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电路理论知识点
教材：邱关源 第5版 高等教育出版社； PPT：西安交通大学 罗先觉； 电路理论知识点总结，包括电路模型和电路定律、电阻电路的等效变换、电阻电路的一般分析、电路定理、储能元件等。
编辑于2022-01-06 14:17:25- 电路理论
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电路理论
第一章：电路模型和电路定律
1. 电路和电路模型
实际电路
由电路部件和电路器件按预期目的连接构成的电流的通路
功能
能量传输、分配与转换
信息的传递、控制与处理
电路模型
由理想电路元件相互连接而成，能反映实际电路不见的主要电磁性质
注意
同一实际电路部件在不同的应用条件下，其模型可以有不同的形式
路
电路
集中参数电路
分析
综合应用
分布参数电路
磁路
2. 电流和电压的参考方向
电流
电流：带电粒子有规则的定向运动
电流强度：单位时间内通过导体横截面的电荷量
方向：规定正电荷的运动方向为电流的实际方向
参考方向
任意假定一个正电荷运动的方向即为电流的参考方向
注
一旦假定，不再改变
电流是代数量，求解电路时要先标定参考方向
与实际方向相同，i>0；相反，i<0
表示方法
1. 箭头
2. 双下标
电压
电位φ：单位正电荷q从电路中一点移至参考点(φ=0)时电场力做功的大小
电压U：单位正电荷q从电路中一点移至另一点时电场力做功(W)的大小，即电位差
实际电压方向：电位真正降低的方向，即高电位端指向低电位端
参考方向
假设高电位指向低电位的方向
注
一旦假定，不再改变
电流是代数量，求解电路时要先标定参考方向
与实际方向相同，U>0；相反，U<0
表示方法
1. 箭头
2. 正负极性：由+指向-
3. 双下标
关联参考方向
元件或支路的u,i采用参考方向一致称之为关联参考方向； 反之称为非关联参考方向
需对具体元件或支路分析，而非电路整体
3. 电功率和能量
电功率：单位时间内电场力所做的功
电路吸收或发出功率的判断
关联参考方向
P>0：吸收正功率，实际吸收
P<0：吸收负功率，实际发出
非关联参考方向
P>0：发出正功率，实际发出
P<0：发出负功率，实际吸收
完整电路：发出的功率=吸收的功率
4. 电路元件
电阻R：消耗电能
电感L：产生磁场，储存磁场能量
电容C：产生电场，储存电场能量
电源E
电压源
电流源
将其它形式的能量转化为电能
5. 电阻元件
定义：对电流呈现阻力的元件
线性时不变电阻元件：任何时刻电压与电流成正比的电阻元件，满足欧姆定律
电导G=1/R，单位：S(Siemens)西门子
欧姆定律
非关联参考方向，公式加负号
说明线性电阻是无记忆，双向性的元件（无极性）
6. 电压源和电流源
电压源
理想电压源：两端电压总能保持定值或一定的时间函数
电路符号（直流/交流）
电压、电流关系
电源两端的电压由电源本身决定
通过电压源的电流由电源及外电路共同决定
电压源不能短路：i=∞
电流源
理想电流源：输出电流总能保持定值或一定的时间函数
电路符号
电压、电流关系
电源是输出电流由电源本身决定
电流源两端的电压由电源及外电路共同决定
电流源不能开路：u=∞
实际电源
干电池、纽扣电池
燃料电池
太阳能电池
蓄电池
稳压源、变频器、频率计、函数发生器等
7. 受控电源
定义：电压或电流的大小和方向不是给定的时间函数，而是受电路中某个地方的电压或电流控制的电源
分类
受控电压源
电压控制的电压源(VCVS)
电流控制的电压源(CCVS)
受控电流源
电压控制的电流源(VCCS)
i=gu
电流控制的电流源(CCCS)
Current Control Current Source
受控电源不能作为“激励”产生电压、电流
8. 基尔霍夫定律
几个名词
支路：电路中通过同一电流的分支，b(branch)
结点：≥3条支路的连接点，n
回路：由支路组成的闭合路径，l(loop)
网孔：对平面电路，内部不含任何支路的回路称网孔，m
基尔霍夫电流定律(KCL)
在集总参数电路中，任意时刻，对任意结点流出（或流入）该结点电流的代数和恒等于0
令流入/出取"+"
可推广应用于电路中包围多个结点的任一闭合面（广义结点）
实质：每一结点上电荷是守恒的
基尔霍夫电压定律(KVL)
在集总参数电路中，任意时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于0
令电压降/升前取“+”
可推广应用于电路中任一假想的回路
实质：反映了电路遵从能量守恒定律
注意
KVL是对回路中的支路电压加的约束，与回路各支路上接的元件无关，与电路线性非线性无关
KVL按照电压参考方向列写，与电压实际方向无关
第二章：电阻电路的等效变换
