导图社区 有限元分析
包括了ANSYS瞬态问题的温度场分析、瞬态传热问题、杆、梁结构、弹性力学平面问题简介、ANSYS稳态温度场分析等。
编辑于2021-12-22 23:23:10有限元分析
引论
力学的分类
质点力学
理论力学
材料力学
结构力学
弹性力学
弹塑性力学
变形体力学
位移、应变、应力
平衡方程、几何方程、本构方程
微分方程求解
函数逼近方式
杆、梁结构
平面杆单元分析
局部坐标系下的单元刚度矩阵
整体坐标系下的单元刚度矩阵
坐标变换矩阵
其中角度与节点编号有关,首节点到尾节点方向与水平向右方向形成的夹角,有正负
单元与节点的概念
单元
编号及对应节点
节点
首节点和尾节点、坐标
各单元长度及方向余弦
有限元分析的思路
结构的离散化与编号
单元编号、节点编号
节点坐标,各单元长度及方向余弦
各个单元的矩阵描述
在总体坐标系下描述
整体坐标系下的单元刚度矩阵
建立整体刚度方程
按节点编号写出节点位移
将各单元刚度矩阵按节点编号进行组装
将各节点力进行组装,包括各节点支反力和外力
边界条件的处理及刚度方程求解
各节点位移的约束条件代入刚度方程
得到缩减方程组,求解出未知节点位移
需进行矩阵求逆运算,可借助计算机
支反力的计算
将各节点位移代入刚度方程,正向求出支反力
超静定梁的变形分析
建模步骤
1)启动 ANSYS Mechanical APDL 设置工作文件名:undeterm;或用其他工作文件名。 2)设置计算类型 Main Menu → Preferences →select Structural → OK 3)选择单元类型 Main Menu → Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Beam 2 node 188 →OK(back to Element Types window) →Close (the Element Type window) 4)定义材料参数 Main Menu → Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural → Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY:0.3 → OK 5)定义截面 Main Menu → Preprocessor →Sections →Beam →Common Sectns →定义矩形截面: ID=1,B=0.01,H=0.1 →OK 6)生成几何模型 生成特征点 Main Menu → Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints →In Active CS →依 次输入三个支点的坐标,并输入方向控制特征点的坐标:input:1(0,0),2(1,0),3(2,0),4(0,1) → OK 生成梁 Main Menu → Preprocessor →Modeling →Create →Lines →lines →Straight lines →依次连接三个特征点,1(0,0), 2(1,0),3(2,0) →OK 显示梁体 Utility Menu → PlotCtrls >Style >Size and Style →/ESHAPE →On →OK 7)网格划分 Main Menu → Preprocessor →Meshing →Mesh Attributes →Picked lines →OK → 拾取: SECT:1;Pick Orientation Keypoint(s):YES→拾取:4#特征点(0,1) →OK→Mesh Tool → (Size Controls) lines: Set →Pick All(in Picking Menu) →input NDIV:8 →OK (back to Mesh Tool window) → Mesh →Pick All (in Picking Menu) → Close (the Mesh Tool window) 定义截面方向控制点的详细介绍在 5.1 节中。 8)模型施加约束 分别给 1,2,3 三个特征点加约束 Main Menu → Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement → On Keypoints →拾取 1,2,3 keypoints →OK→select All DOF →OK 施加 y 方向的载荷 Main Menu → Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure → On Beams →Pick All →LKEY:2,VALI:100000 (均布载荷只需在第 1 个编辑框输入参数) →OK 9)分析计算 Main Menu → Solution →Solve →Current LS →OK(to close the solve Current Load Step window) →OK 10)结果显示 用云图(fringe)方式显示变形: Main Menu → General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window) 用云图方式显示结点位移、结点转角 Main Menu → General Postproc →Plot Results →Contour Plot →Nodal Solu →select: DOF solution, UY, Def + Undeformed , Rotation, ROTZ ,Def + Undeformed→OK 列出支反力的计算结果: Utility Menu → List → Results → Reaction solution 列出支反力的下拉菜单项“Reaction Solution”如图 5.9 所示,选择“Reaction Solution”菜 单项后弹出“List Reaction Solution”对话窗口,如图 5.10 所示。在“List Reaction Solution” 对话窗口中的“Item to be listed”下拉框中选择“All items”,列出全部支反力的计算结果。
弹性力学平面问题简介
基本假定
线弹性、连续、均匀、各向同性、小位移和小变形
基本变量
体力、面力、应力、位移、应变
平衡方程
几何方程
物理方程
平面问题
平面应力问题
平面应变问题
刚体位移
平面内的移动和转动
8个方程8个未知量
平面问题有限元法
单元
单元位移函数
平面网格类型
三角形、四边形
完全多项式形式
对于三结点三角形
待定系数法

