导图社区 微积分
微积分知识总结，包括函数、极限、连续、导数和微分、中值定理与导数的应用、一元函数积分学及其应用等内容。
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第14章DNA的生物合成读书笔记
微积分
函数、极限、连续
函数
所属范围
有界函数
有界函数(上确界、下确界） N≤ F(x)≤M或 |F(x)|≤M
有上界函数 F(x)≤M
有下界函数 f(x)≥N
无界函数
|F(x)|＞M
复合函数
分清内外层函数
学会判断两个函数能否进行复合，即看复合函数定义域是否为空集
注意：求复合函数的定义域一般在未化简是求解
反函数
Tip:反函数和原函数图像关于y=x对称（x和y已经替换过）
单调函数(x1＜x2)
F(x1)≤F(x2)或F(x1)≥F(x2) 单调递增(减)函数
F(x1)＜F(x2)或F(x1)＞F(x2) 严格单调递增(减)函数
如果函数是严格单调，则必有反函数且反函数严格单调，反之不成立
基本初等函数
常值函数
幂函数
指数函数
对数函数
图像
三角函数 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割
图像及性质
转化关系
反三角函数 y=arc sinx/cosx/tanx/cotx
初等函数和非初等函数
重要函数
符号函数 sgn=
取整函数【 】
狄利克雷函数 D(x)=1,x为有理数 0,x为无理数
幂指函数
极限
数列极限
定义（两种）
性质
数列极限的唯一性
收敛数列的必要条件:有界
数列极限的保号性
数列极限的保序性
函数极限
定义
自变量趋于无穷时
自变量趋于有限值时
单侧极限 函数在某点的左右极限存在且相等，则函数再该点有极限；反之则不存在
函数极限的唯一性
函数极限存在的必要条件：局部有界
函数极限的(局部)保序性
函数极限的(局部)保号性
函数极限和数列极限的关系 海涅定理
无穷大和无穷小
无穷大: F(x)在x0处极限趋于无穷，成为无穷大
无穷小:极限为0的数列和函数F9
1.二者之间的关系 2.它们之间的判定
极限运算法则及一些常用公式
极限存在的准则及两个重要极限
准则一：夹逼准则
重要极限一:
准则二：单调有界原理——单调有界数列必有极限
重要极限二：1+ð，ð在前面的条件下趋于零
无穷小的比较
类型：高阶、低阶、同阶、k阶，等价无穷小
识记等价无穷小的例子（等价无穷小一般不能用于加减法中）
识记两个定理
在求两个无穷小之比的极限时，可用等价无穷小替换
b是a的等价无穷小的充分条件是b=a+o(a)
连续
连续的定义
两个条件
F(x)在x0 处有定义且极限存在，为A
F(x)在x0处的极限值等于函数值，即A=F(x0)
间断点
定义：没有定义的点，不存在极限，也不连续
间断点分类
第一类间断点 左右极限都存在
跳跃间断点 左右极限不相等
可去间断点 左右极限相等
第二类间断点 左右极限至少有一个不存在
振荡间断点
无穷间断点
连续函数的运算法则
复合函数的运算法则
内极限存在，外极限存在Þ复合函数极限存在
内层函数极限存在，外层函数连续Þ复合函数极限存在且极限符号可与外层函数互换
内外层函数均连续Þ复合函数连续
初等函数在其定义域区间内都是连续的
闭区间上连续函数的性质
最大最小值定理
推论一：闭区间上的连续函数一定有界
介值定理
导数和微分
导数
导数的一些基本概念
导数的概念
若该等式存在，则说明导数存在
导数极限定义式的多种表现形式
函数在x处可导的充要条件：x的左、右导数存在且相等
导函数
F(x)在区间(a,b)内的每一点都可导，则说F(x)在区间内可导，若每一个x都有唯一确定的导数值，则构成一个新函数，称导函数
导数的几何意义：斜率
基本初等函数（用极限求导的过程) 5
连续与可导
F(x)在x处可导一定连续，到连续不一定可导
导数运算法则及基本公式
一切初等函数的导函数仍为初等函数
反函数的导数
反函数的导数=原函数的导数的倒数
原函数在区间内单调可导且导数不为0，则其反函数在相应区间内也可导
复合函数求导法则
进行分层，逐层求导，可以由内到外，也可以由外到内
