导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用

医用高等数学（湖南科学技术出版社）第二章及第三章思维导图。包含微分中值定理：费马引理、罗尔定理、柯西中值定理、泰勒中值定理；洛必达法则；用导数研究函数；导数等。

第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用

• 导数
  • 导数的定义：函数在某一邻域内有定义，且对自变量增量Δx函数有Δy。若Δy与Δx的比的极限存在，则该极限为函数在该点的导数。
  • 导数的几何意义：函数在该点的导数值等于函数在该点的切线的斜率。
  • 若函数在x处可导，则函数在该点必连续。
  • 导数的求法
    • 和差商积的求导法则：若f(x)与g(x)在x处可导，则它们的和差商积在x处的倒数也存在，且
    • 反函数求导：反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。 且：若某函数在某区间内单调可导且导数不为0，则其反函数在该区间内也单调可导。
    • 复合函数求导法则：若函数y=f(g(x))是由y=f(u)和u=g(x)复合而成的，且u=g(x)在x处可导，y=f(u)在u处也可导，则复合函数在x处也可导，且导数为
    • 注意：f'(x)指的是对x求导 f'(2x)指的是f(2x)对2x求导，即把2x看作自变量 [f(2x)]'指的是对复合函数求导，即y=f(u),u=2x
    • 求导公式：常数和基本初等函数的求导公式应烂熟于心。补充不常见的：
    • 参数方程求导：如有x=f(t),y=g(t)，则有
    • 隐函数求导
      • 在方程两边同时对x求导，之后再变形化出y'
      • 也可用微分形式不变性：d[f(g(x))]=f'[g(x)]*d[g(x)]
      • 对数求导法：现在方程两边同时取对数，再用隐函数求导。适用于幂指型和多项连乘（除）
    • 高阶导数：二阶导即为对函数的一阶导再求一次导，其他阶导均以此类推。
      • 符号：
      • 高阶导数运算法则：加减和一阶导数无异
• 微分
  • 定义
    • 若在某区间内函数有定义且在某一点上函数增量可以表示为Δy=AΔx+o(x)，则函数在该点可微，且AΔx=dy，dy叫做函数在该点相对Δx的微分，A为函数在该点的导数。
      • 定理：函数在x点可微的充分必要条件是函数在该点可导。
      • 可用微分定义检验是否可微
  • 微分近似计算
    • • 常用近似公式（|x|很小时）
• 用导数研究函数
  • 讨论函数单调性
    • （1）求函数定义域 （2）求出一阶导等于0或一阶导不存在的点 （3）对定义域进行分段列表讨论
    • 若在某区间内有f'(x)>0，则在该区间内f(x)单调递增 若在某区间内有f'(x)<0，则在该区间内f(x)单调递减
  • 极值
    • 定义：在点x0的邻域内有f(x)£f(x0)，则函数在x0取得极大值 在点x0的邻域内有f(x)³f(x0)，则函数在x0取得极小值
      • 第一充分条件：x<x0时，f'(x)<0，x>x0时，f'(x)>0，则x0为函数的极小值点 x<x0时，f'(x)>0，x>x0时，f'(x)<0，则x0为函数的极大值点
      • 第二充分条件：若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极小值 若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极大值 若f''(x0)+0，则f(x)在x0处不能判断是否有极值
      • 注意：f'(x0)=0只是f(x)在x0处取得极值的必要条件，因为可能是极值的点除了驻点还有一阶导等于0的点。
      • 注意：函数的最值可能在驻点，端点，不可导点，不连续点上取得
  • 凹凸性
    • 设f(x)在(a,b)上二阶可导，若在(a,b)内f''(x0)>0，则f(x)在(a,b)内为凹函数 若在(a,b)内f''(x0)<0，则f(x)在(a,b)内为凸函数
  • 渐近线
• 洛必达法则
  • f(x),g(x)在邻域U(a,d)内有定义且可导，且二者趋近于a时的极限均为0或¥，g'(x)¹0，二者导数之比趋近于a时极限为L，则
    • 其他未定式均可化为0/0或¥/¥型
• 微分中值定理
  • 费马引理
    • 函数f(x)在点a的某邻域U（a)内有定义，并且在a处可导，如果对于任意的x∈U（a)，都有f(x)≤f(a) (或f(x)≥f(a) )，那么f '(a）=0。
  • 罗尔定理
    • f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，若f(a)=f(b)，则存在xÎ(a,b)使f'(x)=0
      • 推论：可导函数在两零点之间有f'(x)=0
  • 拉格朗日定理
    • f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，则至少存在一点xÎ(a,b)，使f(a)-f(b)=f'(x)(a-b)
      • 推论1：若函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为0，则f(x)在(a,b)内为常数
      • 推论2：若函数f(x),g(x)在(a,b)内导数恒相等，则f(x)=g(x)+C
      • 有限增量定理：Dy=f'(x+qx)*Dx，0<q<1
  • 柯西中值定理
    • f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，且g'(x)¹0，则存在xÎ(a,b)使
    • 注意：（1）若g(x)=x，则可推出拉格朗日定理 （2）不可对f(x),g(x)用拉格朗日定理相比得到，应看作X=f(x),Y=g(x)，关于x的参数方程
  • 泰勒中值定理
    • 若函数f(x)在区间(a,b)内n+1阶可导，x,x0Î(a,b)，则有
      • 特别的，（1）n=0时，为拉格朗日公式 （2）n=1时，为微分近似计算 （3）x0=0，x=qx（0<q<1）时，为麦克劳林公式
    • 常见函数的麦克劳林公式