函数的概念和性质

高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》知识点梳理，包含：1.函数的概念及其表示 2.函数的基本性质 3.幂函数 4.函数的应用。

第三章 函数的概念和性质

• 函数的概念及其表示
  • 函数的概念
    • 概念
      • 传统
        • 在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y， 如果对于在某一个范围内的任一个 x 的值，都有唯一的 y 值与它对应，则称 y 是 x 的函数， x 叫做自变量， y 叫做因变量
      • 近代
        • 给定两个非空数集 A 和 B，如果按照某个对应关系 f，对于 A 中任何一个数 x，在集合 B 中都存在唯一确定的数 f(x)与之对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)， x∈ A
        • • 自变量
            • x
          • 定义域
            • x的取值范围A叫做函数的定义域
          • 函数值
            • 与x的值相对应的y值叫做函数值
          • 值域
            • 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
            • 值域是集合B的子集
            • • 因为集合B中的元素可以有剩余，因此集合B不一定是值域。即值域C满足：CB
      • • 函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发
        • 函数的实质是从非空数集 A 到非空数集 B 的一个特殊对应
    • 构成要素
      • 定义域
      • 对应关系
      • 值域
      • • 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系一致，我们就称这两个函数相等
        • 两个函数相等，与表示的字母没有关系
    • 函数概念的理解
      • A、 B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在
      • 在现代定义中， B 不一定是函数的值域，如函数 y=x2+1 可称为实数集 R 到实数集 R的函数，但值域为[1,+∞)
      • 对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了
      • 函数符号 f(x)的含义
        • f(x)是表示一个整体，一个函数
        • 而记号“f” 可以看作是对“x”施加的某种法则（或运算），是一种“对应关系”
        • • y=f(x)
            • y就是x在关系f下的对应值
          • f(a)与f(x)
            • f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量
            • f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值
          • 如 f(x)=x²-2x+3
            • 当 x=2 时，可看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与 2 的积，再加上 3
            • 当“x”为某个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有 x 都用同一个代数式（或函数记号）代替
            • 如f(2x-1)=(2x-1)²-2(2x-1)+3， f[g(x)]=[g(x)]²-2g(x)+3 等
          • 法则所实施的对象与解析式中所表述的对象要一致
            • f(x)=x²+1
              • 左端是对x施加罚则，右端也是关于x的解析式，此时此式是以x为自变量的函数解析式
            • f(x+1)=3x²+2x+1
              • 左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式。二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式
  • 函数的定义域
    • 定义
      • 函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合
      • • 自变量 x 的取值范围
        • 要注意， 在实际问题中， 定义域要受到实际意义的制约
    • 注意事项
      • 分式的分母不为0
      • 偶次根式的被开方数大于等于0
      • 零次幂的底数不为0
      • 实际问题对自变量的限制
      • 若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足各式子都有意义（取交集）
    • 抽象函数的定义域
      • 若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出
      • 若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域
  • 函数的值域
    • 定义
      • 对于函数 y=f(x)， x∈ A，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈ A}叫做函数的值域
    • 求法
      • 图像法
      • 直接法
      • 配方法
      • 换元法
      • 分离常数法
        • 适用于解析式为分式形式的函数
      • 判别式法
      • 反解法
        • 通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围
  • 区间与无穷大
    • 区间的概念
      • 设 a， b 是两个实数，而且 a＜b，我们规定
      • • ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]
        • ②满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)
        • ③满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]
        • 这里的实数a,b都叫做相应区间的端点
    • 区间在数轴上的表示
      • 用实心点表示包括在区间内的端点
      • 用空心点表示不包括在区间内的端点
    • 无穷大的概念
      • 实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)
      • • “∞”读作“无穷大”
        • “-∞”读作“负无穷大”
        • “+∞”读作“正无穷大”
      • 相关表示
        • x≥a
          • [a,+∞)
        • x＞a
          • (a,+∞)
        • x≤b
          • (-∞，b]
        • x＜b
          • (-∞，b)
    • • 区间左端点值要小于区间右端点值，常作为隐藏条件使用
      • 区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开
      • “∞”无穷大，是一个符号，不是一个数
  • 函数的表示方法
    • 表示方法
      • 解析式法
        • 用数字表达式表示两个变量之间的对应关系
      • 列表法
        • 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
      • 图像法
        • 用图像表示两个变量之间的对应关系
    • 求函数解析式的方法
      • 待定系数法
        • 若已知函数模型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法
        • 求得解析式后，必须注明定义域。若定义域为R，则可不用注明
      • 拼凑法
        • 已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出g(x)，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可
      • 换元法
        • 已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法
        • 注意换元之后自变量的取值范围
      • 解方程组法
