高数

以南开大学数学教材（高等数学（上册））为基础，加入自己的理解与扩充，帮助同学们更好地掌握全书概况，在考试前有一个完整的复习框架。

高数

函数

实数

函数

常用初等数学公式

和角公式

倍角和半角公式

和差化积公式

（正加正，正在前）

（正减正，余在前）

（余加余，余并肩）

（余减余，负正弦）

积化和差公式

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，同名函数取余弦，正弦相乘取负号

极限与连续函数

数列极限

定义

几何意义（参考宋浩）

数列极限的性质

唯一性：若数列收敛，则极限唯一

有界性：收敛必有界，有界不一定收敛

收敛数列的任一数列一定收敛，且收敛于同一个值

保号性

有限个收敛数列和、差、积、商数列仍收敛

数列收敛的判别方法

两边夹定理（抓最大、最小值）

单调有界定理

函数极限

函数与极限的联系

函数在某点无意义，极限仍可以存在

函数在某点有意义，极限可以不存在

函数极限的判别定理

两边夹定理

单调有界定理（常适用于递推数列）

单调递增有上界，首项为下界

单调递减有下界，首项为上界

方法

1.证明数列单调且有界

2.假设极限为A，对递推式两端同时取极限，建立关于A的方程，求A的值（合理取舍）

两个重要极限

无穷小量和无穷大量

无穷小量

定义：极限为0的量

是一个变量，不是绝对值很小的数（0可以作为唯一是无穷小量的数）

涉及自变量

极限一定为0

性质

有限个无穷小量和、差、积仍为无穷小量

无穷小量除以极限不为零的量，仍为无穷小量

无穷小量乘以有界变量，极限为0 e.g.

无穷小量比阶

概要

常用等价无穷小量(前提：x→0）

sinx~x; tanx~x; arcsinx~x; arctanx~x

指数

对数

幂

三角函数相关

在计算极限时，乘除可用等价无穷小，加减不要部分使用无穷小

无穷大量（不做重点）

连续函数

函数连续性存在条件

1.左右极限存在且相等

2.此极限值等于函数在该点的函数值

基本初等函数在其定义域内一定连续

函数的间断点

产生原因

分类

第一类间断点（如果函数左右极限均存在，则称其为第一类间断点）

可去间断点:左右极限相等

跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点：除第一类以外的间断点，左右极限至少有一个不存在

间断点寻找技巧

定义域不存在的点一定为间断点

分段函数在分段点上可能间断

“0/0"型用洛必达法则

闭区间上连续函数的性质

性质

有界性（最大、最小值定理）：f(x)在[a,b]连续→f(x)在[a,b]有界→f(x)在[a,b]有max,min

零点定理：f(x)在[a,b]连续，且f(a)*f(b)<0→存在一个数c在（a,b)上使得f(c)=0

介值定理：f(x)在[a,b]上连续，必定有最大值M，最小值m，有m<=c<=M,至少存在一个数d在（a,b)上，使得f(d)=c

函数极限求解方法归纳

连续函数直接带值（加减不可部分带值）代替方式：拆极限（拆出来每一部分都要有极限，才是成功的拆分方法）

根式有理化（不限于分母/分子)

无穷小量*有界变量，极限为0

两个重要极限

多项式相加“抓大头”→同除多项式中最高阶的量

等价无穷小量（加减不可部分使用等价无穷小）

导数与微分

导数的定义（定义式）

更常见的定义式

定义

导数的几何意义：y=f(x)在某点处的导数是f(x)在该点切线的斜率

左导数、右导数

导数与左右导数的关系，类比于函数极限与函数左右极限的关系

导数的左极限、右极限

1.先求导函数 2.再求导函数在该点的左/右极限

结论：导数的左/右极限与左/右导数无直接连续

可导性必满足条件

（连续性是可导性的前提）

分段函数在分段点的导数一定用定义来求解，可能不可导

四则运算

常用基本初等函数导数

三角函数

补充：立方差公式

函数的可微性和微分

可微定义：

微分的应用（不考）

复合函数、隐函数、反函数、参数方程的导数

复合函数的导数--链式法则（先求最外层，逐层剥离）

隐函数的导数

隐函数：y与x关系隐含在一个等式中

求导法则：将y看做与x相关的量，等式两端同时对x求导

技巧：取对数简化计算（一般应用于指数函数中）

反函数的导数

求反函数的方法

反函数的导数=原函数导数的倒数

参数方程的导数

直接带入关系式求导

高阶导数

莱布尼兹公式

二阶导数

常见求n次导--找规律

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

罗尔定理

费尔马引理：极值，导数为0 (p.120)

满足条件

在闭区间[a,b]连续

在开区间(a,b)内可导

在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)

