不定积分

高等数学同济第七版上册第四章不定积分（部分内容）思维导图，包括不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法等。

第四章 不定积分（部分内容）

• 一、不定积分的概念与性质
  • 原函数与不定积分的概念
    • 1.定义一：
    • 2.定义二：
    • 3.原函数存在定理：函数连续
    • 4.积分曲线：函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线，显然一个具有积分的函数，有无数条互相平行的积分曲线
  • 基本积分表
  • 不定积分的性质：
    • 性质一：设函数及的原函数存在，则
    • 性质二：设函数的原函数存在，k非零常数，则
    • 性质三:不定积分与求导函数或微分互为逆运算
• 二、换元积分法
  • 第一类换元法（凑微分法）：
    • 定理1：
      • 设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))；
  • 第二类换元法：
    • (1).定理2：
      • 设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))
    • (2).常用的两种换元方法：根式代换法和三角代换法(主要目的是消去根式)
  • 常用积分公式
• 三、分部积分法
  • 分部积分公式推导：设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 两边积分，得分部积分公式:∫udv=uv-∫vdu
  • 适用的情况：
    • 1、一般使用于不同函数相乘也可以是相同的函数乘积
    • 2、也可以与换元积分法相结合灵活运用
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