二次函数

这是一篇关于二次函数的思维导图

二次函数

• 概念
  • 形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数
    • 二次项：ax²(a≠0)
    • 一次项：bx
    • 常数项：c
• 表示
  • 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）
  • 顶点式: y=a(x-h) ²+k
  • 交点式: y=a(x+b)(x+c)
• 图像与性质
  • y=ax²
    • 图像：对称轴为y轴的抛物线
    • 顶点(0,0)
  • y=a(x-h)²+k
    • 图像：对称轴为直线x=h的抛物线子主题
    • 顶点(h,k)
  • y=ax²+bx+c
    • 图像：对称轴为直线x=-2a/b的抛物线
    • 顶点(-2a/b,4ac-b²/4a)
    • b
      • b=0，对称轴为y轴
      • ab>0，对称轴在y轴左侧
      • ab<0，对称轴在y轴右侧
      • 左同右异
    • c
      • c=0，经过原点
      • c>0，与y轴正半轴相交
      • c<0，与y轴负半轴相交
  • 增减性
    • 当a>0时，开口向上
      • 对称轴左边，y随x的增大而增大
      • 对称轴右边，y随x的增大而减小
      • 函数有最小值
    • 当a<0时，开口向下
      • 对称轴左边，y随x的增大而减小
      • 对称轴右边，y随x的增大而增大
      • 函数有最大值
  • 平移 y=a(x-h)²+k
    • 上下平移
      • 向上平移m个单位:y=a(x-h)²+k+m
      • 向下平移m个单位:y=a(x-h)²+k-m
      • 上加下减
    • 左右平移
      • 向左平移m个单位:y=a(x-h+m)²+k
      • 向右平移m个单位:y=a(x-h-m)²+k
      • 左加右减
  • 开口大小
    • │a│越大，开口越大
    • │a│越小，开口越小
  • 应用
    • 用待定系数法求函数解析式
      • 1设、2代、3解、4还原
    • 解决实际问题
      • 抛物线型问题
      • 最值问题
        • 利润最值问题
        • 面积最值问题
  • 与一元二次方程的关系
    • 利用△求图像与x轴是否有交点
      • △>0时，有两个交点
      • △=0时，有一个交点
      • △<0时，与x轴无交点
    • 利用二次函数图像求方程的根