高数第三章知识框架

高数第三章知识框架，包含微分中值定理、洛必达定则、泰勒公式、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最大值最小值、函数图形的描绘、曲率、方程的近似解。

高数第三章知识框架

• 微分中值定理
  • 罗尔定理
    • 内容
      • 若函数f(x)满足 (1)在闭区间【a，b】上连续； (2)在开区间（a，b）内可导； (3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b）， 则在区间（a，b）内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f(ξ)=0
    • 相关名词
      • 费马引理
        • 内容
          • 设函数f( x)在点Xo的某邻域U( Xo)内有定义,且在Xo处可导, 若对任意x∈U( Xo),有f( x)≤f( Xo)(或f( Xo)≤f( x)),则f′( Xo)=0
      • 驻点
        • 即导数等于零的点,又称稳定点、临界点
    • 几何意义
      • 若连续曲线y= f( x)的弧AB的端点对应的函数值相等,则该弧上至少有一点C,使其函数值与端点函数值相等
  • 拉格朗日中值定理
    • 内容
      • 若函数f( x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少有一点ξ( a<ξ<b),使等式f(b)-f(a)= f'(ξ)(b-a)成立
    • 几何意义
      • 若连续曲线y= f( x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,则该弧上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB
    • 相关名词
      • 拉格朗日中值公式
        • f(b)-f( a)= f′(ξ)(b-a)
      • 有限增量定理
        • 即拉格朗日中值定理
      • 有限增量公式
        • △y=f'(x+θ△x)·△x(0<θ<1且|△x|不一定很小)
    • 注意
      • 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况
    • 推论
      • 如果函数f( x)在区间I上连续, I内可导且导数恒为零,则f( x)在区间I上是一个常数
  • 柯西中指定理
    • 内容
      • 若函数f( x)及F( x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)对任一x∈(a,b), F′(x)≠0 则在(a,b)内至少有一点ξ,使等式[ f( b)-f(a)]/[ F( b)-F(a)]= f′(ξ)/F′(ξ)
  • 三者关系
    • 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况 拉格朗日中指定理是柯西中值定理的特殊情况
• 洛必达法则
  • 定义
    • 在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
  • 分类
    • 0/0
      • 定理1
        • x→a
          • 若 (1)当x→a时,函数f( x)及F( x)都趋于零； (2)在点a的某去心邻域内, f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0； (3) lim_( x→a)[ f′(x)/ F′(x)]存在(或为无穷大), 则lim_( x→a)[ f( x)/ F(x)]= lim_( x→a)[ f′(x)/ F′(x)]
      • 定理2
        • x→∞
          • 若 (1)当x→∞时,函数f( x)及F( x)都趋于零； (2)当| x|＞N时, f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0； (3) lim_( x→∞)[ f′(x)/ F′(x)]存在(或为无穷大), 则lim_( x→∞)[ f( x)/ F(x)]= lim_( x→∞)[ f′(x)/ F′(x)]
    • ∞/∞
      • 定理
        • x→a
          • 若 (1)当x→a时,函数f( x)及F( x)都趋于无穷； (2)在点a的某去心邻域内, f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)≠0； (3) lim_( x→a)[ f′(x)/ F′(x)]存在(或为无穷大), 则lim_( x→a)[ f( x)/ F(x)]= lim_( x→a)[ f′(x)/ F′(x)]
  • 相关名词
    • 未定式
      • 若当x→a(或x→∞)时,两个函数f( x)与F( x)均趋于零或均趋于无穷大,则极限lim_( x→a)[或( x→∞)]可能存在、也可能不存在,通常将这种极限称为未定式 简记为0/0或∞/∞
  • 注意
    • 当定理条件不满足时,所求极限却不一定不存在 当lim[f′(x)/ F′(x)]不存在时(等于无穷大的情况除外)lim[f(x)/ F(x)]仍可能存在
    • 对数函数lnx、幂函数x^n(n＞0)、指数函数e^(λx)(λ＞0)当x→∞时增大的速度从左到右依次增大
• 泰勒公式
  • 泰勒中值定理1
    • 内容
      • 若函数f(x)在Xo处具有n阶导数,则存在Xo的一个邻域，对于该邻域内的任一x,有f(x)=f(Xo)＋f′(Xo)(x-Xo)+f′′(Xo)/2·(x-Xo)^2+···+f^(n)(Xo)/n!·(x-Xo)^n+R_n(x) 其中R_n(x)=o((x-Xo)^n).
