数字信号处理

数字信号处理之离散时间信号处理总结，包括数字信号处理的研究对象、研究域、研究内容三部分内容。

数字信号处理

• 研究对象
  • 离散时间系统2chapter
    • 性质（分类）
      • 线性T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1y1(n)+a2y2(n)，ppt例1、2，单测1的多选9，判断6，课本例2.5,2.6 时不变性y(n-m)=T[x(n-m)]，ppt例1、2、3，单测1的单选第7、多选5、判断1、2，课本例2.7,2.8 因果性:系统n时刻的输出y(n)只与n时刻及以前时刻有关，与n时刻的输入无关，单测1的单选第3、12，多选1、5 稳定性:有界输入产生有界输出，ppt例1，单测1的单选第12，多选1、5
    • 含义，表示
      • 单元1的选择第1题
    • LTI系统
      • 单位脉冲响应
        • h(n):&(n)→h(n)
      • 差分方程
        • 递推法
          • 递推法和一般形式:∑aiy(n-i)=∑bix(n-i)，单测1的判断4，作业2.16，第4周课后测 第1题，课本例2.12
      • 卷积运算
        • 图解法
          • 图解法:先反折再平移，对应点相乘再相加，作业2.29
        • 解析法
          • 解析法:适用于因果序列、单边序列、有限长序列解决了两 个问题:求和上下限和结果的起始位置作业2.10，第3周课后测 第6、7题，课本例2.11
        • 结合u(-n-1)
      • 因果性、稳定性
        • 充要条件
          • 因果:h(n)=0(n<0)，ppt例1，单测1的单选第3、判断3，作业2.18，第3周课后测 第2题 稳定:∑|h(n)|<∞，ppt例2，单测1的单选第3，作业2.19，第3周课后测 第3题
      • IIR、FIR
        • 一.IIR滤波器设计(无限长) 冲激响应不变法 双线性变换法 二.FIR滤波器设计(有限长) 窗函数设计法 频率响应不变法 IIR:无限长单位脉冲序列和FIR:无有限长单位脉冲序列，第3周课后测 第4题
      • 逆系统
        • 级联两个系统函数的卷积为单位脉冲函数
  • 离散时间信号2chapter
    • x(n) 图形 表示方法 列举
    • 分类
      • 确定和随机 自变量的个数(维度):一维和多维 周期和非周期:判断条件为是否满足x(n+N)=x(n)
    • 序列的运算与时域变换
      • 加法y(n)=x1(n)+x2(n) 乘法y(n)=x1(n)*x2(n) 平移左移x(n+m)，右移x(n-m) 单测1的单选第6，多选8 反折x(-n)
    • 常见信号
      • 定义、性质、波形
        • 单位抽样序列&(n):抽样性x(n)·&(n)=x(0)&(n),&(n)=u(n)-u(n-1)，单测1的单选11，判断5，第一周课后测 第1题，第2周课后测第2题 单位阶跃序列u(n):截断性x(n)·u(n)=x(n) n>=0，单测1的单选第9，多选10，第一周课后测 第2题 矩形序列RN(n):截断性x(n)·RN(n)=x(n) 0<=n<=N-1，RN(n)=u(n)-u(n-N)，单测1的单选第10，第2周课后测第1题 实指数序列:单边指数序列 复指数序列:欧拉公式:e^(jwn)=cos(wn)+jsin(wn) 正弦序列x(n)=Asin(wn+φ)或x(n)=Acos(wn+φ)，第一周课后测 第3、4、5、6题，课本例2.1
      • 正弦序列的周期性
        • 是否满足x(n+N)=x(n)，作业2.7、单测1的单选第2题和多选第4、7题
• 研究域
  • 频域
    • 信号（2、8、9、10）
      • 非周期：离散时间傅里叶变换
        • 公式
          • 公式X(e^jw)=DTFT[x(n)]=∑x(n)e^(-jnw)，ppt的例题、作业2.17a，第4周课后测 第2题，课本例2.22
        • 性质
          • 性质:线性DTFT[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1DTFT[x1(n)]+a2DTFT[x(n)]、时移DTFT[x(n-m)]=e^(jmw)DTFT[x(n)]、频移 DTFT[e^(jw0n)x(n)]=X[e^(w-w0)]、卷积DTFT[x(n)*h(n)]=DTFT[x(n)].DTFT[h(n)]=DTFT[y(n)]， 作业2.17b，第4周课后测 第四题
      • 其他傅立叶变换
        • DFT
          • 公式:X(k)=∑x(n)e^(-j2πnk/N),WN=e^(-j2π/N)，作业8.5,8.6,8.12，第11周课后测，课本例8.7 性质:线性DFT[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(k)+bx2(k)、时移DFT[x1(n-m)]=X1(k)e^(j2πmk/N)、频移X1(k-l)=DFT[x1(n)e^(-j2πnl/N)]、 圆周卷积:以长度N为周期，延拓成周期序列，再对周期序列进行移位，然后取主值区间。(卷积后的序列仍是以N的周期序列:L>=N ppt例题，作业8.12，8.5 8.6 课本例8.10、8.11
        • FFT
          • 基二
            • 原理:设输入序列长度为N=2^M将该序列按时间顺序(n)的奇偶分解为越来越短的子序列 步骤:1、分组，变量置换，2带入DFT中 蝶形流图:码位倒置和原位运算，运算量:Nlog2N，直接DFT运算量:N^2，旋转因子r, 级数，，ppt例题，N=8点，作业9.16,第二题N=16点，第12周课后测
        • dfs