1. 电路的等效变换
二端网络（一端口网络）：一个端子流入电流=另一个端子流出电流
二端电路等效：端口具有相同的电压、电流关系（VCR）
对外等效，对内不等效
化简电路，方便计算
2. 电阻的串联和并联
并联时性质常用电导表示
电桥电路(桥式电路)：对角的电阻乘积相等时，电桥平衡，对角线两点等电位
对角线电路视作断路/短路
3. 电阻的Y形联结和△形联结的等效变换
△形联结：三个元件形成闭合回路
Y形联结：三个元件连到一个结点上
等效：电流、电压分别对应相等
Y变△：“△大”
（R1,2,3相等时）
△变Y：“Y小”
4. 电压源、电流源的串联和并联
理想电压源的串并联
串联：注意分电压源的电压参考方向，方向相反加负号
并联：相同电压源才能并联，电源中的电流不确定
与支路串并联等效
两电压源与两电阻串联，等效为一电压源与一电阻串联
电压源并联任意元件：断路处理，“对外等效”
理想电流源的串并联
并联：各电流源电流相加
串联：相同电流源才能串联，每个电流源的端电压不确定
与支路的串并联等效
两电流源与两电阻并联，等效为一电流源与一电阻并联
电流源串联任意元件：短路处理，“对外等效”
理想电流源与理想电压源串联，等效于理想电压源短路
5. 实际电源的两种模型及其等效变换
实际电压源
串联内阻
好的电压源要求Rs→0
不允许短路，因其内阻小，短路电流大
实际电流源
并联内阻
不允许开路，因其内阻大，开路电压高
等效变换
“等效”：端口的电压、电流在转换过程中保持不变
等效条件
电流、电压条件
内阻相等
注意
电流源电流方向与电压源电压方向相反
对外等效，对内不等效
分析电源开路短路时内阻的情况
6. 输入电阻
定义：一端口网络电路，从放大电路输入端看进去的等效电阻
计算方法
无（独立）源
仅含电阻：串并联、△-Y变换等
含受控源：端口加电压源求电流/端口加电流源求电压，得其比值
法二：考虑受控源本身能否等效为电阻
先把有源网络的独立源置0
电压源短路
电流源开路
第三章：电阻电路的一般分析
电路方程的列写方法
支路电流法
回路电流法
结点电压法
1.电路的图
网络图论
电路的图
用以表示电路几何结构的图形
图中的支路和结点与电路中的一一对应
定义
图(G)
结点和支路各自是一个整体
移去图中的支路，与它连接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在
如把结点移去，则应把与它连接的全部支路同时移去
路径
连通图：两点间不能有开路现象
子图：图的一部分
树(T)
定义
连通图的一个子图
连通
包含所有结点
不含闭合路径
树支：构成树的支路
连支：属于G而不属于T的支路
明确
对应一个图有很多的树
树支数目一定，bt=n-1
连支数：bl=b-bt=b-n+1
n为结点数，b为支路数
回路(Loop)
定义
连通图的一个子图，构成一条闭合路径
连通
每个结点关联两条支路
明确
对应一个图有很多的回路
基本回路的数目是一定的，为连支数b-n+1
对于平面电路，网孔数等于基本回路数
可以直接选网孔对应的基本回路
基本回路：单连支回路（回路里只有一个连支）
支路数=bt+bl（树支数+连支数）=n-1+b-n+1（结点数-1+基本回路数）
选不同的树支，有不同的基本回路
（选定树支即确定连支，从一个连支开始时不能经过其它连支）
2.KCL和KVL的独立方程数
KCL方程
对每个结点列一方程，发现相加得0，故有一方程多余
独立的KCL有n-1个（树支数）
KVL方程
对网孔（对应的基本回路）列一方程，发现这些方程相加减可得其它回路的方程
独立的KVL有b-n+1个（基本回路数）
独立KCL方程数+独立KVL方程数=b
3.支路电流法
以各支路电流为未知量列方程
共b个
n-1个KCL
b-n+1个KVL
“取网孔为独立回路”
独立回路即基本回路
方程数较多，宜在支路不多时列写
特例
含有理想电流源
解法1
照常列KCL
增设电流源电压，取网孔列KVL
解法2
由已知电流列KCL
避开电流源支路取回路，列KVL（方程数少一个）
含有受控源
受控源看作独立源，照常列KCL,KVL
增补受控源相关方程，多几个控制量多几个方程
4.网孔电流法
以假想的沿网孔连续流动的电流为未知量列方程
仅适用于平面电路
方法
网孔电流仅流过网孔，找到网孔电流与支路电流的关系列方程
KCL自动满足（网孔电流闭合，对每个结点均流入一次，流出一次），无需列写
只需列写KVL，方程数=网孔数
求自电阻、互电阻、电压源电压代数和
各网孔列一方程
自电阻*本网孔电流+互电阻*其它网孔电流=网孔中电压源电压代数和
注意
自电阻：网孔1中所有电阻之和，称为网孔1的自电阻
总为正
互电阻：两网孔共同支路上的电阻之和
两网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正