一些奇怪的导数
高阶导数
n阶可导
常见函数的n阶导数
幂函数、y=sinx 、 y=cosx 、 y=ln(1+x)
求两个相乘的基本初等函数的n阶导数的小妙招：莱布尼茨公式
（可简记为）
隐函数
定义：F(x,y)=0
对应的，y=F(x)称为显函数
隐函数求导法则
将y看做x的函数，两边求导，的含有y'的式子，解出y'即可
幂指函数的求导
1.对数求导法 2.化为指数函数求导法
由参数方程确定的函数的导数
一阶导数
二阶导数
微分
微分的基本概念
可微的定义
定理：可导Û可微（充要条件），且dy=f'(x0）Dx
微分的定义
微分的几何意义：微分是函数的局部几何线代化（用切线增量近似替代曲线增量）
微分的计算
基本初等函数的微分公式
类比导数公式进行记忆
微分的四则运算
复合函数微分法则
微分的应用（老师没讲，爱记不记）
中值定理与导数的应用
微分中值定理
罗尔定理
几何意义
注意：罗尔定理的条件是结论成立的充分条件，而非必要条件
拉格朗日中值定理
定理的其他表现形式
两个推论
柯西中值定理
拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时的特殊情况
洛必达法则
7种不定式，重点掌握0/0型和无穷/无穷型
泰勒中值定理
引题：用多项式逼近函数
马克劳林公式
泰勒中值定理的应用
求极限
近似计算
求高阶导数
证明一些结论
函数单调性，极值，最大、小值
单调性
驻点
讨论单调性的步骤
极值（极大值、极小值)
求法
两个辨析点
驻点和极值点的关系
导数和极值的关系
函数取极值两种充分条件
第一种：找f(x0)=0或f(x0)不存在的点
第二种：求F(X)的二阶导数法 大小小大
函数的最值
求解方法：三步走
寻找驻点和不可导点
初等函数求导，不在定义域的点，该点为不可导点
计算他们及端点数值
比较大小
曲线的凹凸性和函数作图
曲线的凹凸性
曲线弯曲的方向
定义一:判断[f(x1+x2)/2]和[f(x1)+f(x2)]/2的大小
前>后 凸弧
前<后 凹弧
凹弧和凸弧的分界点：拐点
定义二：求二阶导 大凹小凸
曲线的渐近线
渐近线类型
水平渐近线
铅直渐近线
斜渐近线
函数作图（略）
一元函数积分学及其应用
不定积分
不定积分的概念及其性质
原函数的定义、性质3
连续函数必有原函数
不定积分的定义几何意义
不定积分的基本性质
基本积分公式
不定积分的求法
凑微分法
可以多看看凑微分是常用的微分式子
设t＝√ ，
三角代换法（用以去除分母的二次根号）
倒代换法 令t=1/x
换元积分法
分部积分法（注意u＝的选取，一般遵循“反对幂三指”原则）
定积分
定积分及其性质
定积分的注意点：4
定积分的几何意义：曲边梯形的面积
可积的充分条件
F(X)在[a,b]上连续
F(X)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点
定积分的基本性质
1.上下限互换，积分互为相反数 2.上下限相等时，定积分为0
性质1、2
性质3：区间可加性
性质4：若f(x)£g(x)，则在区间[a,b]中f(x)和g(x)的积分也具有同等大小关系
性质5：f(x)º1,则在区间[a,b]中f(x)的定积分为b-a
性质6：绝对值位置
性质7：m£f(x)£M,则m(b-a)£f(x)在[a,b]上的定积分£M(b-a)
性质8：积分中值定理
微积分基本定理
积分变限函数
积分上限函数
定义：上限为x
性质：积分上限函数的导数=被积函数
积分下限函数
定义：下限为x
性质：积分下限的导数=-被积函数
补充公式 3
原函数存在定理
微积分基本定理：牛顿——莱布尼茨公式
定积分的计算
定积分的换元积分法
只要换了变量，积分上下限也要发生变化
带有奇偶性函数的积分
积分上下限对称
奇函数：0
偶函数：两倍
定积分的分部积分法
一个定积分公式：有关sinx的
定积分的应用
微元分析法
定积分在几何上的运用
平面几何图形的面积 4种
体积
奇奇怪怪图形的体积
旋转体的体积
反常积分
反常积分和常义积分的定义
无限区间上的广义积分 3
对应三种简化运算
无界函数的积分 3
