则A可分解成列向量和行向量的乘积，从而A^n=a^(n-1)A，a=对角线之和
      • 拆成E+A`，然后用
      • 分块
    • 求秩
      • 找r(A)>=a,r(A)<=a
    • 向量空间
      • 求过渡矩阵
        • 直接写系数 βi=k1α1+…knαn ,…, βn=…
        • 公式B=AC
      • 坐标变换
• 第三章 向量
  • 概念
    • 向量
      • n个数a1,...an组成的有序数组称为n维向量。α=（a1,...an)^T。 a1,...an称为向量的分量（坐标），有列向量和行向量
      • 零向量0=(0,...,0)^T
      • 相等
        • α=β<=>α，β同维，且对应分量相等
    • 向量组
      • 若干个同维的行（列）向量组成的集合
      • 部分组：向量组的部分向量
      • 整体组：向量组的全部向量
    • β可由α1,...,αm线性表出
      • 具有传递性
    • 线性相关和线性无关
      • ①含有零向量，相等向量，成比例向量的向量组相关。单个向量时，零向量是相关的 ②(1,0)(0,1)无关。不成比例的向量无关
      • 存在不全为零的k1,...,km，使k1α1+...+kmαm=0成立， 称α1,...,αm线性相关，否则称为线性无关
  • 运算
    • 加法
    • 数乘
  • 定理
    • n+1个n维向量必相关
    • 部分组相关=>整体组相关，整体组无关=>部分组无关；原组无关=>延伸组无关，原组相关=>缩短组相关
    • ①组(I)可由组(II)线性表出=>r(I)<=r(II) ②(I)(II)等价=>r(I)=r(II)
    • 特征值不同=>特征向量无关
    • 三秩相等：A的秩=r的行秩=r的列秩
    • 经初等变换矩阵的秩不变
  • 向量组、矩阵的秩
    • 极大线性无关组（I）
      • 不唯一，但向量个数一样。零向量没有极大线性无关组
      • （I）是向量组（II）的部分组
      • （I）无关
      • （II）中任一向量均可由（I）线性表示
        • 等价于（I）中加入任一（II）中向量就相关
    • 等价向量组
      • 两向量组可相互线性表示
    • 向量组的秩
      • 极大无关组的向量个数，记r(a1,a2,...,as)
    • 矩阵的秩
      • 矩阵A存在r阶子式!=0，r阶以上子式均=0，则称A的秩为r，记r(A)
        • r阶子式：在矩阵A中任取r行r列，交点元素按原顺序构成的行列式。
      • r(A)=r <=> A中非0子式的最高阶为r
      • r(A)<r <=>A中每个r阶子式=0
      • r(A)>=r <=>A中有r阶子式!=0
      • 若A为n阶，r(A)=n<=>|A|!=0<=>A可逆，r(A)<n<=>|A|=0<=>A不可逆
      • 若A为m*n阶，则r(A)<=min(m,n)
  • 正交
    • 概念
      • 内积
      • 模
      • 单位向量
        • 模=1的向量
      • 两向量夹角的余弦
      • 正交
        • (α,β)=0时，称α与β正交
      • 柯西不等式
      • 两两正交的非0向量线性无关
    • 性质
      • 对称性
        • (α,β)=(β,α)
      • 线性性
        • λ(α,β)=(λα,β)=(α,λβ)
        • (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)
      • 正定性
        • (α,α)>=0，等号成立当且仅当α=0
    • 施密特正交
      • 正交化
      • 标准化
    • 正交矩阵
      • 定义
      • 定理
        • A是正交矩阵=>|A|=+-1
  • 应用
    • 证无关
      • 定义法
        • 设k1α1+...+knαn=0，证k1=0,...,kn=0
          • 乘
            • 直接乘，乘完式子变短
            • 乘完与原式相加减，变短
          • 拆括号重组
      • 秩