Usl1=Us1-Us2，即网孔1中所有电压源电压的代数和
电压源方向与网孔电流方向一致时，取负号
5.回路电流法
以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列方程
适用于平面/非平面
与网孔电流法区别：不一定选网孔列KVL
自电阻*本回路电流+互电阻*其它回路电流=回路中电压源电压代数和
特点
灵活选取回路，可以减少计算量
互电阻的识别难度大，容易遗漏
特例
含有理想电流源
解法1
引入电流源电压U
增加回路电流和电流源电流的关系方程
解法2
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流即Is
“无伴电流源”
由Is直接知道一个回路电流，实际少列一个方程
含有受控源
受控源看作独立源，照常列公式
增补受控源相关方程，多几个控制量多几个方程
6.结点电压法
以结点电压为未知量
使用于结点较少的电路
KVL自动满足，只需列n-1个KCL
方法
选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压
接地符号⊥表示参考结点
列KCL方程
把支路电流用结点电压表示，得到n-1个结点电压
通过结点电压求各支路电流
自电导*本结点电压+互电导*其它结点电压=流入该结点的电流源电流代数和
方程右边：若出现电压源则等效为电流源
注意
自电导
总为正
互电导：结点i与结点j之间所有支路电导之和
总为负
电流
流入结点为正
特例
无伴电压源支路的处理
解法1
增设电压源电流为变量
增补结点电压与电压源间的关系
解法2
选择合适的参考点，使电压源仅仅属于一个结点，该结点电压即Us
由Us直接知道一个结点电压，实际少列一个方程
含有受控源
受控源看作独立源，照常列公式
增补受控源相关方程，多几个控制量多几个方程
理想电流源与电阻串联时，该电阻看作短路
第四章：电路定理
1.叠加定理
Superposition theorem
在线性电路中，任一支路的电流（或电压）可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）的代数和
只看一个电源作用时，其他电源“为零”
电压源短路
电流源开路
注意
功率不能叠加（功率为电压电流的乘积，是电源的二次函数）
含受控源：将受控源当作电阻保留在电路中
叠加方式任意，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用
封装好的电路（黑匣子）
齐性原理
激励都增大相同倍数，则响应也增大相同的倍数
2.替代定理
Substitution theorem
任意电路的某一支路，用uk独立电压源或ik独立电流源或uk/ik电阻来替代，替代后电路中全部电压电流均保持原有值
替代后电路必须有唯一解
无电压源回路
不能出现两电压源并联的现象
此时不能确定电压源上的电流
无电流源结点（含广义结点）
不能出现两电流源串联的现象
此时不能确定电流源上的电压
3.戴维宁定理和诺顿定理
Thevenin's&Norton's
对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路（压串流并）
戴维宁
方法
公式
求开路电压
求输入电阻
不含受控源：变换
含受控源：外加电源（内部独立源置零）
特殊方法：开路电压Uoc除以短路电流Isc（内部独立源不要置零）
等效电路
应用
诺顿
求短路电流-求输入电阻-等效电路
戴维宁-等效电路
特殊
Req=0：无诺顿等效电路
Req=∞：无戴维宁等效电路
4.最大功率传输定理
一端口电路所接负载不同时，负载的功率的不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率
最大功率
匹配条件
取值
第六章：储能元件
过渡过程：从一种状态到另一种状态，如0->3A，曲线过渡
电容元件
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容
q=Cu：线性时不变电容元件
电压电流关系
微分形式
积分形式
“记忆元件”
电容的功率和储能
电感元件
电感线圈ψ(t)=Nφ(t)
ψ(t)=Li(t)：线性时不变电感元件
电压电流关系
微分形式
积分形式
记忆元件
电容、电感的串联与并联
串联电压相加，并联电流相加
第七章：一阶电路和二阶电路的时域分析
动态电路的方程及其初始条件
基本定义
动态电路：含有动态元件电容和电感
过渡过程产生原因：电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
一阶电路：含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程
二阶电路：...