    • 相关名词
      • n次泰勒多项式
        • p_n(x)=f(Xo)+f′(Xo)(x-Xo)+f′′(Xo)/2!·(x-Xo)^2+···+f^(n)(Xo)/n!·(x-Xo)^n称为函数f(x)在Xo处(或按(x-Xo)的幂展开)的n次泰勒多项式
      • 带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式
        • f(x)=f(Xo)＋f′(Xo)(x-Xo)+f′′(Xo)/2·(x-Xo)^2+···+f^(n)(Xo)/n!·(x-Xo)^n+R_n(x)
      • 佩亚诺余项
        • R_n(x)=o((x-Xo)^n)
  • 泰勒中值定理2
    • 内容
      • 若函数f(x)在Xo的某个邻域U(Xo)内具有(n+1)阶导数,则对任一x∈U(Xo) 有f(x)=f(Xo)＋f′(Xo)(x-Xo)+f′′(Xo)/2·(x-Xo)^2+···+f^(n)(Xo)/n!·(x-Xo)^n+R_n(x) 其中R_n(x)=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-Xo)^(n+1) 这里ξ是介于Xo与x之间的某个值
    • 相关名词
      • 带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式
        • f(x)=f(Xo)＋f′(Xo)(x-Xo)+f′′(Xo)/2·(x-Xo)^2+···+f^(n)(Xo)/n!·(x-Xo)^n+R_n(x)
      • 拉格朗日余项
        • R_n(x)=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-Xo)^(n+1)
      • 带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
        • f(x)=f(0)+f′(0)x+···＋f^(n)(0)/n!·x^n+o(x^n)
      • 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
        • f(x)=f(0)+f′(0)x+···＋f^(n)(0)/n!·x^n+f^(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1) (0<θ<1)
• 函数的单调性与曲线的凹凸性
  • 高数单调性的判定法
    • 定理1
      • 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导 (1)若在(a,b)内f′(x)≥0,且等号仅在有限多个点处成立,则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加 (2)若在(a,b)内f′(x)≤0,且等号仅在有限多个点处成立,则函数y=f(x)在[a,b]上单调减小
    • 注意
      • 若将定理1中闭区间换成其他各种区间(对于无穷区间,要求在其任一有限的子区间上满足定理的条件),则结论仍成立
      • 部分函数在其定义区间内不单调,但用函数的驻点划分其定义区间后,可使函数在各个部分区间上单调
      • 若函数在某些点处不可导，则划分函数的定义区间的分点，应包含上述导数不存在的点
  • 曲线的凹凸性与拐点
    • 曲线凹凸性
      • 定义
        • 设f(x)在区间I上连续,若对I上任意两点X1、X2恒有f[(X1+X2)/2]<[f(X1)+f(X2)]/2 ,则称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)； 若恒有f[(X1+X2)/2]＞[f(X1)+f(X2)]/2 ,则称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)
      • 曲线凹凸性的判定定理
        • 内容
          • 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有一阶和二阶导数,则 (1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的 (2)若在(a,b)内f''(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
        • 注意
          • 若将判定法中闭区间换成其他各种区间(包括无穷区间),则结论仍成立
    • 拐点
      • 定义
        • 若曲线y=f(x)在经过(Xo,f(Xo))时,曲线的凹凸性改变,则称点(Xo,f(Xo))为该区间的拐点
      • 判定区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点