        • (α1,...αs)x=0有仅有零解=>r(α1,...αs)=s
        • 方法
          • 三秩相等
          • 秩的公式
      • 反证法
    • 给出AB=O
      • B的列向量是Ax=0的解
      • r(A)+r(B)≤n
    • 证相关
      • [α1,...,αs]x=0有非零解
      • r(α1,...αs)<s
      • αi可由组内其他向量表示
      • 多数向量能用少数向量表示
      • n+1个n维向量
      • |A|=0
      • 分量成比例
    • 证线性表出
      • 证对应的k!=0
      • 反证法
    • 证向量组等价
      • r(I)=r(II)=r(I,II)
      • 可互相表出
        • 几个一起算，不要分开算
• 第四章 线性方程组
  • 概念
    • 零解
      • 齐次方程组必有零解
      • x1=0,x2=0,...xn=0
    • 非零解
      • 除了零解的所有解
    • 基础解系
      • ①线性无关的解向量个数 ②未知数中自由变量的个数
      • t=n-r(A)
      • η1,η2,..ηt是Ax=0的解
      • η1,η2,...,ηt线性无关
      • Ax=0的任一个解η都可由η1,η2,...,ηt线性表出
      • 称η1,η2,...ηt为Ax=0的一个基础解系
  • 求方程组的解（同解变形）
    • 同解变形对应矩阵的初等行变换
    • 两个方程互换位置
    • 用非零常数乘方程的两端
    • 把某个方程的k倍加到另一个方程上
  • 定理
    • • m<n时，Ax=0必有非零解
      • m=n时，Ax=0有非零解<=>|A|=0
    • Ax=0的基础解系由n-r(A)个解向量构成
    • 若η1,η1,...,ηt是Ax=0的基础解系，则其通解是k1η1+k2η2+...+ktηt
    • 解的性质
      • 若η1,η1,...,ηt是Ax=0的解，则有k1η1+k2η2+...+ktηt仍是其解
      • ξ1,ξ2是Ax=b的解=>ξ1－ξ2是Ax=0的解
      • ξ是Ax=b的解，η是Ax=0的解=>ξ+kη是Ax=b的解
  • 应用
    • 具体
      • 行变换
      • 讨论参数
    • 抽象
      • 秩
      • 解的结构
      • 推理分析
    • 齐次解
      • n-r(A)=基础解系
    • 非齐解
      • 有解判定，解的结构
    • 公共解
      • 两个解集合的交集
      • 给出两个方程组，直接联立求解
      • 给出一个方程组和另一个方程组的基础解系，求出基础解系，则公共解可由两组基础解系表出，联立
    • 同解
      • 两个解集合完全相等
      • 同解⇒秩r(A)=r(B)
• 第五章 特征值和特征向量
  • 特征值和特征向量
    • 定义
      • Aα=λα，α!=0
    • 定理
      • αs=k1α1+...ktαt!=0仍是A属于λ的特征向量
      • 不同特征值对应的特征向量线性无关
      • 若n阶阵有n个不同的特征值
        • λ0有无数个特征向量，λ0对应的线性无关的特征向量为（λE-A)X=0的基础解系
  • 相似矩阵
    • 定义
      • A,B为n阶矩阵，P为可逆阵。若P^-1AP=B，则称B是A的相似矩阵，记
      • 若A与对角阵相似，称A可相似对角化，对角阵为A的相似标准形
    • 性质
      • 反身性
        • A～B
      • 对称性
      • 传递性
    • 相似必要性
      • 特征多项式相同，即|λE-A|=|λE－B|
      • r(A+kE)=r(B+kE)
      • A,B有相同的特征值
      • f(A)α=f(λ)α
    • A可逆 =>
    • 定理
      • n阶阵A可对角化<=>A有n个线性无关的特征向量
      • n阶阵A有n个不同的特征值=>A可对角化
      • n阶阵A可对角化<=>A的每个特征值对应的特征向量数为该特征值的重数
  • 实对称矩阵
    • 定义
      • A^T=A
    • 定理
      • 必可相似对角化
      • 不同特征值的特征向量相互正交