题7.6：含两个动态元件，但为两个独立回路，故仍为一阶
动态电路的方程
一阶动态电路的方程
KVL+VCR(电压电流关系，微分形式)
RC电路
RL电路
二阶动态电路的方程
KVL+VCR+VCR
电路的初始条件
0-：换路前一瞬间；0+：换路后一瞬间
t=0+时，u、i及其各阶导数的值
电容的初始条件
uc(0+)=uc(0-)
q(0+)=q(0-)
电感的初始条件
iL(0+)=iL(0-)
ψL(0+)=ψL(0-)
换路定律
条件：电容电流/电感电压保持为有限值
电路初始值(0+)的确定步骤
1.求0-时的u或i
2.由换路定律得0+时的情况
3.画0+等效电路
换路后的电路
电容用电压源替代，电感用电流源替代
4.由0+电路求所需各变量的0+值
一阶电路的零输入响应
零输入响应：换路后外加激励为0，仅由动态元件初始储能产生电压和电流（放电过程）
RC电路
分析u、i：列动态电路方程-解微分方程
（同上式）
电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数
响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关
τ=RC，一阶电路的时间常数
电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间
工程上认为，经过3τ-5τ，过渡过程结束
RL电路
分析u、i：列动态电路方程-解微分方程
电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数
响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关
τ=L/R，一阶电路的时间常数
一阶电路的零状态响应
零状态响应：动态元件初始状态为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应
RC电路
非齐次线性常微分方程
特解：强制分量，稳态分量
uc'=Us
通解：自由分量，暂态分量
uc''=Ae(-t/RC)
全解=特解+通解
电流
表明
电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数
电容电压由两部分构成
响应变化的快慢，由时间常数τ=RC决定，τ大充电慢
响应与外加激励成线性关系
能量关系（积分推导）：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转化成电场能量储存在电容中
RL电路
一阶电路的全响应
全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应
全响应
以RC为例
通解，特解与零状态相同，积分常数A与零状态不同
uc(0+)与零状态不同，需考虑电路初始状态
uc(0-)=uc(0+)=U0
uc(0+)=A+Us=U0
全解
全响应的两种分解方式
1. 电路的两种工作状态
全解=稳态解+暂态解
物理概念清晰
2. 因果关系
全响应=零状态响应+零输入响应
便于叠加计算
三要素法分析一阶电路
公式
三要素
f(∞)稳态解
用t→∞的稳态电路求解
f(0+)初始值
用0+等效电路求解
τ时间常数
公式中[f(0+)-f(∞)]即A
一阶电路的阶跃响应
第八章：相量法
复数
表示形式
代数式
指数式：|F|=e^jθ
三角函数式
极坐标式：|F|=e^jθ=|F|∠θ
复数运算
加减：代数式
乘除：极坐标式
旋转因子：e^jθ
特殊旋转因子
+j：θ=π/2
-j：θ=-π/2
-1：θ=±π
正弦量
基本概念
瞬时值表达式：i(t)=Imcos(ωt+ψ)
sin表示亦可
正弦量为周期函数：f(t)=f(t+kT)
正弦电路（交流电路）：激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）
正弦量的三要素
幅值（振幅，最大值）Im
反映正弦量变化幅度的大小
角频率ω
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢
初相位ψ
反映正弦量的计时起点，常用角度表示
注意
同一正弦量，计时起点不同，初相位不同
最大值在计时起点的右侧，ψ≤0（函数图像左加右减）
一般规定|ψ|≤π
同频率正弦量的相位差φ：等于初相位之差
φ>0：超前，先达到最大值
φ<0：滞后，后达到最大值
注意：三角函数前有负号，需将负号加到里面（±180）
正弦电流、电压有效值
I=√2/2*Im
U=1/√2*Um
三相电：火线之间380V（线电压），火线零线之间220V
注意
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等
测量中，交流测量仪指示的电压、电流读数一般为有效值
符号：瞬时值i，最大值Im，有效值I
相量法的基础
同一电路中，各正弦量都是同频率的，故只需确定初相位和有效值
