高数A1自主学习

第一章自主学习内容（有例题哟），包括：第一节.映射与函数；第二节.数列(特殊的函数）的极限；第三节.函数的极限。

函数与极限

• 第一节.映射与函数
  • 一.映射（算子）
    • 概念
      • • f为X到Y上的映射(满射)
          • 设f是从集合X到集合Y的映射，若Rf=Y，即y中任一元素y都是A中某元素的像
        • f为X到Y的单射
          • 若对X中任意两个不同元素X1≠X2，它们的像f(X1)≠f(X2)
        • 一一映射（双射）
          • 若映射即是单射，又是满射
      • 映射需具备的三要素P1
        • 定义域X
        • 值域Rf含于Y
        • 对应法则f
    • 逆映射与复合映射P2
      • 逆映射
        • 只有单射才存在逆映射
      • 复合映射
  • 二.函数
    • 概念P3
    • 特性P6-9
      • 有界性
      • 单调性
      • 奇偶性
      • 周期性
    • 区间
      • 有限区间
        • 开区间
        • 闭区间
        • 半开半闭区间
      • 无限区间
    • 反函数与复合函数
      • 反函数P9
        • 反三角函数
        • 原函数与其反函数的图形关于y=x对称
        • 单值函数（一个x只有一个y与其对应）的反函数不一定是单值函数
        • 原函数与反函数单调性一样
      • 复合函数P10
    • 运算P11
    • 分类
      • 初等函数P12
        • 基本初等函数
        • 复合函数
      • 非初等函数
        • 分段函数
          • 用几个式子表示的一个函数
            • 求分段函数的复合函数
            • 求分段函数的反函数及定义域
        • 符号函数
        • 取整函数P5
          • • y为不超过x的最大整数
        • 取最值函数
• 第二节.数列（特殊的函数）的极限
  • 一.数列的定义
    • 数列可以看做数轴上的一个点列
    • 数列是整标函数 Xn=f(n)
      • 如Xn=2ⁿ即f(x)=2的x次方 x∈N
  • 二.数列极限的定义（ε-N语言）（只能判断a是否为函数的极限）
    • 对于{Xn},存在常数a，对于任给ε＞0（无论多小），总存在正整数N，使得当n＞N时，恒有[Xn-a]＜ε（刻划了Xn与a的无限接近）成立，那么a为数列{Xn}的极限，或称数列收敛于a
      • N与ε有关
        • 定义证明极限例题（关键是任给ε＞0，寻求N）
  • 三.数列极限的性质
    • 1.有界性
      • 收敛的数列必有界
        • 数列有界不一定收敛 例：Xn=（-1）ⁿ
        • 无界的数列必定发散
    • 2.唯一性
      • 每个收敛的数列只有一个极限
    • 3.保号性
      • 如果limXn=a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn＞0(或Xn<0).n→00
        • 如果数列{Xn}从某项起有Xn≥0（或Xn≤0），且limXn（n趋向无穷）=a，那么a≥0(或a≤0）
    • 4.子数列
      • 若{Xn}收敛于a，那他的任一子列{Xnk}都收敛于a
        • 如果{Xn}存在两个子列收敛于不同数，则{Xn}发散
        • 对于{Xn}，如果X2k-1（奇数项）收敛于a，X2k（偶数项）也收敛于a，则{Xn}收敛于a
• 第三节.函数的极限
  • 一.自变量趋向无穷大时函数的极限
    • （x趋向无穷）定义（ε-X语言）
  • 二.自变量趋向有限值时函数的极限
  • 三.函数与极限关系
• 函数是从实数集到实数集的映射
• 主要研究
  • 初等函数
  • 分段函数
• 高等数学的研究对象是函数（变动的量）