        • (1)求出f′′(x) (2)令f′′(x)=0,解出该方程在区间I上的实根,并求出在区间I内f′′(x)不存在的点 (3)若求出的每一实根或二阶导数不存在的点Xo,检查f′′(x)在Xo左右两侧邻近的符号, 则当两侧的符号相反时,点(Xo,f(Xo))是拐点,当两侧符号相同时点(Xo, f(Xo))不是拐点
• 函数的极值与最大值最小值
  • 函数的极值及其求法
    • 定义
      • 内容
        • 设函数f( x)在点Xo的某邻域U( Xo)内有定义,若对于去心邻域内的任一x,有f( x)< f(Xo) (或f( x)＞f(Xo)), 则称f( Xo)为该函数的一个极大值(或极小值)
      • 相关名词
        • 极值
          • 函数的极大值与极小值的统称
        • 极值点
          • 对应极值的横坐标
      • 注意
        • 函数取得极值时,曲线的切线水平；但曲线的切线水平的地方,函数不一定取得极值
    • 定理1(必要条件)
      • 设函数f( x)在Xo处可导,且f( x)在Xo处取得极值,则f'( Xo)=0
      • 注意
        • 可导函数的极值点一定是其驻点 但函数的驻点不一定是极值点
        • 函数在导数不存在的点处仍可能取得极值
    • 判定极值的充分条件
      • 定理2(第一充分条件)
        • 设函数f( x)在Xo连续,且在Xo的某去心邻域( Xo-δ, Xo+δ)内可导 (1)若x∈(Xo-δ,Xo)时, f′(Xo)＞0,而x∈(Xo,Xo+δ)时, f′(Xo)<0,则f( x)在Xo取得最大值 (2)若x∈(Xo-δ,Xo)时, f′(Xo)<0,而x∈(Xo,Xo+δ)时, f′(Xo)＞0,则f( x)在Xo取得最小值 (3)若x∈(Xo-δ,Xo+δ)时, f'(x)的符号保持不变,则f( x)在Xo处没有极值
      • 定理3(第二充分条件)
        • 内容
          • 设函数f( x)在Xo处具有二阶导数且f′( Xo)=0, f′′( Xo)≠0,则 (1)当f''(Xo)<0,函数f( x)在Xo处取得极大值 (2)当f''(Xo)>0,函数f(x)在Xo处取得最小值
        • 推广
          • 若函数f(x)在Xo处有n阶导数,且f′(Xo)=f′′(Xo)=···=f^((n-1))(Xo)=0,f^(n)(Xo)≠0, 则 (1)当n为偶数时,Xo为极值点,且 f^(n)(Xo)<0时,f(Xo)为极大值 f^(n)(Xo)>0时,f(Xo)为极小值 (2)当n为奇数时,f(x)在Xo处不取得极值
    • 求f(x)在区间内的极值点和相应的极值
      • (1)求出导数f′(x) (2)求出f(x)的全部驻点与不可导点 (3)考察f′(x)的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形,以确定还该点是否为极值点； 若是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点 (4)求出各极值点的函数值,即得函数的全部极值
    • 注意
      • f'(Xo)=0, f''(Xo)=0时, f( x)在Xo处可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值
      • 若函数在驻点处的二阶导数为0,则可用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定
  • 最大值最小值问题
    • 模型
      • 若函数f( x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内除有限个点外可导,且至多有有限个驻点, 求f( x)在[a,b]上的最大值和最小值 (1)求出f( x)在(a,b)内的驻点及不可导点 (2)计算f( x)在上述驻点、不可导点的函数值及f( a)、f(b) (3)比较(2)中诸值的大小,最大的即为所求的最大值,最小的即为所求的最小值
    • 注意
      • 若f(x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点Xo,且该驻点是函数f(X)的极值点,则 当f(Xo)为极大值时,f(Xo)即为f(x)在该区间上的最大值；当f(Xo)为极小值时,f(Xo)即为f(x)在该区间上的最小值
• 函数图像的绘制
  • 曲线的渐近线
    • 定义
      • 若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,点M与某一直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线C的渐近线
    • 分类
      • 水平渐近线
        • 若lim_(x→∞)f(x)=b,则称y=b为水平渐近线