        • 已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x)，f(1/x)等，则可根据已知等式再构造其他等式（如用-x或1/x替换x）组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式
  • 分段函数
    • 定义
      • 在函数f(x)的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数
    • 注意事项
      • 分段函数是一个函数，而不是几个函数
      • 分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图像也由几部分构成
      • 分段函数的值域，是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集
        • “图像法”求解
      • 在函数图像中，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点
        • 要考虑区间端点是否包含在内
        • • 包含端点，用实心点表示
          • 不包含端点，用空心点表示
  • 函数图像的画法
    • 方法
      • 描点法
        • 列表
        • 描点
        • 连线
      • 变换作图法
        • 平移
        • 对称
        • 其他
    • 注意事项
      • 先确定函数定义域，要在定义域内作图
      • 图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像
      • 要标出某些关键点
        • 顶点
        • 端点
        • 与坐标轴的交点
      • 作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的解析式分别作出
    • 图像变换
      • 平移变换
        • y=f(x)
          • 左加右减
            • a＞0，右移a个单位长度
            • a＜0,左移lal个单位长度
            • y=f(x-a)
          • 上加下减
            • b＞0，上移b个单位长度
            • b＜0，下移lbl个单位长度
            • y=f(x)+b
      • 伸缩变换
        • y=f(x)
          • 纵坐标不变，横坐标变
            • 0＜w＜1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1/w倍
            • w＞1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/w
            • y=f(wx)
          • 横坐标不变，纵坐标变
            • A＞1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍
            • 0＜A＜1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍
            • y=Af(x)
      • 对称变换
        • y=f(x)
          • 关于x轴对称
            • y=-f(x)
          • 关于y轴对称
            • y=f(-x)
          • 关于原点对称
            • y=-f(-x)
      • 翻折变换
        • y=f(x)
          • 去掉y轴左边图，保留y轴上及y轴右边图
          • 将y轴右边的图像翻折到左边去
          • y=f(lxl)
          • 保留x轴上及x轴上方图
          • 将x轴下方的图像翻折到上方去
          • y=lf(x)l
• 函数的基本性质
  • 函数的单调性
    • 定义
      • 
      • • • 同属于一个单调区间
          • 是任意的两个实数，证明单调性时不可用两个特殊值代替
        • 函数的单调性是针对定义域I内的某个区间D而言的，DI
          • 区间可以是整个定义域
          • 区间也可以是定义域的真子集
        • 有的函数不具备单调性
    • 单调性与单调区间
      • 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间
      • • 单调区间的写法
          • 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”来连接
        • 书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定
          • 若函数在区间端点有意义，写成闭区间，写成开区间也可以
          • 若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区间
  • 函数单调性的判断
    • 定义法
      • ①取值
      • ②作差变形
      • ③定号
        • 确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论
      • ④结论
        • 根据定义作出结论
    • 图像法
      • 先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性
    • 直接法
      • 对于我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接写出它们的单调区间
  • 函数单调性的常用结论
    • ①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反
    • ②函数f(x)与f(x)+c（c为常数）具有相同的单调性
    • ③当k＞0时，函数f(x)与kf(x)具有相同的单调性
    • ④当k＜0时，函数f(x)与kf(x)具有相反的单调性
    • ⑤
    • ⑥
    • ⑦若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则
      • f(x)·g(x)
        • 当两者恒大于零时，是增(减)函数
        • 当两者恒小于零时，是减(增)函数
    • ⑧在公共定义域内
      • 增+增=增
      • 减+减=减
      • 增-减=增
      • 减-增=减
  • 复合函数的单调性
    • 复合函数定义
      • 设y=f(t),t=g(x),则函数y=f（g(x)）叫复合函数
      • • f(t)，叫做外函数
        • g(x)，叫做内函数
    • 单调性
      • 同增异减
        • 内外函数的单调性相同时，递增；相异时，递减
      • • 增（增）→增
        • 减（减）→增
        • 增（减）→减
        • 减（增）→减
    • 步骤
      • ①将复合函数分解成基本的初等函数：y=f(u)，u=g(x)
      • ②分别确定各个函数的定义域
      • ③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间
      • ④根据基本函数的单调性进行判断
    • • 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中的减函数的个数决定
        • 减函数有偶数个，则复合函数为增函数
        • 减函数为奇数个，则复合函数为减函数
  • 函数的最大(小)值
    • 定义
      • 几何意义
        • 函数的最大（小）值对应图像最高（低）点的纵坐标
    • 常用结论
      • 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x)，x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)
      • 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x)，x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)
  • 函数的奇偶性
    • 定义
      • 偶函数
        • 设函数 y=f(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有-x∈ D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数