      • 必存在正交阵Q，使Q^-1AQ=Q^TAQ=对角阵
      • 特征值皆为实数
      • k重特征值必有k个线性无关的特征向量
    • （λ_1E-A)X=0=>ξ_1,...,ξ_s线性无关
    • (λ_2E-A)X=0=>η_1,..η_t线性无关
    • 且ξ_1,...,ξ_s,η_1,..η_t也线性无关
  • 应用
    • 求特征值
      • 定义
      • |λE-A|=0
      • 相似
      • 上，下三角，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素
      • a11+...ann=λ1+...λn
      • r(A)=1时，A的特征值为λ1=a11+a22+a33+...+ann,λ2=λ3=0
      • Aλ=0=>特征值=0，特征向量=λ
      • r(A)<n=>|0E-A|=0=>λ=0
      • 解题要点
        • λ1!=λ2=>α1+α2不是A的特征向量
        • A(kα)=kAα=k(λα)=λ(kα)
        • (A+kE)α=(λ+k)α
        • A^nα=λ^nα(α!=0)
        • A(β1,...,βs)=(Aβ1,...,Aβs)
    • 求特征向量
      • 若已知实对称阵两个特征向量，可用正交性求第三个特征向量
    • 证相似
      • 定义
      • 特征值相等
      • 找中介（对角阵），利用传递性
      • 证有n个无关的向量
    • 证不相似
      • 相似必要性
      • A可对角化，B不可对角化
    • 求A的n次方
      • 变换成对角阵的相似，求对角阵的n次方
    • 对角化
      • <=>
        • A有n个线性无关的特征向量
        • k重特征值必有k个线性无关的特征向量
      • =>
        • A有n个不同的特征值
        • A是实对称矩阵
    • 求相似矩阵
      • 求特征值
      • 求特征向量
      • 把特征向量构成可逆阵P
    • 求实对称矩阵
      • 求特征值
      • 求特征向量
      • 特征向量正交化
      • 特征向量单位化
      • 若求出的特征向量已正交化或单位化，则不用处理
      • 把特征向量构成正交阵Q
• 第六章 二次型
  • 定义
    • 每一项中的未知数的数量都是2。如
    • 含有n个未知数（变量）称为n元实二次型
    • 平方项
      • 变量相同的项
    • 混合项
      • 变量不同的项
  • 二次型的对应矩阵
    • 平方项把系数放到下标对应的对角线上。混合项把系数除以2，再分别放到下标对应的对称点上
  • 标准型
    • 只有平方项，没有混合项
  • 规范型
    • 只有平方项，且系数只能是1，－1，0
  • 惯性指数
    • 前提
      • 是标准型
    • 正惯性指数p
      • 正平方项的个数
    • 负惯性指数q
      • 负平方项的个数
  • 二次型的秩
    • 即对应矩阵A的秩=p+q
  • 合同
    • 定义
      • A，B为n阶方阵，存在可逆阵C，使C^TAC=B，称A合同于B，记
      • |A|与|B|符号相同
    • 性质
      • 反身性
      • 对称性
      • 传递性
    • 经坐标变换后的二次型矩阵是合同的
    • 经正交变换后的二次型矩阵是合同且相似的
  • 正定二次型
    • 定义
      • x!=0，恒有x^TAx>0，即有x1,...xn不全为0，使f>0 ，称A为正定矩阵
    • 坐标变换后，二次型的正定性不变
    • 充要条件
      • λ>0
      • p=n
      • 顺序主子式大于0
      • A=C^TEC，C可逆
    • 必要条件
      • aii>0
      • |A|>0
  • 应用
    • 化为标准型
      • 坐标变换
        • x=Cy:由x=(x1,x2,x3)^T到y=(y1,y2,y3)^T的坐标变换
        • |C|!=0
      • 正交变换法
        • 任意二次型必存在正交变换x=Qy（Q为正交阵），化二次型为标准型