      • 铅直渐近线
        • 若lim_(x→Xo)f(x)=a,则称x=a为铅直渐近线
      • 斜渐近线
        • 若lim_(x→∞)[f(x)-(kx+b)]=0,则称y=kx+b为水平渐近线
  • 图形绘制步骤
    • 确定函数y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等),并求出函数的一阶导数f′(x)和二阶导数f′′(x)
    • 求出一阶导数f′(x)和二阶导数f′′(x)在函数定义域内的全部零点,并求出函数f(x)的间断点及f′(x)和f′′(x)不存在的点,用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间
    • 确定在这些部分区间内f′(x)和f′′(x)的符号,并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点
    • 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势
    • 算出f'(x)和f''(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值,定出图形上相应的点；为使图形描绘得更准确,有时需补充一些点,再结合第三、四步中得到的结果,联结这些点,有时画出函数y=f(x)的图形
• 曲率
  • 弧微分
    • 弧微分公式
      • ds=(1+y′^2)^(1/2)dx
    • 注意
      • 记号弧MoM,既表示有向弧段,又表示有向弧段的值
  • 曲率及其计算公式
    • 相关名词
      • 光滑曲线
        • 当曲线上每一点处都具有切线,且切线随切点的移动而连续转动,这样的曲线称为光滑曲线
      • 平均曲率
        • 若弧段MoM的长度为|△s|,动点从Mo移动到M时切线转过的角度为|△α| 则用|△α/△s|,即单位弧段上切线转过角度的大小表示弧段的平均弯曲程度,其比值叫做弧段的平均曲率
      • 曲率
        • 当△s→0(即M→Mo时),上述平均曲率的极限叫做曲线在点Mo处的曲率 记作K,即K=lim_(△s→0)|△α/△s| 在lim_(△s→0)|△α/△s|=dα/ds存在的条件下,K=|dα/ds|
    • 特殊图形的曲率
      • 直线
        • 直线在任意点处切线与直线重合,故当点沿直线移动时,切线的倾角α不变 即直线上任意点M处的曲率都等于零
      • 圆
        • 圆上各点处的曲率都等于半径a的导数1/a
    • 计算曲率的公式
      • K=|φ′(t)ψ′′(t)-φ''(t)ψ'(t)|/[φ'^2(t)+ψ'^2(t)]^(3/2)
      • 注意
        • 在部分实际问题中,|y′|同1比较起来是很小的,可忽略不计,则1+y′^2≈1, 则有K=|y′′|/(1+y′^2)^(3/2)≈|y′′|
  • 曲率圆与曲率半径
    • 曲率圆
      • 定义
        • 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0),在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,是|DM|=1/K=ρ. 以D为圆心,ρ为半径作圆,得到曲线在点M处的曲率圆
      • 相关名词
        • 曲率圆
          • 见上
        • 曲率中心
          • 即曲率圆的圆心D
        • 曲率半径
          • 即曲率圆的半径ρ
      • 注意
        • 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数
  • 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
    • 曲率中心的计算公式
      • 设已知曲线的方程为y=f(x),且其二阶导数y′′在点x不为零, 则曲线在对应点M(x,y)的曲率中心D(α,β)的坐标为 α=x-[y′(1+y′^2)]/y′′且β=y+(1+y′^2)/y′′
    • 渐屈线与渐伸线
      • 渐屈线
        • 定义
          • 当点(x,f(x))沿曲线C移动时,相应的曲率中心D的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线
        • 方程
          • α=x-[y′(1+y′^2)]/y′′且β=y+(1+y′^2)/y′′
      • 渐伸线
        • 当点(x,f(x))沿曲线C移动时,相应的曲率中心D的轨迹曲线C称为曲线G的渐伸线
• 方程的近似解
  • 二分法
  • 切线法
  • 割线法