行列式

这是一篇关于行列式的思维导图，主要内容有其定义(完全展开式)、性质、计算、行列式按行(列)展开、克莱默法则。

行列式

• 定义（完全展开式）
  • 2/3阶行列式
    • Σ主对角线上元素乘积-副对角线上元素成绩
  • n阶行列式
  • 逆序数
    • 小数排在大数右边则构成逆序
    • 逆序的个数的奇偶性决定该项是否×-1
• 性质
  • 转置值不变
  • 初等变换对值的影响
    • 交换两行位置变号
    • 某一行k（包含1）倍加到另一行，行列式的值不变
  • 对一行（一列）的分解性质
    • 某一行（列）的公因子可以提出
    • 对一行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数，行列式值为0
    • 行列式的值等于某行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和
    • 对一行（列）可以分解
• 计算
  • 低阶行列式
  • 元素有规律的行列式（n阶行列式）
• 行列式按行（列）展开
  • 余子式
  • 代数余子式
  • 相关定理
    • n阶行列式等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和
    • n阶行列式的任一行（列）的元素和另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于0
• 克莱默法则
  • 若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式D≠0。若有唯一解，其解为0。
  • • 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为
• 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。