则至少存在一点

特征

端点值不出现或出现不完整

常只有一个变量

步骤

还原

变形

构造

拉格朗日中值定理

满足条件

在闭区间[a,b]上连续

在开区间（a,b)内可导，

则至少存在一点

特征

常成对出现端点值

在乘除法中出现1次

技巧

从端点值/变量形式出发，去构造函数

相同字母放一起

两端点值必须分离，不出现bf(a)/af(b)形式

推论

若函数f(x)在区间（a,b)内的导数恒为零，则f(x)在（a,b)内恒为一个常数

若函数f(x)和g(x)均在区间(a,b)内可导，且恒有

柯西中值定理

条件：设f(x)和g(x)满足

在闭区间[a,b]上连续

在开区间(a,b)内可导

在(a,b)内每一处

特征

常成对出现端点值

在乘除法中出现两次

技巧

从变量形式/端点值形式反推函数应该如何构造

相同字母放一起

两端点值必分离

洛必达法则

概要

其他类型技巧

函数的单调性：设函数y=f(x)在[a,b}上连续，在（a,b)内可导

函数的极值与最值

极值存在的必要条件：

导数为零的点称为驻点或稳定点。

函数的极值点一定是驻点

驻点不一定是极值点

极值判别法

函数的最值

曲线的凹凸性、拐点和渐近线

曲线的凹凸性与拐点

凹凸性

定义：设非常数函数f(x)在[a,b]连续，若对于区间[a,b]上任两点

判别法：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导

拐点

定义：在连续函数上严格凹凸部分的分界点

注意

拐点是一个点，必将横纵坐标同时给出

极值点、驻点仅有横坐标的值

判别法

曲线的渐近线

水平渐近线：

铅直渐近线：

斜渐近线：

不定积分

定义：

原函数存在定理：

连续函数f(x)必有原函数F(x)

含有第一类间断点/无穷间断点的函数f(x)一定无原函数

含有第二类间断点的函数f(x)可能有原函数

认识不定积分表达式

强调：每进行一次不定积分，就要加一个C

常用不定积分

拓展积分表

不定积分性质

线性性质

导数的乘法公式

链式法则

换元积分法（其中一部分是另一部分导函数相关形式）

第一类换元法（凑微分）

第二类换元法

三角换元

依据

根式代换（往往根号下分子分母最高次为1次）

指数代换

倒代换：适用于分母最高次远大于分子最高次

分部积分法

有理函数的积分

分子的最高次高于分母最高次：多项式除法再积分

分子的最高次与分母最高次相同：配凑

分子的最高次低于分母最高次

有理函数分解公式

三角函数有理式的积分

首选方法：基于对称性的变换

次考虑：万能公式

技巧性：“1”的运用

倍角、半角

积化和差（两类一次幂三角函数相乘）

函数多次相乘

次数至少有一个奇数→谁为奇数就将谁往dx里凑

次数都为偶数：降次

简单无理函数的积分：参见第二类换元法根式代换部分

定积分及其应用

定积分的概念及性质

概念：曲边梯形的面积模型

性质及推论

定积分的线性性质

积分区间可加性

定积分的单调性

积分中值定理

微积分基本公式

基本定理：积分上限函数

上限是x，直接将x带入被积函数

下限是x,前加负号，换位置

复合函数

上限是g(x),先将g(x)直接带入被积函数，再乘g(x)的导数

下限是g(x)，同上步骤，最后添一个负号

牛顿-莱布尼兹公式

定积分的换元法与分部积分法

换元法

换元时上下限也要一起换

奇、偶函数积分的一个重要性质（设f(x)在区间[-a,a]上连续

分部积分法（类似于不定积分）

定积分的应用

微元法

定积分的几何应用

求面积

x型：上面减下面再求积分

y型：右边减左边再求积分，函数表达式改成x是y的函数

曲边扇形面积：

求体积-旋转体

广义积分

向量代数与空间解析几何

空间直角坐标系

右手系、卦限

空间两点间的距离

向量

概念

零向量

单位向量

负向量

向径

向量相等（方向相同，模相等）

向量的运算

向量的加法

平行四边形法则

三角形法则（首尾相连，由开头指向结尾）

满足的运算律

交换律

结合律

向量的减法（同起点，指被减）

数与向量的乘法

向量的坐标表示

用坐标表示向量的加减及数乘的运算

用坐标表示向量的模和方向

单位向量的坐标表示

向量的数量积

概念

性质

交换律

数乘结合律

分配率

向量的平方=模的平方

数量积的坐标表示（横乘横加纵乘纵）

向量的向量积

设a,b是两个向量，其向量积也是一个向量，记作a*b,它的模和方向分别定义为

性质

向量积的坐标表示

空间平面与直线

空间平面

平面的一般方程

法向量：垂直于一个平面的所有非零向量

平面在空间坐标系的特殊位置（A,B,C中出现零值）

平面的截距方程

点到平面的距离

平面与平面间的距离

空间直线的方程

一般方程

标准方程

参数方程

空间曲面和曲线

二次曲面

球面方程

旋转曲面：平面绕哪个坐标轴旋转，方程中对应于此轴的变量保持不变,而把另外一个变量变成x,y,z中其余两个变量的平方和在开方，就得所求旋转曲面的方程

圆锥面

旋转双曲面（双曲线）

旋转抛物面（抛物线）

柱面：一直线l沿着一已知平面曲线L平行移动所形成的曲面

椭圆面：

双曲抛物面（马鞍面）：

椭圆抛物面：

椭圆锥面：

截痕法

空间曲线

一般方程：将两个曲面方程联立起来

参数方程：把空间曲线上动点的坐标x,y,z都表示为另一个变量t的函数

空间曲线到坐标平面的投影