数学发现

波利亚的数学三部曲之一的《数学发现》

数学发现

• 数学模式
  • 双轨迹模式
  • 笛卡尔模式
  • 叠加
  • 递归
• 一般方法
  • 问题
    • 何谓问题
      • 有问题指的是有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清晰地意识到但不能立即达到的目的
      • 解决问题指的是寻找这种活动，寻找一条路，一条克服困难，绕过障碍的路
      • 思想朝着目标：达到目的的手段
      • 绕过一个障碍，采取迂回的途径，都需要一种能力
      • 人类活动是解决问题，有目的的思索，设计达到目标的工具
      • 理解这些活动
      • 用一个方法解决一类问题
    • 问题的分类
      • 这是个什么类型的问题
      • 问题的类型提示解法的类型
    • 求解问题
      • 寻求一个确定的对象——问题的未知量
      • 他说什么？
      • 清楚未知量是什么？图像、数、字或
      • 已知量
      • 条件是把已知和未知联系一起
      • 不能期望解决不理解的问题
      • 问题的主要部分包括已知、未知和条件
    • 求证问题
      • 决定某一论断是正确还是错误的，证明它或反驳它
      • 他说了那个吗？
      • 主要部分包括前提和结论
      • 揭示主要部分的逻辑联系
      • 主要部分的前提不能蕴含结论
    • 未知量的分量
      • 多组分或多分量，把几个未知量看成一个未知量的分量
      • 求圆实质是求圆心和半径
    • 条件的分款
      • 把条件分成几部分或几个分款
      • 画图可以看成几个轨迹的交点
    • 需要的是程序
      • 许多问题的解决关键在于某一程序，某种行动次序，某个正确衔接的操作方案或程序
      • 解方程，代数运算，从已知量出发，算出根
      • 求证题从前提出发，逻辑运算出结论
      • 工作相互依赖，以其他工作完成为为前提
      • 制定一个深思熟虑、有条有理的行动计划（逻辑推理，数学运算，具体工作），从已有的东西得出缺少的东西
  • 扩大眼界
    • 笛卡尔模式的推广
    • 双轨迹模式的推广
    • 从哪条分款着手
    • 递归模式
    • 逐步求得未知量
      • 要用已经收集到的信息作为收集进一步信息的基础
      • 解题和学习所有合理的程序都是递归的
    • 阿瑞丹尼线团
      • 进入迷宫时一路撒上线，顺着这根线往回走，找到了走出迷宫的路
      • 最恰当最经济的次序做出选择
      • 找出最薄弱的环节，在第一步的基础上谨慎走第二步
  • 解题过程的几何图示
    • 隐喻
      • 发现解法就是原先隔开的事物或想法之间去找出联系
    • 问题是什么
      • 你要求什么
      • 你有什么
    • 这是一个主意
      • 如果不能解决新提出的问题，寻找一个有关联的问题
    • 发展我们的想法
    • 彻底完成它
    • 慢镜头
    • 题中之题
    • 想法的产生
    • 思维的作用
      • 经验中有关的部分重新回忆起来，和手头的工作联系起来
    • 思维的守则
  • 计划和程序
    • 一个制定计划的模型
      • 从一个愿望联想到某些方法、手段
      • 目标启示方法
      • 这个联想可能来自过去的经验
      • n个目标，n-1个步骤
      • 制定计划和实行计划是沿着相反的方向进行的
      • 分析，倒着想
    • 更一般的模型
    • 程序
    • 在几个计划中选择
    • 计划和程序
    • 模型与计划
    • 聪明的人从结果开始，而傻瓜在起点就收场了
    • 不要过早地限定自己，不要过死地把自己限定在一条路上
    • 一个退好的解题者就像一位将军，认识到袭击计划可能失败，不能忽视退却的路线
  • 题中之题
    • 引理
    • 辅助问题：达到目的的手段
      • 把香蕉抓过来，把棍子抓过来
    • 等价问题，双侧变形
    • 较强或较弱的辅助问题，单侧变形
    • 间接的辅助问题
    • 材料上的帮助，方法论方面的帮助，激起的联想，导引，演习
  • 想法的产生
    • 一线光明
      • 黑暗中摸到开光
    • 例子
    • 辅助想法的特征
      • 自发性
      • 已成之见的改变
    • 想法有赖于机会
    • 两种思想
      • 对外界反映的思维活动
      • 自动闯入的想法，殷勤接待，小心验证
  • 思维的作用
    • 我们怎样思考
      • 解题者必须了解他的思路
    • 有了一个问题
    • 相关性
      • 排斥跟问题不相干的事
    • 接近度
    • 预见
      • 猜
    • 探索范围
    • 决断
    • 动员和组织
      • 收集叫动员
      • 联系称为组织
    • 辨认和回忆
    • 充实和重新布置
    • 分离和组合
    • 一张图表
    • 部分启示着整体
    • 区分通常在做什么和应该去做什么之间的区别
  • 思维的守则
    • 方法是把我们应该注意的事物进行适当的整理和排列
    • 应该怎样思考
    • 集中目标
    • 估计前景
    • 所要求的：途径
    • 所要求的：更有希望的局面
    • 所要求的的：有关的知识
    • 所要求的：重新估计形势
    • 提问题的艺术
    • 把你的问题表达成数学语言
  • 发现的规则
    • 形形色色的规则
    • 经济但不愈加限制
    • 坚持但有变化
    • 择优规则
  • 关于学、教和学教
    • 教不是一种科学
      • 心理学可提供一些启示，但不是最终的判断
    • 教学的目标
      • 教会年轻人去思考
      • 发展学生的解题能力
      • 教会证明，教会猜测
      • 一般化，归纳，认出数学概念，抽象出数学概念
    • 教是一种艺术
      • 表演
      • 与唱戏、音乐的共同之处，变奏旋律
      • 抽象的东西是重要的，但要使他看得见摸的着
      • 一首诗
    • 学习的三原则
      • 主动学习
      • 最佳动机
      • 阶段序进
        • 认识从感觉开始，上升到概念，再到思想
        • 探索阶段、形式化阶段、同化阶段
    • 学习教学
      • 业务
        • 创造性的工作经验
      • 方法
        • 业务和教学实习结合
    • 教师十诫
      • 要对你讲的课题有兴趣
      • 要懂得你讲的课题
      • 要懂得学习的途径，学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现
      • 要观察学生的脸色，弄清楚他们的期待和困难，把自己置身于他们之中
      • 不仅教知识，还要教才智、思维的方式、有条不紊工作的习惯
      • 学习猜想
      • 学习证明
      • 揭示一般的模型
      • 不要立即突出全部的秘密，尽量让他们自己找出来
      • 要建议，不要强迫别人接受
  • 猜测和科学方法