高等数学上册第三章

高等数学上册第三章，知识内容有微分中值定理、泰勒公式及高阶多项式通式、洛必达法则、弧微分及曲率、利用导数研究函数。

微分中值定理与导数的应用

• 微分中值定理
  • A. 费马定理：定义：若y=f(x)在x0可导，且在该点取得极值，则该点导数为0
    • 极值：局部的定义域中的最大值和最小值
  • B. 罗尔中值定理：
    • 1||| 条件：闭区间[a,b]连续 开区间(a,b)可导 f(a)=f(b)
    • 2||| 结论：得开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f^(c)=0
    • 3||| 应用：构造函数F(x),使F^(x)=0 求方程根的个数
    • 4||| 注意：定理中的c不唯一，定理只表明c的存在性 定理中的三个条件是结论成立的充分条件而非必要条件
    • 5||| 几何意义：至少有一点切线是水平的
  • C. 拉格朗日中值定理：
    • 条件：f(x)在闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导
    • 结论：(a,b)内至少存在一点，使得{f(b)-f(a)}\(b-a)=f^(c) 注意：若令f(a)=f(b),则有f^(c)=0,即罗尔定理为拉格朗日中值定理的一个特例
    • 两个推论：
      • 若f(x)在区间(a,b)内导数恒为0，则f(x)在区间内为一个常数
      • 若函数f(x),g(x)在区间I上可导，且f^(x)=g^(x),则f(x)=g(x)+c
    • 意义：建立了函数与其导数之间的桥梁，函数在一个区间内的增量与函数在此区间的某点导数
    • 应用：构造函数 一般作辅助函数F(x)=f(x)-{f(b)-f(a)}\{b-a}x
      • 证明等式
      • 证明不等式
  • D. 柯西中值定理：
    • 条件：f(x),g(x)在闭区间[a,b]连续 开区间(a,b)可导，且g^(x)!=0
    • 结论：开区间(a,b)内至少存在一点c，使得{f(b)-f(a)}\{g(b)-g(a)}=f^(c)\g^(c)
    • 注意：
      • 1||| 该结论不是由f(x),g(x)的1分别拉格朗日中值定理得出的
      • 2||| 柯西中值定理中，取g(x)=x,则柯西中值定理便成为拉格朗日中值定理
  • E. 构造函数的常见公式
    • 利用x的k次方与f(x)结合
    • 利用f(x)与g(x)
    • 利用e的x次方
• 泰勒公式及高阶多项式通式
  • 泰勒公式：
    • 泰勒中值定理：若函数f(x)在含x0的某个开区间(a,b)内具有n+1阶导数，则当x属于(a,b)时，有f(x)=f(x0)+f^(x0)+f^^(x0)(x-x0)+{f^^^(x0)\2*1}*(x-x0)^2……+Rn(x)
    • Rn(x)——即(x-x0)^n的高阶无穷小
      • 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
      • 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
  • 高阶多项式逼近：
    • 麦克劳林公式：泰勒公式中取x0=0
      • 常用：f(x)=e^x、f(x)=sinx、f(x)=cosx、f(x)=ln(1+x)等
    • 直接展开法
    • 间接展开法
  • 应用：（这一小部分是看的数学指导）
    • 求极限，确定无穷小的阶数
    • 证明与某阶导数的中间值有关
    • 证明不等式
• 洛必达法则
  • 常见：0\0型，∞\∞型：
    • x--x0时的未定式
    • 存在x0的某个取心领域内f(x)、g(x)一阶导数都存在，且g^(x)!=0
    • (x--x0)f^(x)\g^(x)=k
  • 变形：0*∞、∞-∞、1^∞、0^∞、∞^0： 对于该类函数，只需将其转化成常见类型即可
  • 小tip(注意)：
    • x--+∞：指数函数>幂函数>对数函数的增长速率
    • 应用洛必达法则时，注意结合特殊极限以及等价无穷小
    • 注意洛必达失效：主要为三角函数
• 弧微分 曲率
  • 弧微分：
    • 弧的长度：基点 规定变量x增加的方向为曲线的正向 有向弧段s的绝对值即为弧的长度
    • 微分公式：四种形式
      • y=f(x)
      • x=f(y)
      • x=(t) y=y(t)