   用来计算三角形面积时,要注意单元结点的排列顺序。 当三个结点i,j,m取逆时针顺序时,用行列式计算出 的三角形面积为正值。 如果把三个结点按顺时针方向排列,即i(a,0)、j(0,0)、 m(0,a),行列式的计算结果为负值。
代回多项式
写成位移函数形式
简写形式

把[N]称为形态矩阵,Ni称为形态函数
形态函数Ni
性质
1)在单元结点上形态函数的值为1或为0。 2)在单元中的任意一点上,三个形态函数之和等于1。
几何意义
完备性与协调性
完备性
反映单元的刚体位移与常量应变。 位移函数能够表示由于其它单元的变形而引起单元的整体运 动;当单元的尺寸非常小时,单元内的应变是一个常量。
协调性
相邻单元在公共边界上的位移连续。单元之 间不能重叠,也不能脱离。
单元载荷移置
由来
作用在弹性体上的外力,需要移置到相应的单元结点上成为结点载荷
要满足静力等效原则
静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功(virtual work)相等。
虚位移
集中力的移置
  
体力的移置

分布面力的移置

单元刚度矩阵
应变与结点位移
 
应力与结点位移
 
节点力与结点位移

单元刚度矩阵表达式
三结点等厚三角形单元
分块形式

性质
对称性、奇异性、对角线上的主元恒正
  
物理意义
在结点发生单位位移时所需要施加的结点力。

整体分析
刚度矩阵集成
单元的扩大刚度矩阵
单元节点局部编号与总体编号表格

整体刚度矩阵
 
约束条件的处理
处理原因
由于整体刚度矩阵是奇异的(即行列式=0),在解方程组之前要根据约束条件进行修改
位移约束的处理
水平位移约束
假设在结点n有水平方向位移约束,与n结点水平方向对应的平衡方程为
可以将之等效替代成
可以对矩阵进行化简
第2n-1行的对角元素置1,该行非对角元素置0; 相应地,2n-1列的非对角元素也置0(因为这些元素都和un=0)相乘
垂直位移约束
结点n在垂直方向有位移约束,则第2n个方程修改为
可以对矩阵进行化简
第2n行的对角元素置1,该行非对角元素置0; 相应地,2n列的非对角元素也置0(因为这些元素都和vn=0)相乘
已知非零位移
如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移,这时的约束条件为
在[K]矩阵中,第2n-1行的对角线元素乘上一个大数A,将方程修改为
例题:根据约束修改整体刚度矩阵

与位移约束对应的约束反力
①用相关单元的单元刚度矩阵计算结点力,再由力的平衡关系得到约束反力
②给矩阵相应的对角元素加上一个大数,将载荷列阵的对应元素置为零。相当于用一个刚度很大的弹簧代替位移约束。
计算出un后,用-Aun计算约束反力
整体刚度矩阵
特点
对称性
由单元刚度矩阵的对称性和整体刚度矩阵的集成规则,可 知整体刚度矩阵必为对称矩阵。利用对称性,只保存整体 矩阵上三角部分的系数即可。
稀疏性
整体刚度矩阵的多数元素为零,非零元素的个数只占较小的部分
非零元素带形分布
采用合理的结点编号方式,整体刚度矩阵的非零元素分布 在以对角线为中心的带形区域内,这种矩阵称为带形矩阵

存储方法
二维等带宽存储

一维变带宽存储
 
方程组解法
直接解法
高斯消元法

等带宽高斯消去法
三角分解法
适用于大型方程组求解的分块算法和波前法等

在方程组的阶数不是特别高时,通常采用直接解法
迭代解法
雅可比迭代

高斯-赛德尔迭代法
超松弛迭代法
共轭梯度法和预条件共轭梯度法

迭代并行算法,如不完全共轭梯度法的并行计算
当方程组的阶数过高时,为避免舍入误差和消元时有效数 损失等对计算精度的影响,可以选择迭代方法
ANSYS软件求解器
直接解法
波前法
稀疏法
迭代解法
雅可比共轭梯度法
不完全共轭梯度法
预处理共轭梯度法
代数多格法
区域分割法
弹性力学平面问题分析
带中心圆孔方板的分析
问题背景