        • 即Q^-1AQ=Q^TAQ=对角矩^。其中对角元素为A的特征值。即A既相似又合同于对角阵
          • 正交矩阵Q^-1=Q^T
        • 得到的标准型是唯一的
        • 方法
          • 求A的特征向量，然后正交化，单位化
      • 配方法
        • 任意二次型都可通过（配方法）可逆线性变换x=Cy（C是可逆阵），化成标准型
        • 即C^TAC=对角阵
        • 得到的标准型不唯一
        • 惯性定理
          • 二次型经坐标变化化为标准型，p和q是唯一且不变的
          • 推论：规范型是唯一的
        • 方法
          • 每次只去掉一个变量，配完后剩下的项不含这个变量。依次下去，直到最后一个
    • 看到规范型立刻想到正负惯性指数
    • 证明矩阵合同性
      • 定义
      • 正交、坐标变换
    • 证不合同
      • |A|与|B|符号不同
      • 惯性指数
      • 定义
    • 证明正定
      • 必须先证明矩阵是二次型（即对称）
      • p=n
      • A合同于E，即存在可逆阵C，使C^TAC=E
      • λ>0
      • 顺序主子式>0
      • 坐标变换
      • 与已知矩阵合同
    • 证不正定
      • 必要条件
        • aii>0
        • |A|>0
      • 充要条件
        • 顺序主子式大于0
        • λ>0
        • p=n
        • A=C^TEC，C可逆
    • 已知规范型求系数
      • 求特征值，按小到大排序。规范型的系数按负到正排序。两组一一对应，求出系数
    • 求p和q
      • 看特征值的符号
      • 配方法求出标准型

矩阵对比

• 等价
  • 等价的充要条件是存在可逆阵P、Q，使PAQ=B
• 相似
  • 定义
    • A,B为n阶矩阵，P为可逆阵。若P^-1AP=B，则称B是A的相似矩阵，记
    • 若A与对角阵相似，称A可相似对角化，对角阵为A的相似标准形
  • 性质
    • 反身性
      • A～B
    • 对称性
    • 传递性
  • 相似必要性
    • 特征值相同
    • 特征多项式相同，即|λE-A|=|λE－B|
    • 秩：r(A+kE)=r(B+kE)
    • 迹：
    • 行列式：
    • “特”“多”“字”(秩)“迹”的“行列式”(值)
    • f(A)α=f(λ)α
  • A可逆 =>
  • 定理：A可对角化
    • <=>A有n个线性无关的特征向量
    • <=>A的每个特征值对应的特征向量数为该特征值的重数
    • <=n阶阵A有n个不同的特征值
• 合同
  • 定义
    • A，B为n阶方阵，存在可逆阵C，使C^TAC=B，称A合同于B，记
    • |A|与|B|符号相同
  • 性质
    • 反身性
    • 对称性
    • 传递性
  • 经坐标变换后的二次型矩阵是合同的
  • 经正交变换后的二次型矩阵是合同且相似的
• 正交矩阵
  • 定义
  • 定理
    • A是正交矩阵=>|A|=±1
    • 转逆相等，行（列）正交； A、B若正交，AB也正交； 特征、行列式，皆为正负1。
• 实对称矩阵
  • 定义
    • A^T=A,元素皆为实数
  • 定理
    • 必可相似对角化
    • 必存在正交阵Q，使Q^-1AQ=Q^TAQ=对角阵
    • 不同特征值的特征向量相互正交
    • k重特征值必有k个线性无关的特征向量
    • “正交”“对角”“不正交”， k重特征k无关。
  • （λ_1E-A)X=0=>ξ_1,...,ξ_s线性无关
  • (λ_2E-A)X=0=>η_1,..η_t线性无关
  • 且ξ_1,...,ξ_s,η_1,..η_t也线性无关
• 正定二次型
  • 定义
    • x!=0，恒有x^TAx>0，即有x1,...xn不全为0，使f>0 ，称A为正定矩阵
  • 坐标变换后，二次型的正定性不变
  • 必要条件
    • aii>0
    • |A|>0
  • 充要条件
    • λ>0
    • p=n
    • 顺序主子式＞0
    • A=C^TEC，C可逆
  • 行列、对角为必要， 特征、子式为充要， 还有正惯和定义