第三章中值定理与一元微分学知识点及题型 框架图

中值定理与一元微分学应用 覆盖所有知识点，及题型足够考试使用

中值定理与一元微分学应用

• 理论
  • 中值定理
    • 预备知识
      • 极值点与极限
      • 函数极值点处导数各种情形判断
    • 中值定理
      • 1.罗尔
      • 2.拉格朗日
      • 3.柯西
      • 4.泰勒
  • 单调性与极值
    • 单调性
      • 概念
      • 判别
    • 求函数极值的步骤
      • 1确定定义域.
      • 2.求定义域驻点及不可导点
      • 3.判断所求点是否是极点的方法
    • 最值
      • 1.设f(x)∈[a,b],求f(x)在[a,b]上最小值和最大值的步骤
      • 2.无限区间上连续函数的最值
  • 函数凹凸性与拐点
    • 凹凸定义
    • 判别
      • 定理
        • 1.二阶导数＞0为凹函数
        • 2.二阶导数＜0为凸函数
    • 弧微分·曲率与曲率圆·渐近线
• 题型
  • 关于命题f^（n）（ξ）=0的证明
    • I. 证明最常用的方法是罗尔，只要证明至少有两个零点另外少数问题可以使用极值法/泰勒
  • 所证结论中只含x 无其他字母
    • 1.还原
      • 1.将结论中的ξ全部改成x
      • 2.(f'(x)) /(f(x))=[lnf(x)]'将函数进行还原
      • 3.将函数合并成[lnφ(x)]'=0，则辅助函数即为φ（x），然后罗尔
    • 2.分组
      • 将结论中ξ改x进行分组，再还原
    • 3.凑微分
    • 子主题
      • 构造辅助函数
        • (1)若结论为f"(ξ)+kf(ξ)=0,则辅助函数为φ（x）=e^kx f（x）
        • (2)若结论为〖ξf〗"(ξ)+kf(ξ)=0,则辅助函数为φ（x）=e^k f（x）
        • (3)若结论中出现f"(x)g(x),则一般使用[f'(x)g(x)]'=f"(x)g(x)+f'(x)g'(x).
  • 所证结论中含 x, 且含a b
    • 可分离
      • 将a，b分离，对一侧使用拉格朗日/柯西
    • 不可分离
      • 凑微分
  • 所证结论只含x，h （双中值）
    • f'（η） f'（ξ）
      • 找出三个点，两次使用拉格朗日
    • 含ξ，n
      • 涉及两个中值的项复杂程度不同
        • 将复杂项取出，使用 拉/柯
      • 相同
        • 对一个中值项还原构造辅助函数，再两次使用拉格朗日
  • 拉格朗日中值定理常规证明
    • f(x)可导，f(b)-f(a)时
    • f(x)可导（或二阶可导）且至少涉及f(x)三个点的函数值时，两次拉格朗日
    • f(x)可导且涉及f(x)与(f(x))'之间关系时
• 定理
  • 1.第一充分条件（一阶法）
    • f（x）连续，在0<|x-x_0 |<δ可导,
      • x<x_0 时，f^' (x)<0,当x>x_0 时，f(x)>0,极小值
      • ……极大值同理
  • 2.第二充分条件（二阶法）
    • ∃f"(x)且f'(x)=0
      • f"(0)>0,x=x_0 为极小值
      • f"(0)<0,极大值
      • f"(0)=0,无法确定