正弦量对应的相量
推导（构造复数）
结论
I点 即相量，只包含初相位与有效值
相量的模：表示正弦量的有效值
相量的辐角：表示正弦量的初相位
常用数据
100√2≈141.4
220√2≈311.1
相量图
复平面上用向量表示相量
横轴：+1
纵轴：+j
最大值相量：下标m
相量法的应用
同频率正弦量的加减→对应相量的加减
借助相量图运算（平行四边形法则）
正弦量的微分、积分运算
微分：
积分：
相量法的优点
把时域问题转化为复数问题
把微积分方程运算变为复数方程运算
可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路
注意
正弦量（时域）→相量（频域）
正弦波形图→相量图
相量法值适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路
电路定律的相量形式
电阻元件VCR的相量形式
有效值关系：UR=R*I（与直流相同）
相位关系：ψu=ψi（与直流不同）
相量图上：幅角一样
电阻不变，与直流情况相同
瞬时功率：pR=uR*i，始终大于0，表明电阻始终吸收功率
电感元件VCR的相量形式
有效值关系：UL=ω*L*I
相位关系：ψu=ψi+90°
相量图上：电压超前90°
电感：L→jωL
ωL：感抗，单位为Ω（欧姆）
瞬时功率：以2ω交变，有正有负，一周期内刚好抵消，表明电感只储能不耗能
电容元件VCR的相量形式
有效值关系：IC=ω*C*U
相位关系：ψi=ψu+90°
相量图上：电流超前90°
电容：C→1/jωC
-1/ωC：容抗，单位为Ω（欧姆）
直流开路，高频短路
瞬时功率：以2ω交变，有正有负，一周期内刚好抵消，表明电感只储能不耗能
基尔霍夫定律：仍然适用
相量形式求和，值为0
有效值求和，值不为0
第九章：正弦稳态电路的分析
1. 阻抗和导纳
阻抗
阻抗模：|Z|=U/I
阻抗角：φz=ψu-ψi
各元件阻抗值：
Z=R+jX
实部虚部结合，归纳电阻、感抗与容抗
电阻：实部
感抗XL：虚部，正
容抗XC：虚部，负
用于元件串联的情况
由KVL推知U点，再除以I点，求得阻抗
阻抗三角形
电压电流相位关系
X>0：感性电抗，电路对外呈现感性，电压超前电流
X<0：容性电抗，电路对外呈现容性，电压落后电流
X=0：电路为电阻性，电压与电流同相
阻抗的串联
导纳
名称
电阻倒数：电导G
电容电感倒数：电纳B（容纳，感纳）
阻抗倒数：导纳Y
单位：西门子
导纳模：|Y|=I/U
导纳角：φy=ψi-ψu
各元件导纳值：
Y=G+jB
实部虚部结合，归纳电导、感纳与容纳
电导：实部
感纳BL：虚部，负值
L：φy=ψi-ψu=-90°
容纳BC：虚部，正值
用于元件并联的情况
由KCL推知I点，再除以U点，求得导纳（见下式）
用阻抗，上乘下加亦可
导纳三角形
电压电流相位关系
B>0：容性电纳，电压超前电流
B<0：感性电纳，电压落后电流
B=0：电路为电阻性，电压与电流同相
受控源问题（一端口N0中）
不含受控源：|φz|≤90°，|φy|≤90°
含受控源：可能有|φz|>90°，|φy|>90°
实部将为负值
Z、Y等效互换
ZY=1
极坐标形式互换条件
|Z||Y|=1
φz+φy=0
代数形式
串联->并联
Y=G+jB=
？
注意负号，等效变换不改变 原来的感性/容性性质
并联->串联：同理
导纳的并联
两个阻抗并联的等效阻抗为：
由阻抗定义式可推知
2. 正弦稳态电路的分析
与直流解法相同，只需：
将电阻改为阻抗
U点=Z*I点
将电导改为导纳
I点=Y*U点
将电感电容改为交流情况
3. 正弦稳态电路的功率
1. 瞬时功率
u(t)=√2Ucosωt
i(t)=√2Icos(ωt-φ)
φ=ψu-ψi，功率因数角，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角
p(t)=ui=UI[cosφ+cos(2ωt-φ)]
2. 平均功率（有功功率）P
P=UIcosφ
cosφ：功率因数
cosφ=1：纯电阻；cosφ=0：纯电抗
一般地，有0≤|cosφ|≤1
X>0,φ>0：感性；X<0,φ<0：容性
表示电路实际消耗的功率
3. 无功功率Q
Q=UIsinφ（定义）
Q>0：网络吸收无功功率
Q<0：网络发出无功功率
单位：var（乏）
大小反映网络与外电路交换功率的速率，由储能元件L、C的性质决定
4. 视在功率S
S=UI（定义）
单位：VA（伏安）
电气设备的容量
P=UIcosφ=Scosφ
设备容量S（额定）向负载送多少有功P要由负载的阻抗角φ决定
5. 功率三角形
与阻抗三角形相似
6. R、L、C元件的有功功率和无功功率
分别将0，90°，-90°代入φ
7. 任意阻抗的功率计算
QL>0，吸收无功为正
QC<0，吸收无功为负（发出无功）
8. 功率因数的提高
功率因数低带来的问题：
设备不能充分利用，降低了设备的利用率
当输出相同的有功功率时， 线路上电流大，线路（压降）损耗大
解决方法