建模的关键
计算模型选择
单元类型选择
单元大小与网格控制
定义位移约束条件
步骤
选择计算模型

选择单元
单元类型

单元行为

定义材料模型

建立几何模型
Top Down方法

布尔运算

划分单元网格

施加位移约束条件

定义外载荷

求解有限元模型

读入计算结果

显示结点的计算结果

显示单元的计算结果

后处理方法

应力分布

列出路径上的数据

附:采用四边形单元的计算结果

坝体的应力分析
问题背景

建模分析

建模的关键
在斜边上施加静水压力
施加重力
单元网格的控制
步骤
选择单元

施加静水压力

在坝体上施加重力

单元类型与单元网格密度
降低误差

H方法
P方法
三角形单元
增加局部单元网格密度

增加整个单元网格的密度

六结点三角形单元网格计算结果

四边形单元
未局部加密
四结点四变形单元计算结果

八结点四边形单元网格计算结果

局部加密
局部加密四边形单元网格

局部加密八结点四边形单元网格

四分之一模型与二分之一模型的对比

带基座坝体的应力分析

等参单元
四结点矩形单元
位移函数与形态函数
位移函数为双线性函数
单元自然坐标
单元自然坐标定义多项式
矩形单元的插值函数
总体坐标系下形态函数
位移模式的基本要求
三结点三角形单元与四结点矩形单元比较
等参单元的基本概念
基本概念
局部坐标与整体坐标
位移模式
八结点四边形等参单元
适应曲线边界
位移模式
形函数
PLANE82单元位移模式
等参单元的单元分析
等参单元的单元刚度矩阵
单元应变、结点位移
应变的矩阵表达式
刚度矩阵的计算步骤
计算形函数对整体坐标的偏导数
将在整体坐标系中的面积积分 转换为在局部坐标系的面积积分
用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素
等参单元的载荷移置
体力移置公式
面力移置公式
集中力移置公式
思考
高斯积分
高斯积分方法
积分点坐标和加权系数
三维高斯积分公式
算例
选择数值积分阶次的原则
六面体等参单元
三维问题有限元法难点
等参单元位移模式和坐标变化式
Solid45单元
Solid95单元
全部步骤
轴对称问题
弹性力学轴对称问题
轴对称问题
周对称问题
用虚功方程建立有限元方程
三结点三角形单元刚度矩阵
单元位移函数
轴对称问题的几何方程
单元的应变
弹性矩阵
单元刚度矩阵
载荷移置
体力的移置
面力的移置
弹性力学轴对称问题的分析
问题背景
ANSYS建模
分析结果
H方法
P方法
PLANE42单元
PLANE82单元
空心圆球的轴对称分析
问题分析
ANSYS建模
热传导问题
热传导方程与换热边界
Fourier方程
各向同性材料
初始条件
边界条件
第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
稳态热传导
三维稳态热传导方程
各向同性的材料
不包含内热源,各向同性材料
加权余量法
二维稳态热传导问题为例
、
寻找近似解
一般形式
试探函数
多项式序列、三角函数序列
余量
采用近似解之后不能精确地满足控制方程和边界条件,把 近似解代入微分方程组后将产生余量(也称残差)
加权余量法简介
使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解
权函数的不同
配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法
配点法
强迫余量在域内的n个点上为零
Galerkin法
直接采用试探函数序列作为权函数
加权余量法举例
二阶常微分方程为例
试函数
配点法
Galerkin法
精确解和近似解的比较
一维传热问题为例
微分方程
分段的精确解

试函数采用三角函数
余量
配点法
精确解和近似解的比较
二维稳态温度场分析有限元列式
形态函数与温度分布函数
推导过程
一个单元域内加权积分方程
分部积分
Green定理
变换后加权积分方程
换热边界由三部分组合
选择权函数
自然边界条件
在满足第二类换热边界条件的边界上温度变量不出现, 边界条件自动得到满足,这类边界条件被称为自然边界 条件
强制边界条件
由于所选取的温度近似函数满足第一类换热边界条件, 在第一类边界上没有余量产生,这类换热边界被称为强 制边界条件
Galerkin法
在单元上的加权余量为零
所有单元的加权余量相加
整个问题域内的加权积分方程
温度刚度矩阵
形式
单元导热矩阵
温度载荷向量
物体内部单元
等参单元的温度刚度矩阵
等参单元分析的步骤
整体坐标下的积分转化为单元局部坐标下的积分
四结点四边形等参单元
计算公式
ANSYS稳态温度场分析
问题背景
ansys分析步骤
创建材料模型,定义导热系数KXX
在外表面设定换热系数和介质温度
选用PLANE55单元(四结点四边形单元) 划分网格,在内部边界上定义温度
结果
代码分析步骤
定义单元类型、材料参数,创建关键点
用关键点创建直线段,用直线段创建截面
定义网格密度,指定材料模型,划分单元
进入求解模块,设定边界条件,求解
问题变化为双层材料
瞬态传热问题
近似函数
控制方程与边界条件的加权积分
迭代计算
ANSYS瞬态问题的温度场分析
问题1
问题背景
分析步骤
定义初始温度
确定计算类型,选择Transient
确定计算时间和计算步数
保存每个时间步的计算结果
后处理
温度分布
时序后处理模块
问题2
问题背景
注意问题
命令流
抛物线型微分方程
指标记法
自由指标
哑指标
Einstein求和约定
Voigt标记
将对称矩阵处理成列向量