导数与微分学习笔记

导数与微分学习笔记，知识点有导数的概念、求导法则、高阶导数、洛必达法则、隐函数的导数、微分和近似、最大值和最小值。

导数和微分

• 导数的概念
  • 导数定义：函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义且极限存在，则称f(x)在x0处可导。 极限值为f（x）在x0处的导数不存在，就不可导。
  • 微分定义：设函数y=f (x)在点x0的某一邻域内有定义， 如果函数的增△y=f(x0+△x)-f(x0)可以表示为，△y=A△x+0(△x) (△x→0) 其中A为不依赖于△x的常数，则称f(x)在x0处可微。称A△x为函数f(x)在点x0处相应于自变量增量 △x的微分，记做dy= A△x
  • 可导与连续的关系：函数可导必连续，连续不一定可导。
• 求导法则
  • 基本初等函数求导
    • 常数(C)'=0
    • 幂函数(хЛа)'=a*хЛ(а-1)
    • 指数(aЛx)'=aЛx*lna
    • 对数(logaЛx)'= 1/x*lna
    • 三角函数
      • (cosx)'= -sinx
      • (tanx)'= (secx)Л2
      • (cotx)'= -(cscx)Л2
      • (secx)'= secx*tanx
      • (cscx)'= -cscx* cotx
    • 反三角函数
      • (arcsinx)'=1/ [(1-xЛ2)Л1/2] хE(-1,1)
      • (arccosx)'=-1/ [(1-xЛ2)Л1/2]
      • (arctanx)'= 1/(1+xЛ2) xE(-1,1)
      • (arccotx)'=-1/(1+xЛ2)
  • 四则运算法则
    • (u*v)"=u'v+uv'
    • (u/v)'=(u'v-uv)/(vЛ2)
    • (u-v)'=u'-v'
    • (u+v)'=u'+v'
  • 反函数求导法则：反函数的导数是原函数导数的倒数。
  • 复合函数的导数，构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。
• 高阶导数
  • 二阶及二阶以上的导数
    • ニ阶导数: y’
    • 三阶导数: y"
    • n阶导数: y^(n)
  • 求高阶导数
    • 归纳法
    • 公式法
• 隐函数的导数
  • 方法一：直接求导，确定y为x的函数，求dy/dx，y=φ（x）
  • 方法二：将隐函数转化为显函数求导
• 由参数方程确定的函数的导数
  • x=φ（t），y=ψ（t），y=y（x）
  • dy/dx=（dy/dt）/（dx/dt）=ψ‘（t）/φ‘（t）
• 微分和近似
  • 微分的定义
    • 设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，如果当自变量在点x处取得改变量∆x，y=f(x)相应的改变量∆y=f(x+∆x) - f(x)可表示为： ∆y=A(x)∆x+Ο(∆x) 其中A(x)与∆x无关，Ο(∆x)是当∆x->0是比∆x高阶的无穷小量，则称f(x)在点x处可微，并称A(x)∆x为函数f(x)在点x处的微分，记为:dy=A(x)∆x
  • 微分法则
    • 由函数B=f (A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
  • 基本初等函数的微分公式
    • 常数
    • 幂函数
    • 指数
    • 对数
    • 三角函数
    • 反三角函数
  • 函数的线性近似
    • 若已知曲线 上一点 ，那么该点对应的切线方程就是 求函数在某点的切线的过程，我们称对函数在该点作线性近似。
• 作函数的图像
• 局部极值与开区间上的局部极值
  • 局部极值存在于何处
    • 一阶导数判别法
    • 二阶导数判别法
  • 开区间上的最值
• 最大值和最小值
  • 存在性问题
    • 如果函数在闭区间[a,b]上连续，那么f（x）在该区间上存在最大值和最小值
  • 最值在哪里出现
    • 端点
    • 驻点
      • f’（c）=0
    • 奇点
      • f‘（x）不存在
  • 如何求最值
    • 1.找出函数的临界点
    • 2.求出函数在这些点上的值，最大的就是最大值，最小的就是最小值
• 函数的单调性判别法
  • 一阶导数与单调性
  • 二阶导数和凹性
    • 凹性判定定理
      • 设函数f（x）在开区间内存在二阶导数。1.对于开区间内所有x，有f‘’（x）>0，那么函数上凹,2.对于开区间内所有x，有f‘’（x）<0,那么函数下凹
    • 拐点
• 洛必达法则
  • 0/0型
    • 若函数f(x)和g(x)满足下列条件: (1)limf(x)=0，limg(x)=0; (2)在包含a的开区间内，f'(x),g(x)都存在，且g' (x)≠0 ; (3)lim f' (x)/g’（x）=A(A可为实数，也可为+∞),则
  • ∞/∞型
    • 若函数f(x)和g(x)满足下列条件: (1)limf(x)=∞，limg(x)= ∞ (2)x绝对值>N,f'(x),g(x)都存在，且g' (x)≠0 ; (3) limf' (x)/g‘（x）=A(A可为实数，也可为士∞或∞)，则
  • 其他不定式
    • 0*∞
    • 1^∞
    • ∞^0
    • ∞-∞
• 微分中值定理
  • 费马引理
    • 设函数f（x）在,点x0的某邻域U（x0）内有定义,且在x0处可导,如果对任意的xEU（x0）有
  • 罗尔定理
    • 如果R上的函数 f (x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f (a)=f (b)，则至少存在一个 ξ∈ (a,b)，使得 f' (ξ)=0。
  • 拉格朗日中值定理
    • 如果函数f(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 那么在开区间(a,b)内至少有一点c使
  • 柯西中值定理
    • 设函数f(x)和g（x）满足1.在闭区间[a,b]上连续。2.在开区间（a，b）上可导。3.f'(x)和g‘（x）不同时为零。4.g（a）≠g（b），那么在（a，b）内至少有一点c，使