1. 高压传输
2. 改进自身设备
3. 并联电容，提高功率因数
并联电容的分析与确定
分析
电路一般为感性，可看作电阻与电感的串联
并联后，原负载的电压和电流不变，但电路的总电流小了
确定
由有效值关系公式
欠补偿：采用
全补偿：不要求（电容设备投资增加，经济效果不明显）
过补偿：功率因数由高变低（性质不同）
由功率三角形
|QC|=|QL-Q|=P(tanφ1-tanφ2)
|QC|=ωCU^2
（由Q=U^2/X推知）
从功率角度看：并联后，电源向负载输送的有功不变，输送的无功减小，减小的这部分无功由电容来补偿，使负载吸收的无功不变，功率因数改善
4. 复功率
定义：
单位：VA
结论
复功率是复数，不是相量，因为它不对应任意正弦量
把P、Q、S联系在一起：实部P，虚部Q，模S
守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为0
复功率守恒，视在功率不守恒
5. 最大功率传输
若ZL=RL+jXL可任意改变
先讨论XL（RL不变）：XL=-Xi时，有
再讨论RL：与直流类似，RL=Ri时，有
最佳匹配条件：
若ZL=RL+jXL只允许XL改变
若ZL=RL为纯电阻
“模匹配”
若Zi为纯电阻，则ZL与其相等时匹配
6. 谐振电路
谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用。
定义：含R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
串联谐振
串联谐振的条件
谐振角频率
谐振频率
仅与电路参数有关，同一R L C串联电路对应的频率唯一
串联电路实现谐振的方式
1. L、C不变，ω改变。当外加电源频率=谐振频率，电路发生谐振
2. 电源频率不变，改变L或C（常改变C）
RLC串联电路谐振时的特点
谐振时U点与I点同相
Z=R
|Z|最小
电流I和电阻电压UR达到最大值，I0=U/R（U一定）
LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为0，也称电压谐振 （相位相反由定义，大小相等由X=0）
由X=0推知
品质因数
UL=UC=Q*U（由有效值关系推知）
通带BW=ω0/Q
谐振时的功率
电阻功率达最大
电源不向电路输送无功：电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换
并联谐振
G、C、L并联电路
并联谐振的条件
、
谐振角频率
并联电路谐振时的特点
谐振时U点与I点同相
Y=G（电导为纯电导）
|Y|最小
端电压达最大
由|I|=|U|*|Y|可知（电流源，故I一定）
LC上的电流大小相等，相位相反，并联总电流为0，也称电流谐振
品质因数
谐振时的功率
=I^2/G 电阻功率达最小
第十章：含有耦合电感的电路
互感
互感
线圈1中流入电流时，线圈1产生磁通，部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通成为互感磁通，两线圈间有磁的耦合
定义ψ：磁链，ψ=Nφ
两线圈都有电流时，每一线圈的磁链=自磁链+互磁链
注意下标，ψ12是2在1产生的互磁链
正负号表示互感磁通可能相互加强或削弱
M12=M21
注意
M值
线圈形状
几何位置
空间媒质
与线圈中的电流无关
L总为正值，M值有正有负（前面加了正负号则已经体现，M总为正值）
耦合系数
定义
表示两个线圈磁耦合的紧密程度
k=1称全耦合，满足
k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质
耦合电感上的电压、电流关系
自感电压
互感电压
每一线圈两端的电压=自感电压+互感电压
相量形式（正弦交流电路）
正负号表示两电压方向相同或相反
自磁链与互磁链方向一致，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：
与电流的参考方向有关
与线圈的相对位置和绕向有关
互感线圈的同名端
自感电压：u，i取关联参考方向时，u即取正值
互感电压：考虑电流参考方向，还要考虑线圈的相对位置和绕向
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端
引入概念前，需要判断自磁链与互磁链的方向才能判断正负；引入同名端概念后，只需观察同名端电流方向是否一致即可判断互感电压的正负——同名端同时流入（或流出）则互感电压前取正，否则取负
同名端的确定
1. 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强（同名端定义）
告诉了同名端，就是告诉了同时从哪端流入（出）时会增强
2. 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高
由u=M*di/dt>0易推知
黑盒外接电压表，观察电压表正反偏即可判断黑盒中线圈的同名端