          • 公式~X(k)=∑~x(n)e^(-j2πnk/N),WN=e^(-j2π/N)， ppt例题，课本例8.1、8.2、8.3、8.5 性质:线性DFS[a~x1(n)+b~x2(n)]=a~x1(k)+b~x2(k)、时移DFS[~x1(n-m)]=~X1(k)e^(j2πmk/N)、频移~X1(k- l)=DFS[~x1(n)e^(-j2πnl/N)] - 周期卷积: 过程:1变量代换，2反折，3对应位置相乘，在一个周期内求和，4平移，依次改变n值求和，5周期延拓(卷积后的序列仍是以N的周期序列)，ppt例题1、2
        • 频谱X(e^(jw)=|X(e^(jw)|e^(jφ(w))
          • 连续
            • 幅度频谱|X(e^(jw)|， 单测1多选第6题，作业2.17b，第四周课后测第3题
            • 相位频谱φ(w)
          • 离散
            • DFT分析频谱时的问题:原因、解决办法
        • 采样
          • 采样定理
            • 第4章)采样:奈奎斯特采样定理:fs>=2fh，间隔Ts<=1/2fh;内插 单元测验2第5、16、18、33、34题，
    • 系统（2、5chapter）
      • 频响特性
        • 延拓(卷积后的序列仍是以N的周期序列)，ppt例题1、2
        • 幅频特性:滤波器的分类:数字、模拟和低通、高通，带通，带阻和FIR和IIR滤波器
        • 相频特性 线性相位
        • 群延迟
  • 复频域 3chapter
    • z变换
      • 信号
        • 变换X(z)=∑x(n)z^-n) 有限长序列、左边序列u(-n-1)、右边序列u(n), 零极点(分子分母分别为0时，z取值) 收敛域作业3.1 5.6 5.8 单元测试2 第1 7 9 10 19 20 22 23 25 26 27 28 30
      • character
        • 线性Z[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(z)+bX(z)、时移Z[x1(n-m)]=X(z)z^-m、 时域卷积x(n)*h(n)=y(n)频域乘积 X(z)·H(z)=Y(z) 作业5.6 单元测试2 第12
      • 常用变换对
        • a^n——z/z-a，&(n)——1 单元测试2 第15 17
      • 逆变换
        • 部分分式展开法Ak=(X(z)/z)(z-zk)和幂级数——长除法,左边序列(正 升序)和右边序列(负 降序)。作业3.6 5.8 单元测试2 第21
    • 系统5、6chapter
      • 系统函数
        • 定义单位冲击响应h(n)→单位冲击函数H(z)
        • 性质:差分方程y(n)-∑aky(n-k)=∑bkx(n-k) H(z)=Y(z)/X(z) 作业5.6
      • 判定性质:因果性:H(z)的收敛域为圆外区域、稳定性:H(z)包含单位圆
        • 单元测试2 第2 4 13
      • 结构
        • IIR:直接I、II型、级联型、并联型
          • 流图——表达式 作业6.4 6.11 6.24 6.5
          • 优缺点 直接I型， 直接II型:存储单元少，零极点不明显;级联型:可以单独控制零极点分布，每一节零极点是系统的零极点;并联 型:可单独控制极点，每一节零点不是系统的零点，误差小 单元测试3第3、13、16 27 31 38
        • 转置定理
          • 传输方向倒置，x(n)和y(n)位置互换，最后进行翻转 作业6.11
        • fir
          • 直接型、级联型 单元测试3第15
• 研究内容
  • 系统设计
    • IIR
      • 冲激响应不变法
        • 原理、步骤::H(s)→h(t)→h(n)→H(z)→H(w)→w=ΩT→H(Ω)→H(s)，优缺点:线性，只适用于低通，会产生混叠
          • 单元测试3 第14 22 54
      • 双线性变换法
        • 原理(二次映射、s、z映射关系)s=k(z-1)/z+1，步骤H(s)→H(z) w=2arctan(ΩT/2)和 Ω=2/Tarctan(w/2) 优缺点:非线性，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上;双线性变换后，极点全部落在单位圆内避免混叠 作业7.10 单元测试3第4 30 34 35 36 39
    • FIR
      • 窗函数设计法 第一类:h(n)为偶对称，以(N-1)/2为奇对称(N=奇数) 窗函数
        • 原理:平移、截断，步骤
        • 各种窗函数;矩形窗主瓣宽度:4π/N,三角窗主瓣宽度:8π/N 最大旁瓣的相对幅度比较为 矩形<Bartlett<Hanning<Hamming<Blackman 单元测试3第7 41 43 44 45 47 48
        • 参数:窗函数的主瓣宽度、第一旁瓣衰减 分别影响 过渡带宽、阻带最小衰减;增加截取长度N，只能改变窗函数的主瓣宽度宽度，减小滤波器的过渡带宽，不能改善阻带衰减 单元测试3-第5、11 52
        • 要求:1主瓣宽度尽可能窄，以 获得较陡的过渡带;2最大旁瓣的相对幅度尽可能小，以增大阻带衰减
      • 频率响应不变法
        • 基本原理H(w)→H(k)→IDFT→h(n) 单元测试3第17
    • 区别
      • IIR
        • 幅频特性:四个技术指标通带边界频率Wp、阻带边界频率Ws、通带衰减函数Rp、阻带衰减函数As
        • 借助模拟滤波器:巴特沃斯、切比雪夫、椭圆
          • 单元测试3 第29
        • 特点:无限长，必须保证极点再单位圆内，系统才稳定的，有反馈，递归，无法保证线性相位
          • 单元测试3第23 25 49
      • FIR
        • 相频特性:线性相位是频率的一次函数 单元测试3第18 26 28
        • 特点:有限长，因果、稳定的、非递归，保证线性相位 单元测试3第49 55
    • 研究对象的分析
      • 信号分析
      • 系统分