几何进阶

几何题是初中数学比较典型的难点，这是因为几何所需要的思维方式和一般的数学问题思考方式不太一样，这里提供了一些全等的思考规律。

初中几何

• 模型
  • 模型
    • 平移+旋转
      • 一线三等角
        • • 基本条件
            • 等腰三角形
            • 同一条直线上三个等角
          • 基本方法
            • 这类问题常常出现在坐标系中，标志为一个等腰直角三角形，当没有现成的模型出现时，则过直角三角形顶点所在直线向x，y轴作垂线
    • 旋转
      • 对角互补
        • • 基本条件（知二推一）
            • 角平分线
            • 对角互补
            • 一组临边相等
          • 基本方法
            • 做双垂
      • 手拉手
        • • 基本条件
            • 共顶点相似的等腰三角形
          • 基本结论
            • 全等
            • 对应边的夹角等于旋转角
            • 有角平分线
          • 如何快速找到全等
            • 共顶点的角减去重叠部分，为两全等当对应角
      • 半角模型
        • • 基本条件（缺一不可）
            • 一半的角关系
            • 邻边相等
            • 对角互补
          • 基本方法
            • 在临边外截一段等边，构造全等
    • 平行
      • 角平分线
        • • 基本条件（知二推四，但必须有平行）
            • 上下底平行
            • 中点
            • 有两组角平分线
            • 两角平分线垂直
          • 基本方法
            • 本质为平行、角平分线、等腰知二推一，做法为判断是哪个推那个，延长已知角平分线即可
      • 平行、等腰、角平分线知二推一
    • 对称
      • 将军饮马
        • 对称
          • 两动一定
            • 求两线最短
              • 作定点的一个对称点，再作垂线
            • 求三线最短
              • 作两个对称点，再相连
          • 两定一动
            • 和最小
              • 通过对称一点，与另一点相连，交直线于一点即为动点
            • 差最大
              • 根据三角形三边关系，连接两定点，并延长交直线与一点即为动点，异侧时，转化为同侧
            • 差最大
              • 根据中垂线，连接两点，作出中垂，交直线于一点为动点
        • 平移+对称
          • 单个修桥问题
            • 将桥长平移出来，转化为简单的异侧的两定一动（构造平行四边形进行平移）
          • 多个
            • 将桥长向那一直线平移出，则此直线相当于消失
        • 对称+旋转
          • 通过手拉手，出现全等，一般旋转含有所求较短边的三角形，将不在直线上的点转化到一条直线上，转化为两定一动。若仍不解决问题则看被动点在哪以直线上动
• 思考规律
  • 大方向
    • 证全等（证边等、求边长）
      • 先找是否有现成
        • 证明全等时，如果缺条件。看缺角还是缺边，罗列出可能的情况，再排除循环逻辑的、跟已知无关的和不满足全等判定定理的，剩下的一一尝试，可将缺的角或边放在另一组全等三角形中证明
      • 无现成
        • 考虑构造含有这对边/角的一组全等三角形（先找出已有的等边位于哪个完整的三角形中），构造的方法是根据全等判定定理。比如已经有一组边、一组角相等，我们可以构造另一组边、角相等得到全等三角形，可能的话优先构造边
    • 技巧
      • • 在做第2问，或者解题步骤的后半部分时，可以联系前一问的结论,作为条件直接使用或者模仿前面得到结论和所用方法简化新的问题
      • 两图形有公共部分，两图形除公共部分外的部分相等，则两图形相等。
      • 面对几个可能的结论时，可以用测量、取特值、取极限、找特殊位置（处于动态旋转变化）等方法猜想哪个结论是正确的，再开始下一步的证明
      • 有复杂的角关系可设参，设小角，找边关系
      • 当所求边关系有系数，不好找关系时，可将系数提出
  • 动态眼光
    • 对称（出现角等）
      • 角平分线（中垂线）
        • 角平分线（中垂线）的定理及其逆定理（做双垂）（连接点与端点）
        • 它是一个对称图形
        • 补全对称图形
      • 一切居于对称的元素都是可证相等的，部分都是可证全等的，对称一定会有全等出现。遇选填题，若可得的关于对称的元素全部相等，可直接认为剩余的边角的相等（对称定理）
      • 看到45°角，想等腰直角三角形，看到30°角，想30°直角三角形，及其它们的边关系
    • 旋转（出现边等）
      • 倍长中线
        • 看到中点，倍长中线
        • 求证中点，做平行线
      • 顺全等的两个三角形三边夹角相等，典型模型有三等角，手拉手、射影
      • 模型
        • 对角模型
        • 手拉手
        • 半角模型
    • 平移
      • 平行、等腰、角平分线知二推一
      • 导角
        • 需要找不同位置角的关系时，可做平行辅助线，将不同位置的角移到同一个顶点或者三角形当中
      • 导边
        • 若一线段不处于已给出长度所组成的三角形中，或距离远，不好找关系，则利用平行线间距离处处相等，平移至已给出长度所组成的三角形中
    • 对称+旋转
      • 截长补短
        • 旋转
          • 两个包含较短边、已有边等的小全等
        • 对称
          • 存在角平线对称的大全等