列电压、电流关系式
法一：将互感电压正极性标在？？？的一侧， u12与总电压方向一致则正，不一致则负
u1=u11±u12
M前不加负号
？？？：需要考虑同名端与电流方向， 不易确定，故忽略此种方法
法二：令互感电压正极性与自感电压方向一致， 同名端电流方向一致（流入或流出）则正，不一致则负
u1=u11+u12（或u1=-u11-u21）
M前可能加负号
观察同名端电流方向即参照同名端定义
例题（由法二）
含有耦合电感电路的计算
耦合电感的串联
顺接串联
同名端位置相同（顺下来）
互感前取正
去耦等效电路（由KVL推知）
反接串联
同名端位置相反
互感前取负
由L≥0知
互感的测量方法
顺接一次，反接一次
耦合电感的并联
同侧并联
同名端接在同一结点上，M前为正
异侧并联
M前为负
耦合电感的T型等效
同名端为共端的T型去耦等效
异名端为共端的T型去耦等效
注意等效后电感上的电压仍为等效前其上的电压
有互感电路的计算
两侧等电位时，可将两侧联结起来，不影响电路
一般采用回路电流法或支路电流法判断
回路电流法
1. 选取电压参考方向（通常选与回路绕向一致，每个回路选一次）
选方向
2. 分析互感时，折算电流：与电压关联参考方向的电流-非关联的（注意与下一步相结合）
3. 观察折算的电流与自电阻的网孔电流是否从同名端流入，判断jωM前的正负
4. 自电阻*本网孔电流+互电阻*其它网孔电流±互感部分（jωM*折算电流）=网孔中电压源电压代数和
列公式
支路电流法
变压器原理
变压器电路
由两个具有互感的线圈构成
一个线圈接向电源
原边回路，原绕组，一次侧
另一线圈接向负载
副边回路，副绕组，二次侧
利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号
当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器
分析方法
1.方程法分析
列KVL，加上互感部分
I2方向如何确定？
猜测：刚刚接入电流时看作原边电流增大，流入一端，使得其同名端电位升高，可看作电压正的一侧（电流由此流出电路），故确定I2
原边：
副边：
令左侧阻抗为Z11,右侧阻抗为Z22，解得折算电路法
2.折算电路法分析
原边等效电路
红圈：副边对原边的等效阻抗
副边等效电路
红圈：没有副边的情况下互感产生的电压，即副边等效的UOC
3.去耦等效法分析
先去耦，再分析
负载获得的有功功率=引入阻抗的有功功率
：互感抗，即ω*M
理想变压器
三个理想化条件
1. 无损耗
线圈导线无电阻
做芯子的铁磁材料的磁导率无限大（无涡流损耗，高导磁材料）
空心变压器：芯子为不导磁材料，如空气
2. 全耦合
3. 参数无限大
(难以实现，很大即可）
主要性能
变压关系
推导
模型
推导？
变流关系
推导
+理想化条件
模型
（n：1）
异名端同时流入：与此式相同
变阻抗关系
只改变阻抗大小，不改变阻抗性质
功率性质
推导
性质
既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用
特征方程为代数关系，是无记忆的多端元件
第十二章：三相电路
三相电路
三相电源+三相负载+三相输电线路
优点
发电：比单项电源提高功率50%
输电：比单项输电节省钢材25％
配电：三相变压器比单项变压器经济且便于接入负载
运电设备：结构简单、成本低、运行可靠、维护方便
对称三相电源的产生
三个频率相同、振幅相同、相位彼此相差120°的正弦电源
通常由三相同步发电机产生，三相绕组在空间互差120°，当转子以均匀角速度转动时，在三相绕组中产生感应电压，从而形成对称三相电源
三相同步发电机
瞬时值表达式
A、B、C称始端 X、Y、Z称末端
波形图
相量表示
对称三相电源的特点
对称三相电源的相序
三相电源各相经过同一值(如最大值)的先后顺序
正序（顺序）：A-B-C-A
负序（逆序）：A-C-B-A
相序的实际意义：三相电机 正序正转，负序反转
如果不加说明，一般都认为是正相序
三相电源的联结
Y形联结
X, Y, Z 接在一起的点称为Y联结对称三相电源的中性点，用N表示
△形联结
三相负载及其联结
每一部分称为一相负载
星形联结
称三相对称负载
角形联结
称三相对称负载
三相电路
对称三相电源+三相负载（+三相输电线路）
当电源、负载、输电线路都对称时，称为对称三相电路
工程中根据实际需要可以组成： （Y形联结更普遍）
线电压（电流）与相电压（电流）的关系
名词介绍
端线(火线)：始端A, B, C 三端引出线
中线：中性点N引出线， △联结无中线
相电压：每相电源（或负载）的电压
线电压：端线与端线之间的电压
线电流：流过端线的电流、
负载同理
相电流：流过每相负载的电流
相电压和线电压的关系 （对称三相电流/负载）
Y联结
相电压对称，则线电压也对称
线电压相位领先对应相电压30°
“对应”：对应相电压(如UCN点)用线电压(如UCA点）的第一个下标字母标出
△联结
线电压等于对应的相电压
相电流和线电流的关系
Y联结