      • 奇函数
        • 设函数 y=f(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有-x∈ D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数
      • • 前提条件：定义域关于原点对称
        • 如果函数f(x)的定义域不关于原点对称，那么函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
        • 如果函数f(x)为奇函数或偶函数，那么，就说函数f(x)具有奇偶性
    • 常用结论
      • ①
        • 如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0
        • 如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0
      • ②二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）为偶函数⇔b=0
      • ③
        • 两个奇函数之和（差）为奇函数
          • 奇±即=奇
        • 两个偶函数之和（差）为偶函数
          • 偶±偶=偶
        • 两个奇函数之积（商）是偶函数
          • 奇×奇=偶
          • 奇÷奇=偶
        • 两个偶函数之积（商）是偶函数
          • 偶×偶=偶
          • 偶÷偶=偶
        • 一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数
          • 奇×偶=奇
    • 复合的奇偶函数的性质
      • 对于复合函数F(x)=f（g(x)）
        • 若g(x)为偶函数，则F(x)为偶函数
        • 若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数
        • 若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数
    • 函数的分拆
      • 任何一个函数f(x)都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和
      • f(x)=F(x)+G(x)
    • 判断
      • 定义法
        • ①定义域是否关于原点对称
          • 否
            • 非奇非偶函数
          • 是
            • f(-x)与f(x)的关系
              • f(-x)=-f(x)
                • 奇函数
              • f(-x)=f(x)
                • 偶函数
              • f(-x)与f(x) 无上述关系
                • 非奇非偶函数
      • 图像法
        • 奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y轴）对称，则通过函数图像可直观看出函数的奇偶性
      • 性质法
        • 通过函数的和、差、积、商（分母不为0）来判断
  • 奇、偶函数的图像特征
    • 奇函数的图像特征
      • 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
      • 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数
      • • y=f(x)是奇函数⇔它的图像关于原点对称
        • 由于奇函数 f(x)的图象关于原点对称，当 f(x)的定义域为 R 时，必有 f(0)=0
    • 偶函数的图像特征
      • 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形
      • 反之，如果一个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数
      • • y=f(x)是偶函数⇔它的图像关于y轴对称
    • 奇、偶函数的单调性
      • 单调性
        • 一般的，若 f(x)为奇函数，则 f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性
        • 若f(x)为偶函数，则 f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性
        • • [a,b]和[-b,-a]
            • 关于原点对称的区间
      • 最值
        • 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数
        • 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数
• 幂函数
  • 概念
    • • x是自变量
      • α是常数
    • • 只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式
  • 特征
    • 系数为1
    • 底数是自变量
    • 指数是常数
    • 满足这三个条件特征，才是幂函数
  • 常见幂函数图像及性质
    • 常见图像
      • 
    • 性质
      • 
    • 图像的特点
      • 在第一象限内
        • 当α＞1,图像是向下凹的
        • 当0＜α＜1，图像是向上凸的
        • 当α＜0时，图像是向下凹的
        • 当x＞1时，幂函数的指数越小，其图像越靠近x轴
      • α
        • 当α＞0时
          • ①图象都通过点(0,0)， (1,1)
          • ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大
          • ③在第一象限内， a＞1 时，图象是向下凸的；0＜a＜1 时，图象是向上凸的
          • ④在第一象限内，过(1,1)点后，图象向右上方无限伸展
        • 当α＜0时
          • ①图像都过点（1,1）
          • ②在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，图象是向下凸的
          • ③在第一象限内，图象向上与 y 轴无限的接近，向右与 x 轴无限的接近
          • ④在第一象限内，过(1,1)点后， |a|越大，图象下落的速度越快
  • • 图像
      • 
    • 定义域
    • 值域
      • （-∞，-2]∪[2，+∞）
    • 单调性
      • 在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增
      • 在（-1，0）和（0，1）上单调递减
    • 最值
      • 在定义域上没有最值
      • 在（-∞，0）上，当x=-1时有最大值-2
      • 在（0，+∞）上，当x=1时，有最小值2
    • 奇偶性
      • 在定义域上是奇函数
    • • 定义域
      • 值域
      • 单调性
      • 最值
        • 在定义域上没有最值
        • 在（-∞，0）上，最大值为
        • 在（0，+∞）上，最小值为
      • 奇偶性
        • 在定义域上是奇函数
• 函数的应用（一）
  • 一次函数模型及其应用
  • 二次函数模型及其应用
    • • 利用二次函数求最值时，要特别注意取得最值时自变量与实际意义是否相符
  • 分段函数模型及其应用
    • 模型
      • 分段函数是指函数解析式由几段组成的函数，根据自变量的不同，由题设确定出不同的函数关系式
    • 应用
      • 关键是确定分段的各边界点
  • 解答函数应用题的基本步骤
    • 步骤
      • “四步八字”
        • ①审题
          • 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型
        • ②建模
          • 将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型
          • • 注意实际问题中自变量的取值范围，合理确定函数的定义域
            • 数学语言包含：①文字语言②符号语言③图形语言
        • ③求模
          • 求解数学模型，得出数学结论
        • ④还原
          • 将数学结论还原为实际问题的意义