      • x(t)=r(c)cosc y(t)=r(c)sinc
  • 曲率:
    • 曲线的弯曲程度：
      • 与切线转角成正比
      • 与弧段长度成反比
    • 注意：直线的曲率为0（即直线不弯曲）
    • 平均曲率K=|▲c\▲x|
    • 曲率公式K=|dc\ds|=|y的二阶导|\[1+(y的一阶导数的平方)]的二分之三次方
    • 曲率半径：p=1\K
      • 即曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点的曲率互为倒数
      • 曲线上一点曲率半径越大，曲率半径在该点处的曲率越小（越平坦）
• 利用导数研究函数
  • A. 函数的单调性
    • 利用一阶导数单调性、单调区间：
      • 1||| 利用极限的局部保号性
      • 2||| 单调性步骤：确定定义域 找分界点，将定义域从小到大划分为若干个区间 判断各区间一阶导数的符号
      • 3||| 注意：
        • a. 反映了曲线的升降
        • b. 提供了证明不等式的依据
  • B. 函数的凸性与拐点：
    • 凸性：
      • a. 定义：f(x)在区间[a,b]连续，看f(x1+x2\2)与f(x1)+f(x2)\2的大小关系判断上凸与下凸函数
      • b. 实际上反映了曲线的弯曲方向
      • c. 几何意义：下凸弧上，曲线上各点切线的斜率随x增大而增大 上凸弧上，曲线上各点切线的斜率随x增大而减小 即可通过二阶导数的正负判断函数得凸性(二阶可导)
    • 拐点：
      • 1||| 定义：曲线上上凸与下凸发生变化的分界点(x0,f(x0))称为曲线的拐点
      • 2||| 步骤：
        • a. 函数f(x)在x0去心领域二阶可导
        • b. 在定义域内找出二阶导数为0的点及二阶导数不存在的点
        • c. 检查其左右临近二阶导数是否变号
  • C. 函数的极值与最值：
    • 极值：
      • a. 极值是局部性的
      • b. 可导的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点x
      • c. 函数取极值的第一充分条件：根据一阶导数的正负
        • 步骤：求导 找出f(x)的全部驻点及导数不存在的点 根据一阶导数的正负判断是否为极值点
      • d. 第二充分条件：设F(x)在驻点x0处的二阶导数存在，那么可以根据二阶导数正负判断该点是否为极值点以及极值点的情况
      • e. 可以根据函数的单调性和极值确定曲线交点的个数
    • 最值：
      • 最值是对于整个定义域来说的
      • 最值由来:由闭区间上连续函数的最大值最小值定理
      • 步骤：
        • 条件：f(x)在[a,b]连续，(a,b)内一阶导数不存在的点和驻点有限，则它的最大(小)值只可能是它的极大(小)或端点处的函数值
        • 先求出开区间内函数的驻点以及一阶导数不存在的点
        • 计算端点值以及驻点、一阶导不存在的点的函数值
        • 比较，从而得出最大(小)值
      • 注意：若连续函数在区间内只有一个极值，则极值就是最值
      • 实际问题：
        • 建立目标函数
        • 求最值
        • 注意：若确定可导函数f(x)在定义区间内确定有最大值或最小值，若一阶导数在定义区间内只有一个跟x0，则可直接判定f(x0)是最大或最小值
  • D. 函数的渐近线：
    • 1||| 铅直渐近线：垂直于x轴，一般出现在无穷间断点 如f(x)=1\x
    • 2||| 水平渐近线:(x--∞)limf(x)=A,平行于x轴 如f(x)=arctanx
    • 3||| 斜渐近线:(x--∞)f(x)\x=a=0且(x--∞)f(x)-ax=b
    • 4||| 注意：不是所有曲线都存在渐近线 一般步骤：
      • 先求铅直渐近线(找无穷间断点)
      • 再求水平渐近线
      • 最后再看(x--∞)f(x)是否为∞，再求斜渐近线
  • E. 函数作图：一般步骤
    • 确定定义域，讨论函数奇偶性、周期性、对称性以及某些特殊点(如函数与坐标轴的交点)
    • 求出方程一阶导数、二阶导数等于零在定义域内的全部零点以及不存在的点，并将定义域按照这些点划分成若干区间
    • 确定曲线的渐近线
    • 列表表示函数上述区间内的单调性、极值、凸性、拐点
    • 画出函数图形