线电流等于相电流
△联结
线电流相位滞后对应相电流30°
对称三相电路的计算
Y–Y联结(三相三线制）
已知：
求解
1. 列结点电压方程求解，解得UN'N点为0
2. 因N，N'两点等电位，可将两点短路，且中性线电流为零
3. 可将三相电路的计算化为单相电路的计算
“抽单相法”
4. 解得负载侧的相电压也为对称电压
5. 解得电流为对称电流
结论
电源中点与负载中点等电位。有无中线对电路情况没有影响
对称情况下，各相电压、电流都是对称的，可采用一相（A相）等效电路计算
为了抽单相，常把电路化为Y-Y联结
注意各相电压电流是对称（差120°）而非相等
Y-△联结
已知：
解法1：利用负载上相电压与线电压相等
解法2：一相计算，Y-△变换
结论
负载上相电压与线电压相等，且对称
线电流与相电流对称。线电流是相电流的√3倍，相位落后相应相电流30°
小结
1. 化为等值Y—Y接电路
2. 连接负载和电源中点，中线上若有阻抗可不计
3. 画出单相计算电路，求出一相的电压、电流
一相电路中的电压为Y接时的相电压
一相电路中的电流为线电流
4. 根据△接、Y接时线量、相量之间的关系，求出原电路的电流电压
5. 由对称性，得出其它两相的电压、电流
不对称三相电路的概念
不对称
电源不对称（不对称程度小，系统保证其对称)
负载不对称情况很多
此处讨论电源对称，负载不对称的情况
中性点位移：负载中点与电源中点不重合
在电源对称情况下，可以根据中点位移的情况来判断负载端不对称的程度。当中点位移较大时，会造成负载相电压严重不对称，使负载的工作状态不正常。
照明电路
三相四线制
（中线阻抗约为0）
每相负载的工作情况相对独立
三相三线制
A相断路
灯泡电压低，灯光昏暗
A相短路
超过灯泡的额定电压，灯泡可能烧坏
短路电流是正常时电流的3倍
结论
负载不对称，电源中性点和负载中性点不等位，中线中有电流，各相电压、电流不存在对称关系
中线不装保险，并且中线较粗。一是减少损耗， 二是加强强度(中线一旦断了，负载不能正常工作
三相电路的功率
对称三相电路功率计算
有功功率
（线电压、电流表示，无论Y/△都为此式）
注意
φ为相电压与相电流的相位差(阻抗角)，不要误以为是线电压与线电流的相位差
cosφ为每相的功率因数，在对称三相制中有 cosφA= cosφB = cosφC = cosφ
公式计算电源发出的功率（或负载吸收的功率）
当负载由Y改接成△时，若线电压不变，则由于相电压与相电流增大√3倍，所以功率增大3倍
无功功率
视在功率
注意
功率因数cosφ=P/S
这里的，P、Q、S 都是指三相功率总和
不对称时φ无意义
瞬时功率
三相功率的测量
三表法（三相四线制）
若负载对称，则需一块表，读数乘以 3
不对称亦可使用
仅适用于Y接
二表法（三相三线制）
两个功率表的电流线圈串到任意两相中，电压线圈的同名端接到其电流线圈所串的线上，电压线圈的非同名端接到另一相没有串功率表的线上
有三种接线方式
电流：A、B；电压：AC、BC
电流：B、C；电压：BA、CA
电流：A、C；电压：AB、CB
（可证，无论Y接△接）
注意
三相三线制条件下，才能用二表法，且不论负载对称与否
两表读数的代数和为三相总功率，单块表的读数无意义
按正确极性接线时，若出现一个表指针反转即读数为负，将其电流线圈极性反接使指针指向正数，但此时读数应记为负值
负载对称情况下，有：
证明：
第十三章：非正弦周期电流电路和信号的频谱
非正弦周期信号
特点
不是正弦波
按周期规律变化
例
半波整流电路的输出信号
电子示波器内的水平扫描电压
计算机内的脉冲信号
周期函数分解为傅里叶级数
满足狄里赫利条件
周期函数极值点的数目为有限个
间断点的数目为有限个
在一个周期内绝对可积，即：
傅里叶级数
直流分量+基波（和原函数同频）
二次谐波（2倍频）
高次谐波
系数关系：
计算
直流分量
谐波分量
周期性方波波形分解
有效值、平均值和平均功率
1. 非正弦周期函数的有效值
若i(t)能傅里叶展开，即
则有效值：
（由积分推知）
周期函数的有效值=直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根
公式同样适用于电压：
2. 非正弦周期函数的平均值
若i(t)能傅里叶展开，即
则平均值：
直流值：
正弦量：
电磁式仪表：有效值；全波整流仪表：平均值
3. 非正弦周期交流电路的平均功率
若
则平均功率：
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
推导
（由三角函数正交性，仅相同的不为0）
非正弦周期电流电路的计算
步骤
1. 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号
2. 分别求出直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应
注意：各谐波的 XL、XC不同
3. 将以上计算结果转换为瞬时值叠加
强调：线性电路达到稳态，因此可以叠加